九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷(满分120分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)1.若方程(m-1)x2+5x+m=0是关于x的一元二次方程,则m的取值不可能的是( )A . m>1B . m<1C . m=1D . m=02.已知x=2是关于x的一元二次方程A x2-3B x-5=0的一个根,则4A -6B +6的值是( )A . 1B . 6C . 11D . 123.某服装原价为200元,连续两次涨价A %后,售价为242元,则A 的值为( )A . 10B . 9C . 5D . 124.将方程3x2+6x-1=0配方,变形正确的是( )A . (3x+1)2-1=0B . (3x+1)2-2=0C . 3(x+1)2-4=0D . 3(x+1)2-1=05.用因式分解法把方程6x(x-7)=7-x分解成两个一次方程,正确的是( )A . x-7=0,6x-1=0B . 6x=0,x-7=0C . 6x+1=0,x-7=0D . 6x=7,x-7=7-x6.若一元二次方程(1-2k)x2+12x-10=0有实数根,则k的最大整数值为( )A . 1B . 2C . -1D . 07.x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若x12+x1x2+x22=2k2恰成立，则k的值为( )A . ﹣1B . 或﹣1C .D . ﹣或18.在一幅长80C m，宽50C m的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400C m2，设金色纸边的宽为xC m，那么x满足的方程是( )A . x2+130x﹣1400=0B . x2+65x﹣350=0C . x2﹣130x﹣1400=0D . x2﹣65x﹣350=09.如图，在▱A B C D 中，A E⊥B C 于E，A E=EB =EC =A ，且A 是一元二次方程x2＋2x－3=0的根，则▱A B C D 的周长为( )A . 4＋2B . 12＋6C . 2＋2D . 2＋或12＋610.如图，在长70m，宽40 m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分)，要使观赏路面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是()A . (40－x)(70－x)＝350B . (40－2x)(70－3x)＝2450C . (40－2x)(70－3x)＝350D . (40－x)(70－x)＝2450二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.若关于x的一元二次方程4x2-2A x-A x-2A -6=0常数项为4,则一次项系数______.12.已知(A -1)x2-5x+3=0是一个关于x的一元二次方程,则不等式3A +6>0的解集_______.13.已知A ，B ，C 分别是三角形的三边，则方程(A +B )x2+2C x+(A +B )=0的根的情况是_____．14.已知实数x满足(x2-x)2-4(x2-x)-12=0，则代数式x2-x+1的值为▲三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.已知关于x的方程(m2－1)x2＋(m－1)x－2＝0.(1)当m为何值时，该方程为一元二次方程？(2)当m为何值时，该方程为一元一次方程？16.解方程(1):2x2－4x－5＝0.(公式法) (2) x2－4x＋1＝0.(配方法)(3)(y－1)2＋2y(1－y)＝0.(因式分解法)四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.已知关于x的方程x2﹣2(k+1)x+k2=0有两个实数根x1、x2．(1)求k的取值范围;(2)若x1+x2=3x1x2﹣6，求k的值．18.汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2015年盈利1500万元，到2017年盈利2160万元，且从2015年到2017年，每年盈利的年增长率相同．(1)该公司2016年盈利多少万元？(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2018年盈利多少万元？五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.阅读以下材料,解答问题:例:设y=x2+6x-1,求y的最小值.解:y=x2+6x-1=x2+2·3·x+32-32-1=(x+3)2-10,∵(x+3)2≥0,∴(x+3)2-10≥-10即y的最小值是-10.问题:(1)设y=x2-4x+5,求y的最小值.(2)已知:A 2+2A +B 2-4B +5=0,求A B 的值.20.已知:关于x的方程x2﹣(k+2)x+2k=0(1)求证:无论k取任何实数值，方程总有实数根;(2)若等腰三角形A B C 的一边长A =1，另两边长B ，C 恰好是这个方程的两个根，求△A B C 的周长．六、(本题满分12分)21.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价5元,商场平均每天可多售出10件.求:(1)若商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利多少元?(2)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?(3)要使商场平均每天盈利1600元,可能吗?请说明理由.七、(本题满分12分)22.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0.(1)判断方程根的情况;(2)若方程的两根x1,x2满足(x1-1)(x2-1)=5,求k值;(3)若△A B C 的两边A B ,A C 的长是方程的两根,第三边B C 的长为5,①则k为何值时,△A B C 是以B C 为斜边的直角三角形?②k为何值时,△A B C 是等腰三角形,并求出△A B C 的周长.八、(本题满分14分)23.合肥市某学校搬迁,教师和学生的寝室数量在增加,若该校今年准备建造三类不同的寝室,分别为单人间(供一个人住宿),双人间(供两个人住宿),四人间(供四个人住宿).因实际需要,单人间的数量在20至30之间(包括20和30),且四人间的数量是双人间的5倍.(1)若2015年学校寝室数为64个,2017年建成后寝室数为121个,求2015至2017年的平均增长率;(2)若建成后的寝室可供600人住宿,求单人间的数量;(3)若该校今年建造三类不同的寝室的总数为180个,则该校的寝室建成后最多可供多少师生住宿?参考答案一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)1.若方程(m-1)x2+5x+m=0是关于x的一元二次方程,则m的取值不可能的是( )A . m>1B . m<1C . m=1D . m=0[答案]C[解析][分析]根据一元二次方程的定义列式求出m的值，即可进行选择．[详解]∵(m−1)x2＋5x＋m＝0是关于x的一元二次方程，∴m−1≠0，解得m≠1，∴说法m＞1、m＜1、m＝0都是可以的，说法m＝1错误．故选:C ．[点睛]本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是A x2＋B x＋C ＝0(且A ≠0)．特别要注意A ≠0的条件．2.已知x=2是关于x的一元二次方程A x2-3B x-5=0的一个根,则4A -6B +6的值是( )A . 1B . 6C . 11D . 12[答案]C[解析][分析]把x＝2代入方程即可求得4A −6B 的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．[详解]∵x＝2是关于x的一元二次方程A x2−3B x−5＝0的一个根，∴4A −6B −5＝0，∴4A −6B ＝5，∴4A −6B ＋6＝5＋6＝11，即4A −6B ＋6＝11．故选:C ．[点睛]本题考查了一元二次方程的解．解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析．3.某服装原价为200元,连续两次涨价A %后,售价为242元,则A 的值为( )A . 10B . 9C . 5D . 12[答案]A[解析][分析]本题中原价为200元，第一次涨价后价格变为200(1＋A %)元，第二次在200(1＋A %)元的基础之上又涨A %，变为200(1＋A %)(1＋A %)即200(1＋A %)2元，从而可列出方程，进而求解．[详解]由题意得:200(1＋A %)2＝242，整理得(1＋A %)2＝1.21，解之得A %＝0.1＝10%或A %＝−2.1(舍去)．故A ＝10．故选:A ．[点睛]此类题目旨在考查增长率的定义，要注意增长的基数，另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．4.将方程3x2+6x-1=0配方,变形正确的是( )A . (3x+1)2-1=0B . (3x+1)2-2=0C . 3(x+1)2-4=0D . 3(x+1)2-1=0[答案]C[解析][分析]首先把二次项系数化为1，然后进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．[详解]∵3x2＋6x−1＝0∴3(x2＋2x)−1＝0∴3(x2＋2x＋1−1)−1＝0∴3(x2＋2x＋1)−3−1＝0∴3(x＋1)2−4＝0故选:C ．[点睛]先把二次项的系数化为1，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5.用因式分解法把方程6x(x-7)=7-x分解成两个一次方程,正确的是( )A . x-7=0,6x-1=0B . 6x=0,x-7=0C . 6x+1=0,x-7=0D . 6x=7,x-7=7-x[答案]C[解析][分析]先移项，再提公因式就可以求出结论.[详解]移项，得6x(x-7)+(x-7)=0，提公因式，得，(6x+1)(x−7)＝0，∴6x+1＝0或x−7＝0故选:C .[点睛]本题考查了运用平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，提公因式法分解因式及“十字”相乘法分解因式的方法解一元二次方程的运用，解答时灵活运用分解因式的方法是关键．6.若一元二次方程(1-2k)x2+12x-10=0有实数根,则k的最大整数值为( )A . 1B . 2C . -1D . 0[答案]B[解析][分析]由方程根的情况可求得k的取值范围，再求其最大整数即可．[详解]∵一元二次方程(1−2k)x2＋12x−10＝0有实数根，∴△≥0且1−2k≠0，即122−4(1−2k)×(−10)≥0且1−2k≠0，解得k≤2.3且k≠0.5，∴k的最大整数值为2，故选:B ．[点睛]本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．7.x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若x12+x1x2+x22=2k2恰成立，则k的值为( )A . ﹣1B . 或﹣1C .D . ﹣或1[答案]A[解析]分析:根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，再根据x12+x1x2+x22=(x1+x2)2﹣x1x2把已知条件代入，即可求得k的值．详解:根据根与系数的关系，得:x1+x2=﹣1，x1x2=k．又x12+x1x2+x22=2k2，则(x1+x2)2﹣x1x2=2k2，即1﹣k=2k2，解得:k=﹣1或．当k=时，△=1﹣2＜0，方程没有实数根，应舍去，∴取k=﹣1．故选A ．点睛:注意:利用根与系数的关系求得的字母的值一定要代入原方程，看方程是否有实数根．8.在一幅长80C m，宽50C m的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400C m2，设金色纸边的宽为xC m，那么x满足的方程是( )A . x2+130x﹣1400=0B . x2+65x﹣350=0C . x2﹣130x﹣1400=0D . x2﹣65x﹣350=0[答案]B[解析]试题分析:根据题意可得:挂图的长为(80+2x)C m，宽为(50+2x)C m，根据题意可得:(80+2x)(50+2x)=5400，化简得:+65x－350=0.考点:一元二次方程的应用9.如图，在▱A B C D 中，A E⊥B C 于E，A E=EB =EC =A ，且A 是一元二次方程x2＋2x－3=0的根，则▱A B C D 的周长为( )A . 4＋2B . 12＋6C . 2＋2D . 2＋或12＋6[答案]A[解析]先解方程求得A ，再根据勾股定理求得A B ，从而计算出□A B C D 的周长即可．解:∵A 是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，∴A 2+2A ﹣3=0，即(A ﹣1)(A +3)=0，解得，A =1或A =﹣3(不合题意，舍去)．∴A E=EB =EC =A =1．在Rt△A B E中，A B =，∴B C =EB +EC =2，∴□A B C D 的周长═2(A B +B C )=2(+2)=4+2．故选A ．10.如图，在长70m，宽40 m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分)，要使观赏路面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是()A . (40－x)(70－x)＝350B . (40－2x)(70－3x)＝2450C . (40－2x)(70－3x)＝350D . (40－x)(70－x)＝2450[答案]B[解析]试题解析:由题意可得，(40-2x)(70-3x)=40×70×(1-)，整理，得(40-2x)(70-3x)=2450，故选B ．二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.若关于x的一元二次方程4x2-2A x-A x-2A -6=0常数项为4,则一次项系数______.[答案]15[解析][分析]根据常数项是不含x的项，可得关于A 的方程，根据解方程，可得A 的值，可得一次项系数．[详解]由题意，得−2A −6＝4，解得A ＝−5．一次项的系数为−2A −A ＝−3A ＝−3×(−5)＝15，故答案为:15．[点睛]本题考查了一元二次方程的一般形式，利用常数项为零得出关于A 的方程是解题关键．12.已知(A -1)x2-5x+3=0是一个关于x的一元二次方程,则不等式3A +6>0的解集_______.[答案]A >-2且A ≠1[解析][分析](A −1)x2−5x＋3＝0是一个关于x的一元二次方程，所以(A −1)x2是二次项A −1≠0，解得A ≠1;解得不等式3A ＋6＞0，则A ＞−2，从而得到其解集是A ＞−2且A ≠1．[详解]∵(A −1)x2−5x＋3＝0是一个关于x的一元二次方程，∴(A −1)x2是二次项A −1≠0，∴A ≠1，∵不等式3A ＋6＞0，∴A ＞−2，∴不等式3A ＋6＞0的解集是A ＞−2且A ≠1．[点睛]要确定二次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．确定A ≠1，结合不等式3A ＋6＞0求出A 的解集．一元二次方程的一般形式是:A x2＋B x＋C ＝0(A ，B ，C 是常数且A ≠0)特别要注意A ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中A x2叫二次项，B x叫一次项，C 是常数项．其中A ，B ，C 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．13.已知A ，B ，C 分别是三角形的三边，则方程(A +B )x2+2C x+(A +B )=0的根的情况是_____．[答案]方程没有实数根．[解析]解:△=(2C )2﹣4(A +B )(A +B )=4C 2﹣4(A +B )2=4(C +A +B )(C ﹣A ﹣B )．∵A ，B ，C 分别是三角形的三边，∴A +B ＞C ，∴C +A +B ＞0，C ﹣A ﹣B ＜0，∴△＜0，则方程没有实数根．14.已知实数x满足(x2-x)2-4(x2-x)-12=0，则代数式x2-x+1的值为▲[答案]7[解析]设x2-x=m，则原方程可化为:m2-4m-12=0，解得m=-2，m=6;当m=-2时，x2-x=-2，即x2-x+2=0，△=1-8＜0，原方程没有实数根，故m=-2不合题意，舍去;当m=6时，x2-x=6，即x2-x-6=0，△=1+24＞0，故m的值为6;∴x2-x+1=m+1=7三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.已知关于x的方程(m2－1)x2＋(m－1)x－2＝0.(1)当m为何值时，该方程为一元二次方程？(2)当m为何值时，该方程为一元一次方程？[答案](1)当m≠±1时，该方程为一元二次方程(2)当m＝－1时，该方程为一元一次方程．[解析][分析](1)根据一元二次方程的定义得到:m2-1≠0，由此可以求得m的值;(2)由一元一次方程的定义得到:m2-1=0，且m-1≠0，由此可以求得m的值.[详解](1)∵关于x的方程(m2－1)x2＋(m－1)x－2＝0为一元二次方程，∴m2－1≠0，解得m≠±1，即当m≠±1时，该方程为一元二次方程;(2)∵关于x的方程(m2－1)x2＋(m－1)x－2＝0为一元一次方程，∴m2－1＝0，且m－1≠0，解得m＝－1，即当m＝－1时，该方程为一元一次方程．[点睛]本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义．熟知一元一次方程的未知数的系数不等于零，一元二次方程的二次项系数不等于零是解题的关键．16.解方程(1):2x2－4x－5＝0.(公式法) (2) x2－4x＋1＝0.(配方法)(3)(y－1)2＋2y(1－y)＝0.(因式分解法)[答案](1)x=;(2)x=; (3)y=[解析]分析: (1)先找A ，B ，C ，再求△，根据根的判别式判断方程根的情况，再代入公式计算即可;(2)先移项，再方程两边同加上一次项系数一般半的平方，再直接开平方即可;(3)先变形，再提公因式，得出两个一元一次方程求解即可．详解:(1):2x2－4x－5＝0.∵A =2，B =−4，C =−5，B ²−4AC =(−4) ²−4×2×(−5)=56>0.∴x==.∴x₁=,x₂=.(2) x2－4x＋1＝0.x²−4x+4=4−1,即(x−2) ²=3.∴x₁=2+,x₂=2−.(3)∵(y−1) ²+2y(1−y)=0，∴(y−1) ²−2y(y−1)=0.∴(y−1)(y−1−2y)=0.∴y−1=0或y−1−2y=0.∴y₁=1,y₂=−1.点睛: 本题考查了解一元二次方程-因式分解法:先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).也考查了配方法和公式法解一元二次方程.四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.已知关于x的方程x2﹣2(k+1)x+k2=0有两个实数根x1、x2．(1)求k的取值范围;(2)若x1+x2=3x1x2﹣6，求k的值．[答案](1)k≥﹣(2)k=2[解析]试题分析:(1)、根据方程有两个实数根，从而得出△=，得出k的取值范围;(2)、根据韦达定理得出两根之和和两根之积，然后代入代数式求出k的值，然后根据k的取值范围得出答案.试题解析:(1)∵方程x2﹣2(k+1)x+k2=0有两个实数根x1，x2，∴△≥0，即4(k+1)2﹣4×1×k2≥0，解得k≥﹣，∴k的取值范围为k≥﹣;(2)∵方程x2﹣2(k+1)x+k2=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=2(k+1)，x1x2=k2，∵x1+x2=3x1x2﹣6，∴2(k+1)=3k2﹣6，即3k2﹣2k﹣8=0，∴k1=2，k2=﹣，∵k≥﹣，∴k=2．18.汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2015年盈利1500万元，到2017年盈利2160万元，且从2015年到2017年，每年盈利的年增长率相同．(1)该公司2016年盈利多少万元？(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2018年盈利多少万元？[答案](1)2016年该公司盈利1800万元(2)预计2008年该公司盈利2592万元[解析]试题分析:(1)设每年盈利的年增长率为x，根据相等关系是“2017年盈利=2015年盈利×(1+每年盈利的年增长率)2”，列出方程并解方程求得增长率，再由“2016年盈利=2015年盈利×每年盈利的年增长率”计算出2016年盈利即可;(2)由“2018年盈利=2017年盈利×每年盈利的年增长率”计算出2018年盈利即可．试题解析:(1)设每年盈利的年增长率为x，根据题意得1500(1+x)2=2160解得x1=0.2，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)∴1500(1+x)=1500(1+0.2)=1800答:2016年该公司盈利1800万元．(2)2160(1+0.2)=2592答:预计2008年该公司盈利2592万元五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.阅读以下材料,解答问题:例:设y=x2+6x-1,求y的最小值.解:y=x2+6x-1=x2+2·3·x+32-32-1=(x+3)2-10,∵(x+3)2≥0,∴(x+3)2-10≥-10即y的最小值是-10.问题:(1)设y=x2-4x+5,求y的最小值.(2)已知:A 2+2A +B 2-4B +5=0,求A B 的值.[答案](1) y的最小值是1;(2) -2.[解析][分析](1)先把要求的式子进行变形，得出y＝(x−2)2＋1，再根据(x−2)2≥0，即可求出y的最小值;(2)先把A 2＋2A ＋B 2−4B ＋5＝0变形为(A ＋1)2＋(B −2)2＝0，再根据(A ＋1)2≥0，(B −2)2≥0，求出A 与B 的值，然后代入计算即可．[详解](1)∵y=x2-4x+，∴y=x2-4x+4+1=(x-2)2+1.∵(x-2)2≥0，∴(x-2)2+1≥1，即y的最小值是1;(2)∵A 2+2A +B 2-4B +5=0，∴A 2+2A +1+B 2-4B +4=0，∴(A +1)2+(B -2)2=0，∵(A +1)2≥0，(B -2)2≥0，∴A +1=0，B -2=0，∴A =-1，B =2，∴A B =-1×2=-2.[点睛]此题考查了配方法的应用，关键是通过配方对要求的式子进行变形，再根据完全平方式的性质求值．20.已知:关于x的方程x2﹣(k+2)x+2k=0(1)求证:无论k取任何实数值，方程总有实数根;(2)若等腰三角形A B C 的一边长A =1，另两边长B ，C 恰好是这个方程的两个根，求△A B C 的周长．[答案](1)无论取任何实数值，方程总有实数根;(2)△A B C 的周长为5．[解析]试题分析:(1)先计算出△=(k+2)2﹣4•2k=(k﹣2)2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况;(2)分类讨论:当B =C 时，△=0，则k=2，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长;当B =A =1或C =A =1时，把x=1代入方程解出k=1，再解此时的一元二次方程，然后根据三角形三边的关系进行判断．试题解析:(1)△=(k+2)2﹣4•2k=(k﹣2)2，∵(k﹣2)2≥0，即△≥0，∴无论取任何实数值，方程总有实数根;(2)当B =C 时，△=(k﹣2)2=0，则k=2，方程化为x2﹣4x+4=0，解得x1=x2=2，∴△A B C 的周长=2+2+1=5;当B =A =1或C =A =1时，把x=1代入方程得1﹣(k+2)+2k=0，解得k=1，方程化为x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，不符合三角形三边的关系，此情况舍去，∴△A B C 的周长为5．[考点]根的判别式;根与系数的关系;三角形三边关系;等腰三角形的性质．视频六、(本题满分12分)21.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价5元,商场平均每天可多售出10件.求:(1)若商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利多少元?(2)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?(3)要使商场平均每天盈利1600元,可能吗?请说明理由.[答案](1)商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利1008元;(2)每件衬衫应降价20元;(3)不可能.理由见解析.[解析][分析](1)根据题意得到每天的销售量，然后由销售量×每件盈利进行解答;(2)利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可;(3)同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以．[详解](1)×(40-4)=1008(元).答:商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利1008元.(2)设每件衬衫应降价x元，根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200，整理，得x2-30x+200=0，解得x1=10，x2=20，∵要尽量减少库存，∴x=20.答:每件衬衫应降价20元.(3)不可能.理由如下:令(40-x)(20+2x)=1600，整理得x2-30x+400=0，∵Δ=900-4×400<0，∴商场平均每天不可能盈利1600元.[点睛]此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系:平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键．七、(本题满分12分)22.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0.(1)判断方程根的情况;(2)若方程的两根x1,x2满足(x1-1)(x2-1)=5,求k值;(3)若△A B C 的两边A B ,A C 的长是方程的两根,第三边B C 的长为5,①则k为何值时,△A B C 是以B C 为斜边的直角三角形?②k为何值时,△A B C 是等腰三角形,并求出△A B C 的周长.[答案](1) 见解析;(2) k=;(3) 当k=3时,△A B C 是等腰三角形,此时△A B C 的周长为14;当k=4时,△A B C 是等腰三角形,此时△A B C 的周长为16.[解析][分析](1)根据方程的系数结合根的判别式即可得出△＝1＞0，由此即可得出方程有两个不相等的实数根;(2)根据根与系数的关系进行解答;(3)利用分解因式法可求出x1＝k＋1，x2＝k＋2．①不妨设A B ＝k＋1，A C ＝k＋2，根据B C ＝5利用勾股定理即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值;②根据(1)结论可得出A B ≠A C ，由此可找出△A B C 是等腰三角形分两种情况，分A B ＝B C 、A C ＝B C 两种情况考虑，根据两边相等找出关于k的一元一次方程，解方程求出k值，进而可得出三角形的三边长，再根据三角形的周长公式即可得出结论[详解](1)∵在方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0中，Δ=B 2-4A C =[-(2k+3)]2-4(k2+3k+2)=1>0，∴方程有两个不相等的实数根;(2)∵x1+x2=2k+3，x1·x2=k2+3k+2，∴由(x1-1)(x2-1)=5，得x1·x2-(x1+x2)+1=5，即k2+3k+2-2k-3+1=5，整理得k2+k-5=0，解得k=;(3)∵x2-(2k+3)x+k2+3k+2=(x-k-1)(x-k-2)=0，∴x1=k+1，x2=k+2.①不妨设A B =k+1，A C =k+2，∴斜边B C =5时，有A B 2+A C 2=B C 2，即(k+1)2+(k+2)2=25，解得k1=2，k2=-5(舍去)，∴当k=2时，△A B C 是直角三角形;②∵A B =k+1，A C =k+2，B C =5，由(1)知A B ≠A C ，故有两种情况:(Ⅰ)当A C =B C =5时，k+2=5，∴k=3，A B =3+1=4，∵4，5，5满足任意两边之和大于第三边，∴此时△A B C 的周长为4+5+5=14;(Ⅱ)当A B =B C =5时，k+1=5，∴k=4，A C =k+2=6，∵6，5，5满足任意两边之和大于第三边，∴此时△A B C 的周长为6+5+5=16.综上可知，当k=3时，△A B C 是等腰三角形，此时△A B C 的周长为14;当k=4时，△A B C 是等腰三角形，此时△A B C 的周长为16.[点睛]本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及等腰三角形的判定，熟练掌握“当根的判别式△＞0时，方程有两个不等实数根．”是解题的关键．八、(本题满分14分)23.合肥市某学校搬迁,教师和学生的寝室数量在增加,若该校今年准备建造三类不同的寝室,分别为单人间(供一个人住宿),双人间(供两个人住宿),四人间(供四个人住宿).因实际需要,单人间的数量在20至30之间(包括20和30),且四人间的数量是双人间的5倍.(1)若2015年学校寝室数为64个,2017年建成后寝室数为121个,求2015至2017年的平均增长率;(2)若建成后的寝室可供600人住宿,求单人间的数量;(3)若该校今年建造三类不同的寝室的总数为180个,则该校的寝室建成后最多可供多少师生住宿?[答案](1) 2015至2017年的平均增长率为37.5%;(2)单人间的数量是28间;(3)该校的寝室建成后最多可供596名师生住宿.[解析][分析](1)可设2015至2017年的平均增长率是x，根据等量关系:2015年学校寝室数×(1＋平均增长率)2＝2017年学校寝室数，列出方程求解即可;(2)设双人间的数量为y间，则四人间的数量为5y间，根据不等量关系:单人间的数量在20至于30之间(包括20和30)，列出不等式，再根据整数的性质即可求解;(3)由于四人间的数量是双人间的5倍，可知四人间和双人间的数量是5＋1＝6的倍数，找到150～160间6的最大倍数，再进一步求出双人间和四人间的数量，以及单人间的数量，从而求解．[详解](1)设2015至2017年的平均增长率是x，依题意有64(1+x)2=121，解得x1=0.375，x2=-2.375.故2015至2017年的平均增长率为37.5%;(2)设双人间的数量为y间，则四人间的数量为5y间，依题意有20≤600-2y-4×5y≤30，解得25≤y≤26，∵y为整数，∴y=26，600-2y-4×5y=600-52-520=28.故单人间的数量是28间;(3)由于四人间的数量是双人间的5倍，则四人间和双人间的数量是5+1=6的倍数，双人间与四人间总数量在150~160之间.∵150~160间6的最大倍数是156，∴双人间156÷6=26(间)，四人间的数量26×5=130(间)，单人间180-156=24(间)，24+26×2+130×4=596(名).答:该校的寝室建成后最多可供596名师生住宿.[点睛]本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．。