空间向量的坐标
那么, 对于空间任 意 一 个 向 量 p,一 定 可 以 把 它 平 移 ,使 它 的起 点 与 原 点O重 合,得 到 向 量OP p.由 空 间 向
量 基 本 定 理 可,存知在 有 序 实 数x组 , y, z,使
得p xe1 ye2 ze3.我 们 把x, y, z称 作 向 量 p 在 单 位 正 交 基e1底 ,e2,e3下 的 坐 标 ,
r c
的线性运算表示
ur p
？
p b
c a
P
p b
c
a
B
C A
O
类似于平面向理 量,我 基们 本有 定空间向 基本定 . 理
定理如果三个 a,b向 ,c不 量共,那 面么对空
间任一p 向 ,存量在有序实 x,y数 ,z,使 组得
pxaybzc.
由 此 可 ,如知 果 三 个 a,b,向 c不量 共,那 面么 所 有 空 间 向 量 组 就成 是的 集 合
空间向量的基底表示
我们知道 ,平面内任意一 个向量 p都可以用两个不 共线的向量 a ,b 来表示 (平 面 向 量 基 本 定 理 ). 对 于 空 间任意一个向量 ,有没有 类似的结论呢 ?
问题与思考
设
r a,
r b,
r c
是空间三个不共面向量，对于空间任一
向量
ur p
，能否用
r a,
r b,
111
6OA3OB3OC ;
O
OQOMMQ
M
11 2OA 3MN
Q
A
C
P
1 1
2OA 3ON OM 12OA13ON12OA
N
B
图3.116
1 1 1
111
3O A32O BOC 3OA6OB6OC.
作业
P94 2，3
P117 1，2，
1、已知直线 l : x - y - 2 = 0 与抛物线 E: y 2 = ax(a>0)相交 于 M、N 两点，且以线段 MN 为直径的圆过坐标原点 O， 求抛物线 E 的方程。
p|pxaybzc,x,y,zR. 这个集合可
看 作 是 由a向 ,b,量 c生 成,的 我 们把 a,b,c叫 做 空 间 的基一底个base,a,b,c都 叫基做向 量 basevector.空 s 间 任 何 三 个 不向共量面 的
都 可 构 成 空 间 的底一 . 个 基
特别地, 设e1 , e2 , e3为有公共起点O的三个两 两垂直的单位向量( 我们称它们为单位正交 基底),以e1,e2,e3 的公共起点O为原点,分别 以e1 , e2 , e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向 建立空间直角坐标O系xyz.
例 4 如图 3.1 16 , M , N分 别是四面体 OABC 的边 OA , BC 的中点 , P, Q是 MN 的三 等分点 .用向量 OA , OB , OC 表示 OP 和 OQ .
解 OPOMMP
O
M
Q
A
ห้องสมุดไป่ตู้
C
P
N
B
图3.116
1 2
12
2OA 3MN 2OA 3ON OM
12OA32ON12OA 1 6O A3 21 2O BOC
记 作p x, y, z.
问题与思考
1、若O 为空间直角坐标系原点, 空间向量
a OA (x, y, z) ,则点 A 的坐标为 (x, y, z) ；
2、若点 A 、点 B 的坐标分别为 (x1, y1, z1) ，
(x2 , y2 , z2 ) ，则向量 AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1) 。