（8-2）
x y z xy 0
zx yz
G ( y ) x G ( x) y
（8-3a）
（8-3b）
由上式可见，作用在横截面的应力分量只有两个不 等于零，并且与坐标z无关，即在所有横截面上的应 力分布规律都是相同的。
中的常数k是可以任取的。为了简便起见，对单
连通截面可取k = 0。
2G
2
（在内） （8-20） （在上） （8-21）
0
都能自动满足。
在单连通截面情况下，端部边界条件（8-6）的前二式
此结论证明如下：

zx dxdy

dxdy y
mds 0
现在来推导翘曲函数所满足的方程。将（8-1） 代入位移表示的平衡微分方程（6-2），显然该 方程组的前两式已得到满足，而最后一式要求
2 2 2 2 2 0 （在内） （8-4） x y
方程（8-4）就是扭转问题位移法求解的控制方程。
它表明，翘曲函数必须是调和函数。
曲线，而沿着轴向发生翘曲；且所有横截面的边界
线的翘曲程度都相同。
根据上述实验现象，我们可以认为，在扭转过程中， 截面上面内的转动是刚性的，而面外的翘曲与截面 位置(z)无关，从而可设：
v xz （8-1） w ( x, y ) 称为翘曲函数；为常数，表示相距单位长度
yz
w G ( x) G( x) y y
因此得到 w zx
w yz y, x x G y G
将上式代入（8-26）得

1 dw i G
1 G
(
i
zx dx
yz dy) ( ydx xdy)
称为约束扭转。
§8-1 位移法的控制方程和边界条件
§8-2 应力函数解法
§8-3 剪应力分布特点 §8-4 椭圆截面杆的扭转 §8-5 等边三角形截面杆的扭转 §8-6 具有半圆形槽的圆轴的扭转
§8-7 同心圆管的扭转
设取一任意截面的柱形杆，其长度为l，一端“固定”
于xy平面，另一端作用一个力偶，其矩的大小为M，
y
s
dy α -dx α dx
dv dy
0
x
故上式可写成
d yl xm d
（在上）
（8-5）
d / d 是翘曲函数对于边界的外法线方向的方
向导数。式（8-5）就是翘曲函数所要满足的边
界条件（在周界上）。 于是扭转问题转化为求解在给定的边界条件（8-5）
或（8-5）下，微分方程（8-4）的翘曲函数。
第八章
弹性柱体的扭转
柱体的扭转问题是工程中广泛存在的一类实际问题。
翘曲 对于非圆截面杆的扭转，一般说来横截面不再保持
为平面，即同一横截面的不同点将产生不同的轴向
位移，这种现象称为翘曲。 自由扭转 对于两端承受扭力矩的等截面直杆而言，如果截面
的翘曲不受限制，这种扭转称为自由扭转；
约束扭转 如果截面的翘曲受到限制，会产生附加正应力，
1 2 2 ( x, y) G[ ( x y )] 2
由此
（8-16）
2G
2
（在内） 8-17）
k const
（在上） （8-18）
应力分量：
x y z xy 0 yz , zx
的关于的狄利克莱（Dirichlet）问题
2 0
1 2 (x y 2 ) C 2
（在内）
（8-11）
（在上）
（8-12）
采用共轭函数后，应力分量可表示为
x y z xy 0 yz G ( x) x zx G ( y) y
( xl ym)ds
0
0 ( xl
ym)ds

k ( xl ym)ds k ( xdy ydx)
2
i 1 n
i
k
i i 1
i
于是多连通截面情况的扭矩表示为
M 2 dxdy 2 k i i
zx dxdy 0
（8-6）
可以证明（8-6）式中前两式已恒满足。

zx dxdy G

( y)dxdy x
G

{
[ x( y)] [ x( x)]}dxdy x x y y
进一步根据积分定理，并利用边界条件（8-5）， 上式可化成
同理，y方向的合力

yz dxdy 0
由（8-6）式的第三式得对z轴的合力矩
M
(
zx y
yz x)dxdy



( x y)dxdy x y

[ ( x ) ( y ) 2 ]dxdy x y

( xl ym)ds 2 dxdy
（在上）
（ 2）
dy l ds
m
dx 代入上式得 ds
dx dy ydy xdx x y
或
1 2 d [ ( x y 2 )] 0 2
1 2 (x y 2 ) C 2
积分后得
（8-10）
我们就把原来关于的诺伊曼边值问题化成下列等价

( )ds 2G i i
(i 1, 2, , n)
§8-3 剪应力分布特点
等直杆扭转时的几个主要性质：
1. 扭转问题的最大剪应力发生在截面边界上
根据（8-3b）式，总剪应力

2 2 zx 2 zy
2 2 G ( y) ( x) y x
x y
（8-19）
该组应力满足所有平衡方程，故为应力函数。 将应力分量（8-19）代入应力表示的协调方程
（6-13），其中前四个方程都得到满足，而后
两个方程给出 2 0
x
2 0 y
即要求
C
2
这与方程（8-17）一致，所以方程（8-17）实际上
就是协调方程。 因为应力分量只与的导数有关，所以（8-18）式
的两横截面的相对转角，称为单位长度扭转角。利用
几何方程（2-11）可以得到应变分量为
x y z xy 0 zx ( y) x zy ( x) y
u yz
( x, y )
出；最后便可分别从（8-1）和（8-3b）式求出位
移分量和应力分量。上述求解翘曲函数的微分方 程定解问题在数学上称为诺伊曼（Neumann）问题。
该问题也可以把它变成另一个边值问题，因为函数
是一个调和函数，故可以引进另一个调和函数 ( x, y)
，以此定义一个解析函数（详见§11-1）。
2 2
（8-7）

（8-8） 式中 已由前面微分方程（8-4）的边值问题确定， 与截面的几何形状有关，因此D表征了柱形截面抗 扭的几何特征。从物理意义上讲，GD就是扭转刚度。
对于给定的柱形杆，G和D都是已知的，故只要知道
扭矩M，即可求出；反之，知道了，也可求出M。 综上所述，柱形杆扭转的位移法可归结为：首先在 边界条件（8-5）下，由拉普拉斯方程（8-4）解出 翘曲函数；再由（8-8）式计算D，由（8-7）式算
（8-13）
扭矩（（8-6）式）可表示为
M G
D

2
[x 2 y 2 x
y ]dxdy GD x y
（8-14） （8-15）

[x y x y ]dxdy x y
2
§8-2 应力函数解法
为了简化扭转问题的边界条件，普朗特尔（Prandtl） 建议引进应力函数
i

dx dy ( )ds i y ds x ds
( ydx xdy) 0
i
（ 2）
由图8-3中的几何关系，有
dy dy dx dx , ds d ds d
因此，（2）式中第一项积分化成
1 G

dx dy 1 ( )ds i y ds x ds G

i 1 n
计算D的公式与单连通截面情况相同，即
D M / G
上列各式中内边界上应力函数的值
下列位移单值条件确定
k i ，可通过

dw
i

w w ( dx dy) 0 (i 1, 2, , n) i x y
将（8-1）式的第三式代入（8-3b）式
zx
w G ( y) G( y ) x x
矩矢的方向与z轴一致(如图8-1)，柱形杆的侧面没有
外力作用，自重可以不计。 这里，所谓“固定端”指该截面不能转动，但可以沿
着z轴方向自由伸缩，以保证杆件产生自由扭转。
通过扭转试验观察到，变形后杆件表面的母线变成 了螺旋线，而原来与母线垂直的横截面的平面边界
线，绕着柱的轴线发生转动，一般不再保持为平面
0
单连通域：
0

M 2 dxdy
于是，由（8-7）式知
M 2 D G G
对于多连通截面
dxdy
0 1 n
图8-2
因为函数虽在同一边界上是一个常数，但不同 边界的值一般是不相等的，此时，只能取其中一 个边界上的值等于零，例如，在外边界 k 0 0 在内边界 k i (i 1, 2, , n)
但，位移解（8-1）中还有一个未知参数需要确定。