第二节 力的合成与分解一、力的合成力的合成的本质就在于保证作用效果相同的前提下,用一个力等效代替几个力的共同作用,如果这一个力的作用效果与几个力共同的作用效果相同,那么这个力就是那几个力的合力。

合力与分力是一种等效替代的关系。

1．平行四边形定则当同一直线上的两个力同向时,合力等于这两力之和,即12 F F F =+合;当同一直线上的两个力方向相反时,合力等于较大力与较小力之差,即12 F F F =-合。

有两个力的方向不在同一直线上,则不能简单地用加、减来计算合力的大小。

实验证明,互成夹角的两个力与合力的关系符合“平行四边形定则”,内容如下：以两分力为邻边作平行四边形,两分力所夹的对角线即表示合力的大小与方向,如图4.46所示。

利用平行四边形定则结合数学知识可以方便地求出合力的大小和方向。

设力1F ,2F 的夹角为α,则它们的合力F 合的大小可由余弦定理求得： ()221212 2cos 180F F F F F α=+-︒-合根据()cos 180cos αα︒-=-,因此221212 2cos F F F F F α=++合。

（1）两个力的合成对子一些特殊情况下的合力计算,可以根据三角形知识来求解合力。

下面列举出两个等大的力F ,夹角取下列情况时合力的大小,如图4.47所示,请同学们利用平行四边形定则,结合数学知识来试着验证,以掌握合力的计算方法。

从上述计算合力的过程中,还可以得出以下几个结论：①合力不一定比分力大。

实际上合力可以大于、等于或小于分力的大小。

②合力大小的变化范围是2112F F F F F -≤≤+合。

③当两个分力大小不变时,两分力夹角越大,合力越小。

上述几种特殊情况下的两个力的合力的值,同学们要牢记,在很多情形下都可以直接运用。

例1 如图4.48所示,小娟、小明两人共提一桶水匀速前行,已知两人手臂上的拉力大小相等且为F ,两人手臂间的夹角为θ,水和水桶所受总重力为G ,则下列说法中正确的是（ ）。

A ．当θ为120︒时,F G =B ．不管θ为何值,2G F =C ．当0θ=︒时,2G F = D ．θ越大时F 越小 分析与解 两人提起水桶匀速前行时,两手臂的拉力的合力大小应等于水桶所受重力G 的大小。

由平行四边形知识可知,当θ为120︒时,手臂拉力F G =,当0θ=︒时,两拉力F 同方向,2G F =。

当两拉力夹角变大时,由于合力不变,相当于平行四边形的对角线不变,而两邻边夹角变大,对应的邻边长度变长,即F 变大。

本题正确选项为AC 。

（2）多个力的合成当需要求解若于个力的合力时,我们可以先合成其中两个力,然后用这两个力的合力再与第三个力合成……如此进行下去,可以求得这几个力的合力。

但是合成的时候,可以先对这几个力进行观察,优先合成同一直线上的力或者优先合成那些容易计算的力,这样可以简化问题。

例2 如图4.49所示,6个力的合力为1F ,若去掉1N 的那个分力,则其余5个力的合力为2F ,关于1F ,2F 的大小及方向表述正确的是（ ）。

A ．10F =B ．11N F =,方向与1N 的力相反C ．21N F =,方向与4N 的力相同D ．27N F =,方向与4N 的力相同分析与解 观察本题中的6个力,发现有3对力是共线的,若将3对共线的力先合成,则问题将大大简化。

因此,先将3N 与6N 、4N 与1N 、2N 与5N 这3对力合成,则得到如图4.50（a ）所示的3个3N 的力,这3个力中任意2个力的合力都与第3个力等大反向,因此最终的合力10F =。

若将1N 的那个分力撤去,则将共线的力合成后如图4.50（b ）所示,显然剩余5个力的合力21N F =,方向与4N 的力同向,本题正确选项为AC 。

2．三角形定则如图4.51所示,在平行四边形定则中,将分力2F 平移至其对边的位置,则可发现1F ,2F 首尾相接,自1F 的起始端指向2F 末端的有向线段,即为1F ,2F 的合力这就县三角形定则。

利用三角形定则,除了可以求解合力、分力大小的问题,还可以方便地判断力的最值（即最大值或最小值）和力的动态变化问题。

（1）合力的最小值问题．当已知分力1F 的大小、方向及另一个分力2F 的方向时,合力F 合取最小值的条件是F 合与2F 垂直,如图4.52所示,F 合的最小值为1min?sin F F θ=合。

（2）分力的最小值问题当合力F 合的方向确定,而大小未知,分力1F 的大小和方向均确定时,另一个分力2F 取最小值的条件是2F 与合力F 合垂直,如图4.53所示,2F 的最小值为2min 1sin F F θ=。

例3 如图4.54所示,分力1F 的大小、方向均不变,2F 大小不变,方向变化。

1F ,2F 与它们合力F 之间的夹角分别为θ,α。

则当α=________时,θ取最大值,其最大值应满足的关系为________。

分析与解 如图4.55所示,以分力1F 的末端为圆心,2F 的大小为半径画半圆,1F ,2F 以及它们的合力F 围成一个矢量三角形,其中F 即为从1F 的起始端指向2F 末端的有向线段,可见,当2F 方向变化时,F 的方向、大小随之变化,θ也在改变。

当F 恰和半圆相切时,2F 与F 垂直,即90α=︒时,θ角取得最大值,有21sin F F θ=。

例4 如图4.56所示,竖直杆AB 可在竖直面内左右摆动,A 端系有两根绳子AC 与AD ,在绳AC 拉力作用下整个装置处于平衡状态,若绳AC 加长,使点C 缓慢向左移动,杆AB 仍竖直,且处于平衡状态,则绳AC 的拉力T 和杆AB 所受的压力N 与原先相比,下列说法中正确的是（ ）。

A．T增大,N减小B．T减小,N增大C．T和N均增大D．T和N均减小分析与解杆AB可在竖直面内左右摆动,则要使杆处于竖直平衡状态,绳AC与绳AD对杆上A点的拉力的合力N必竖直向下,即沿着杆的方向,否则杆将倒下。

绳AD对A点的拉力大小等于重物所受重力大小,记为0F,画出A点力的矢量三角形如图4.57所示。

当绳AC加长,使点C缓慢向左移动时,绳AC的拉力T与坚直方向的夹角变大,T逐渐变为1T,2T,对应地,合力由N逐渐变为1N, 2N。

可见,T和N均减小,选项D正确。

例5 如图4.58所示,小球质量为m,用一细线悬挂。

现用一大小恒为12F mg=的力慢慢将小球拉起,在小球可能的平衡位置中,细线与竖直方向的最大夹角θ是多少？分析与解当小球平衡时,重力mg与拉力F的合力F合—定沿着细线的方向,且根据三角形定则,当F与mg首尾相接时,F合就是从mg的起始端指向F末端的有向线段。

画出表示重力的有向线段,并以重力的末端为圆心,以F的大小为半径画圆,则F合,mg,F组成的矢量三角形如图4.59所示。

当F取不同方向时,F合的大小、方向均随之发生变化。

只有当F合恰与圆相切,即F与F合垂直时,θ最大,且满足1sin2Fmgθ==,30θ=︒。

二、力的分解力的分解是力的合成的逆运算,即已知某个力,求解其分力的过程。

力的分解同样遵循平行四边形法则和三角形定则。

求解一个力的分力的过程,就像已知对角线,画出平行四边形的过程。

如果不加以限制,结果有无数种,如图4.60所示。

但是,当两个邻边的方向确定时,所画出的平行四边形就是唯一的。

因此,在分力的方向确定时,分解的情况就是唯一的,如图4.61所示。

1．按照力的作用效果分解力实际分解一个力时,往往根据力的作用效果来确定两个分力的方向,从而把力分解,下面举几个例子。

（1）水平面上物体所受拉力的分解：如图4.62所示,拉力F 实际产生了两个作用效果——想要物体沿水平面向右运动和想把物体竖直提起离开水平面。

因此可以把力沿着水平方向和竖直方向分解为1F ,2F 两个分力。

可求得1cos F F θ=,2sin F F θ=。

（2）斜面上物体重力的分解：如图4.63所示,物块的重力实际产生了两个作用效果,一是使物体有沿斜面下滑的趋势,二是使物体压紧斜面。

因此可将物体重力G 分解为平行于斜面向下和垂直于斜面向下的两个分力1G ,2G ,可求得1sin G G θ=,2cos G G θ=。

值得注意的是,2G 并不是物体对斜面的压力,而只是大小与物体对斜面的压力相等。

（3）被夹板夹起的球重力的分解：如图4.64所示,球的重力的作用效果就是挤压左右两个夹板,因此可将重力G 分解为垂直于两个夹板的分力1F ,2F 。

设两板夹角为θ,夹板的平分线竖直,则由对#性及平行四边形法则可知122sin 2G F F θ==。

（4）斜靠在墙壁上球的重力分解：如图4.65所示,球固定在轻杆一端,斜靠在竖直墙壁上,轻杆另一端通过可自由转动的铰链与水平地面相连。

小球的重力产生的效果,一方面使球对墙有压力,另一方面,使球对杆也有压力。

球对轻杆的压力方向需要我们探讨：因为杆另一端与铰链相连,可以自由转动,因此若球对杆的弹力不沿着杆,杆必转动,因此球对杆的压力沿着杆斜向下。

至此,可以将球的重力G 分解为沿着杆斜向下的分力1F 和垂直于墙璧向右的分力2F ,可求得1sin G F θ=,2tan G F θ=。

例6 如图4.66所示,两光滑平板OM ,ON 构成一具有固定夹角075θ=︒的V 形糟,一球置于槽内,用θ表示NO 板与水平面之间的夹角。

若球对板NO 压力的大小正好等于球所受重力的大小,则θ值应该是（ ）。

A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒分析与解 将球的重力分解为垂直于OM ,ON 板方向的两个分力1F ,2F ,其中垂直于ON 板的分力2F G =。

在图4.67所示的平行四边形ABCD 中,0180105BCD θ=︒-=∠︒,ACB θ∠=,则1801052CAB ACD θθ︒-∠=∠=︒-=,解得30θ=︒,选项B 正确。

2．力的正交分解法实际分解力时,还可以根据问题的需要,把力沿着两个相互垂直的方向进行分解,即正文分解。

分解时,要根据实际情况建立以物体所在位置为坐标原点的xOy 坐标系,并使尽量多的力出现在坐标轴上,再把其他力沿着x ,y 轴分解为1x F ,1y F ,2x F ,2y F 等。

接下来可以求解x 轴、y 轴上的合力 123x x x x F F F F =+++,123y y y y F F F F =+++ 最后求x F 和y F 的合力F 合大小： F =合,F 合与x 轴方向的夹角θ满足tan yx F F θ=。

例7 如图4.68所示,三个共点力110N F =,2F =,315N F =,它们的方向如图4.68所示,求这三个力的合力大小和方向。

分析与解 本题若用平行四边形法则逐一合成各个力,则过于烦琐,因此考虑正交分解的方法。