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华东理工大学大学物理第七章答案
或者
η = 1−
Q放 Q吸
= 1−
T T1 300 ⇒ Q 放 = 1 Q吸 = × 5.35 × 10 5 = 4.01 × 10 3 J T2 400 T2
12 、一台家用冰箱放在气温为 300K 的房间内,做一盘−13 ℃的冰块需从冷冻室取走 2.09 ×10 5 J 的热量。设冰箱为理想卡诺制冷机。 (1)求做一盘冰块所需要的功。 (2)若此冰箱能以 2.09 ×10 2 J / s 的速率取出热量,求所要求的电功率是多少瓦? (3)做冰块需时多少? 解: (1)卡诺循环制冷系数 T2 260 ω= = = 6.5 T1 − T2 300 − 260 Q ω= 2 A
dP dV dP dV
T =C
A B V1 V2 V
根据题意知
=
1 = 0.714 γ
∴γ =
1 = 1.4 0.714
Q=C
γ P1V1γ = P2 V2
由绝热方程可得
P2 = (
V1 γ 0.5 × 10 −3 1.4 ) P1 = ( ) × 2 × 10 5 = 7.58 × 10 4 Pa − 3 V2 1 × 10
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CP ,有时可用下面方法:将开始的温度、体积和压力分 Cv 别为T0,V0和P0的一定量气体,在一定时间内通以电流的铂丝加热,而且每次加热供应气 体的热量相同。第一次维持V0不变,此时气体达到温度T1和压力P1。第二次维持压力P0不 变,而温度变到T2,体积变到V1,试证明:
5、为测定气体的比热容比 γ =
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发,经过图中的循环过程又回到状 a ,其中过程 ab 是直线,试求: (1)在整个循环过程中,系统对外界所作的净功; (2)循环的效率。 1 解: (1) A = bc ⋅ ac 2 1 = × 2 × 10 5 × 1× 10 − 3 2 = 100J (2) Q 吸 = Q ab = ΔE + A
∴ A净 = ( 1− T2 300 )Q 吸 = (1 − ) × 5.35 × 10 3 = 1.34 × 10 3 J T1 400
3
3
(3)由能量守恒 Q 吸 = A 净 + Q 放 可得
Q 放 = Q 吸 − A 净 = 5.35 × 10 3 − 1.34 × 10 3 = 4.01 × 10 3 J
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∴ PdV + VdP = PdV + kVdV = 2PdV = RdT R 即 PdV = dT 2 3 1 dQ = C V dT + PdV = RdT + RdT = 2RdT 2 2 dQ = 2R 热容量 C = dT (3)过程方程 P = kV
即
PV −1 = k
多方指数 n=-1
3 R (T2 − T1 ) = −428J 2 5 Q 2 = C p (T3 − T2 ) = R (T3 − T2 ) = −1365J 2 总计放热: Q = Q1 + Q 2 = 1.79 × 10 3 J Q1 = C V (T2 − T1 ) =
9、一定质量的单原子理想气体,从初始状态 a 出
(2)
A=
P1 V1 − P2 V2 2 × 10 5 × 0.5 × 10 −3 − 7.58 × 10 4 × 1 × 10 −3 = = 60.5J γ −1 1.4 − 1
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P(105Pa) 7、试证明:1mol刚性分子理想气体,作等压膨胀时,若对外作功为A,则气体分子平均 A ,式中γ为比热容比,NA为阿伏伽德罗常数。 动能的增量为 3 b N A (γ − 1) 证明:设膨胀前后的体积为V1、V2,温度为T1、T2,压强P 根据等压膨胀作功可得 A = P(V2 − V1 ) = R (T2 − T1 ) 1 a c 气体分子的比热容比 i+2 0 Cp i+2 γ= = 2 = 1 2 V(l) i CV i 2 2 ∴ i= γ −1 气体分子的平均动能的增量 2 i i A γ −1 1 A Δε K = k (T2 − T1 ) = k = A= 2 2 R 2 NA N A ( γ − 1)
γ=
证:
QV =
( P1 − P0 ) V 0 ( V1 − V0 ) P0
m C V (T1 − T0 ) M m Qp = C p (T2 − T0 ) M
根据题意
Q V = Q p 及 PV =
m RT M
∴
MP1 V1 MP0 V0 − T1 − T0 mR = (P1 − P0 )V0 γ= = = mR MP2 V2 MP0 V0 (V1 − V0 )P0 C V T2 − T0 − mR mR Cp
m 1 C V (Tb − Ta ) + (Pb + Pa )(Vb − Va ) M 2 3 1 = (Pb Vb − Pa Va ) + (Pb + Pa ) (Vb − Va ) = 9.5 × 10 2 J 2 2 A 100 η= = = 10.5% Q 吸 950 =
10、图中所示为一定质量理想气体的一个循环过程的T-V图,其中CA为绝热过程,状态 A(T1,V1)和状态B(T2,V2)为已知,试问: (1)各分过程是吸热还是放热? (2)状态 C 的 V、T 值是多少?(γ,m 已知) T (3)这个循环是不是卡诺循环? A B (4)这循环的效率为多少? 解: (1)把 T-V 改画为 P-V 图,如右图所示 AB 等温膨胀—吸热 BC 等容降温—放热 CA 绝热过程不吸放热 (2) Vc = V2 V γ −1 γ −1 TA VA = TC VC ⇒ TC = ( 1 ) γ −1 ⋅ T1 V2 (3)不是卡诺循环。 (4) m C V (T1 − Tc ) Q放 M η = 1− = 1− V m Q吸 RT1 ln 2 M V1 V V 1 − ( 1 ) γ −1 C V T1 [1 − ( 1 ) γ −1 ] V2 V2 1 = 1− = 1− ⋅ V V2 γ −1 ln 2 RT1 ln V1 V1
− γ −1
所以
4、如图所示,1mol的氦气由状态A(p1,V1)沿p-V图中直线变化到状态B(p2,V2),设AB延 长线通过原点,求: (1)这过程内能的变化,吸收的热量和对外作的功; (2)气体的热容量; (3)多方指数。 m 3 3 P 解: (1) ΔE = C v ΔT = R (T2 − T1 ) = (P2 V2 − P1V1 ) M 2 2 B (P2, V2) 1 A = (P1 + P2 )(V2 − V1 ) 2 P1 P P = 2 (k = ) A(P1,V1) V1 V2 V 1 O V ∴ A = (P2 V2 − P1V1 ) 2 3 1 Q = ΔE + A = (P2 V2 − P1V1 ) + (P2 V2 − P1V1 ) = 2(P2 V2 − P1V1 ) 2 2 (2) dQ = dE + dA = C V dT + PdV 由理想气体方程得 PdV + VdP = RdT 又 P=kV, dP=kdV
Q = ΔE + A = 1246 + 2033 = 3279 J 2V (2) A = A12 = RT1 ln 0 = 8.31 × 293 ln 2 = 1687J V0
0
5 × 8.31× 60 = 1246J 2 Q = A + ΔE = 1687 + 1246 = 2933J ΔE = E 3 − E 2' =
C O V
P A(T1,V1) dT=0 B(T2,V2) dQ=0 C V
。 11、1mol理想气体在T1=400K的高温热源与T2=300K的低始体积为V1=0.001m , 终止体积为V2=0.005m 。 试求此气体在每一循 环中 (1)从高温热源吸收的热量Q1; (2)气体所作的净功 A; (3)气体传给低温热源的热量Q2。 解: (1)气体在高温热源等温膨胀吸热,故 V 0.005 Q = RT1 ln 2 = 8.31 × 400 ln = 5.35 × 10 3 J V1 0.001 (2) 根据卡诺循环的效率公式可得 A T η = 1− 2 = 净 T1 Q 吸
6、某理想气体在P-V图上等温线与绝热线相交于A 5 点(如图所示) 。 已知A点的压强P1=2×10 Pa,体 P -3 3 积V1=0.5×10 m ,而且A点处等温线的斜率与绝热 线斜率之比为 0.714,现使气体从A点绝热膨胀至B -3 3 点,其体积V2=1×10 m 。求: P1 (1)B 点处的压强; (2)在此过程中气体对外作的功。 dP P =− 解: (1)等温线的斜率 dV T =C V O dP P = −γ 绝热线的斜率 dV Q =C V
第七章 热力学基础
1、一定量气体吸热 800J,对外作功 500J,由状态 A 沿路径(1)变化到状态 B,问气体 的内能改变了多少?如气体沿路径(2)从状态 B 回到状态 A 时,外界对气体作功 300J, 问气体放出热量多少? P 解: (1) ΔE = Q1 − A1 = 800 − 500 = 300J (2) Q 2 = −ΔE − A 2 = −300 − 300 = −600J (1) B (2) A V 2、1mol氢,在压强为 1 大气压,温度为 20 C时,体积为V0,今使其经以下两个过程达到 同一状态,试分别计算以下两种过程中吸收的热量,气体对外作功和内能的增量,并在 p-V图上画出上述过程。 P(atm) 0 (1)先保持体积不变,加热使其温度升高到 80 C,然 后令其作等温膨胀,体积变为原体积的 2 倍; 2 353K (2)先使其等温膨胀到原体积的 2 倍,然后保持体积不 0 变,加热到 80 C。 3 1 1 293K 解:由题意知 T1=273+20=293K,T2=273+80=353K 2’ 5 (1) ΔE = E 2 − E 1 = C v (T2 − T1 ) = × 8.31× 60 = 1246J 2 2V0 V V0 2Vo A = A 23 = RT2 ln = 8.31 × 353 × ln 2 = 2033J V0