重庆市两江中学2015高三（上）9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2=1}，集合N={x|ax=1}，若N⊂M，a的值是（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0，1或﹣1考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；集合．分析：化简M，再根据N⊂M，分情况对参数的取值进行讨论，求出参数的取值集合．解答：解：∵M={x|x2=1}={1，﹣1}，N={x|ax=1}，N⊂M，∴当N是空集时，有a=0显然成立；当N={1}时，有a=1，符合题意；当N={﹣1}时，有a=﹣1，符合题意；故满足条件的a的取值集合为{1，﹣1，0}故选：D．点评：本题考查集合关系中的参数取值问题，解题的关键是根据包含关系的定义对集合M 的情况进行正确分类，本题求解中有一易错点，就是忘记讨论N是空集的情况，分类讨论时一定注意不要漏掉情况．2．下列命题错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题C．对命题P：存在x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为：任意x∈R，均有x2+x+1≥0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件考点：特称命题；命题的否定．专题：计算题．分析：利用命题与逆否命题的关系判断A的正误；复合命题的真假判断B的正误；命题的否定判断C的正误；充分必要条件判断D的正误．解答：解：命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确，满足命题与逆否命题的关系；若p∧q为假命题，则p，q均为假命题，由复合命题的真假判断可知p∧q中，p、q一假即假；对命题P：存在x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为：任意x∈R，均有x2+x+1≥0；满足特称命题与全称命题的否定关系，正确；“x＞2”可以说明“x2﹣3x+2＞0”，反之不成立，所以是充分不必要条件正确；故选B．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题，充要条件的应用，基本知识的灵活运用．3．已知集合A={（x，y）|y=x2，x∈R}，B={（x，y）|y=x，x∈R}，则集合A∩B中的元素个数为（）A．0个B．1个C．2个D．无穷多个考点：二次函数的图象．专题：计算题．分析：联立两个集合中的方程，再解方程得到方程的解即得到两个集合交集的元素，进而得到答案．解答：解：由题意可得联立方程可得：y=x2并且y=x，解得：x=0，y=0或者x=1，y=1，所以A∩B={（x，y）|x=0，y=0或者x=1，y=1}，所以集合A∩B中的元素个数为2．故选C．点评：解决两个集合的基本运算，关键是准确的对集合进行化简或者联立方程组解方程组．4．若，则f（﹣1）的值为（）A．1 B．2C．3D．4考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．专题：计算题；分类法．分析：根据题意，﹣1∈（﹣∞，6），代入f（x）=f（x+3），求得f（﹣1）=f（2）=f（5）=f （8），8＞6，由此f（﹣1）的值求出．解答：解：当x＜6时，f（x）=f（x+3），则f（﹣1）=f（2）=f（5）=f（8）当x≥6时，f（x）=log2x，所以，f（﹣1）=f（8）=log28=3故选C．点评：本题考查分段函数求值，对于分段函数求值问题关键是找准不同范围的自变量对应着不同的函数解析式．代入相应的解析式求值，5．函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是（）．．．．考点：指数函数的图像与性质．专题：图表型；数形结合．分析：先根据x与零的关系对解析式进行化简，并用分段函数表示，根据a的范围和指数函数的图形选出答案．解答：解：因，且0＜a＜1，故选D．点评：本题考查函数的图象，函数是高中数学的主干知识，是高考的重点和热点，在高考中占整个试卷的左右．复习时，要立足课本，务实基础（特别是函数的图象与性质等）．6．实数的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a考点：对数值大小的比较．专题：计算题．分析：根据指数函数的特殊点（0，1）与对数函数的特殊点（1，0）即可作出判断．解答：解：∵0＜＜0.30=1，0.3＜1=0，＞=1．∴b＜a＜c故选C．点评：本题主要考查指数函数与对数函数的特殊点，但需具备函数的思想才能把形如这样的实数转化为它们的特殊点解决．7．如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）A．（）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；压轴题．分析：由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间．解答：解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，从而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，g（）=ln+1+a＜0，g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；故选C．点评：本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题．8．设函数f（x）=ln（x﹣1）（2﹣x）的定义域是A，函数的定义域是B，若A⊆B，则正数a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．D．考点：函数的定义域及其求法；集合的包含关系判断及应用．专题：常规题型．分析：先求出集合A来，再由函数g（x）定义域B且A⊆B，得到函数g（x）集合A上恒成立上求解．解答：解：∵（x﹣1）（2﹣x）＞0∴1＜x＜2∴A=（1，2）∵函数的定义域是B且A⊆B∴∴可转化为a x＞2x+1，x∈（1，2）恒成立∴易知y=在（1，2）上单调递减，所以y＜lg3所以lga≥lg3所以a≥3故选B点评：本题主要通过定义域问题来考查不等式恒成立问题，在解决时一般要经过多步转化，进而求函数的最值来解决．9．函数y=f（x）的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式f（x）＜f（﹣x）+2x的解集为（）A．B．C．D．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：根据图象得知是奇函数，据此将“不等式f（x）＜f（﹣x）+2x”转化为“f（x）＜x”，再令y=f（x），y=x，利用图象求解．解答：解：如图所示：函数是奇函数∴不等式f（x）＜f（﹣x）+2x可转化为：f（x）＜x，令y=f（x），y=x如图所示：故选A．点评：本题主要考查利用函数图象的相对位置关系来解不等式，关键是转化为特定的基本函数，能画其图象．10．已知定义在R上的函数f（x），满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣3）=f（x），当x∈（0，）时，f（x）=ln（x2﹣x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（）A．3 B．5C．7D．9考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）=ln（x2﹣x+1）=0，先求出当x∈（0，）时的零点个数，然后利用周期性和奇偶性判断f（x）在区间[0，6]上的零点个数即可．解答：解：∵f（﹣x）=﹣f（x），∴函数为奇函数，∴在[0，6]上必有f（0）=0．当x∈（0，）时，由f（x）=ln（x2﹣x+1）=0得x2﹣x+1=1，即x2﹣x=0．解得x=1．∵f（x﹣3）=f（x），∴函数是周期为3的奇函数，∴f（0）=f（3）=f（6）=0，此时有3个零点0，3，6．又f（1）=f（4）=f（﹣1）=f（2）=f（5）=0，此时有1，2，4，5四个零点．当x=时，f（）=f（﹣3）=f（﹣）=﹣f（），∴f（）=0，即f（）=f（+3）=f（）=0，此时有两个零点，．∴共有9个零点．故选D．点评：本题主要考查函数零点的判断，利用函数的周期性和奇偶性，分别判断零点个数即可，综合性较强．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11．若f（x）=ln（x2﹣2（1﹣a）x+24）在（﹣∞，4]上是减函数，求a的范围（﹣4，﹣3]．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：依题意，函数f（x）在（﹣∞，4]上是减函数，须考虑两个方面：一是结合二次函数x2﹣2（1﹣a）x+24的单调性；二是对数的真数要是正数．解答：解：函数f（x）在（﹣∞，4]上是减函数，所以应有，解得﹣4＜a≤﹣3，∴实数a的取值范围是（﹣4，﹣3]．故答案：（﹣4，﹣3]．点评：本题结合对数函数的单调性，考查复合函数的单调性的求解，还考查了二次函数在区间上单调，但不要忽略了函数的定义域，属于基础题．12．已知函数f（x）的定义域为[3，4]，则f（log2x+2）的定义域为[2，4]．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据复合函数定义域之间的关系即可得到结论．解答：解：∵函数y=f（x）的定义域为[3，4]，∴由3≤log2x+2≤4得1≤log2x≤2，即2≤x≤4故函数的定义域为[2，4]，故答案为：[2，4]点评：本题主要考查函数的定义域的求解，根据复合函数定义域之间的关系是解决本题的关键．13．函数g（x）的图象与f（x）=3x+1﹣2关于点（1，2）对称，则g（x）的解析式为g （x）=﹣3﹣x+3+6．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，图象对称实质是点对称，即若点A（x，y）在函数g（x）的图象上，则点B （2﹣x，4﹣y）在f（x）=3x+1﹣2的图象上，从而求解．解答：解：设点A（x，y）在函数g（x）的图象上，则由题意可知，点B（2﹣x，4﹣y）在f（x）=3x+1﹣2的图象上，则4﹣y=32﹣x+1﹣2=3﹣x+3﹣2，则y=﹣3﹣x+3+6，故答案为：g（x）=﹣3﹣x+3+6．点评：本题考查了函数解析式的求法，用到了图象的对称，属于基础题．14．已知f（x）=，则f（2011）=．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用分段函数的性质求解．解答：解：∵f（x）=，∴f（2011）=f（1005）﹣f（﹣1）=f（0）﹣=1﹣=．故答案为：．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．15．定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，下面关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（x）的图象关于直线x=2对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（x）在[1，2]上是减函数；⑤f（4）=f（0）．其中正确的判断的序号是①④．考点：函数的周期性；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：运用函数的性质的定义式判断求解，多次运用数学式子恒等变形．解答：∵f（x+1）=﹣f（x），∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），即：f（x）是周期函数，周期为2，f（4）=f（0），∵f（x+1）=f（﹣x+1）=﹣f（x），f（x+1）=f（﹣x+1），∴对称轴为x=1，∵在[﹣1，0]上是增函数，∴f（x）在[0，1]减函数，在[1，2]上是增函数，故答案为：①④点评：本题综合考查了抽象函数的性质，函数性质的式子的综合变形能力．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（13分）（1）已知R为全集，A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|﹣2＜x≤3}，求（C R A）∩B；（2）设集合A={a2，a+2，﹣3}，B={a﹣3，2a﹣1，a2+1}，若A∩B={﹣3}，求A∪B．考点：交、并、补集的混合运算；并集及其运算．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）先求出C R A，再求出（C R A）∩B；（2）确定出﹣3∈B，分类求出a，并检验，与集合中元素的互异性相符合．解答：解：（1）C R A={x|x＜﹣1或x≥3}，B={x|﹣2＜x≤3}，∴（C R A）∩B={x|﹣2＜x＜﹣1或x=3}；（2）由已知得﹣3∈B∴若a﹣3=﹣3 则a=0，此时A={0，2，﹣3} B={﹣3，﹣1，1}，A∪B={﹣3，﹣1，0，1，2}，若2a﹣1=﹣3，a=﹣1，此时A中a2=a+2=1，与集合中元素的互异性矛盾，舍去．又a2+1≥1≠﹣3，综上所述A∪B={﹣3，﹣1，0，1，2}点评：本题考查集合的基本运算，借助于数轴增加直观．遇到含参数问题，必须进行检验．17．（13分）定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x），已知当x∈[﹣1，0]时的解析式（1）写出f（x）在[0，1]上的解析式；（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．考点：奇函数；函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：（1）由函数f（x）为定义在[﹣1，1]上的奇函数，其图象经过坐标原点，则根据x∈[﹣1，0]时的解析式，构造关于a的方程，再结合奇函数的性质，求出函数f（x）在[0，1]上的解析式．（2）根据（1）中函数的解析式，我们用换元法可将函数的解析式，转化为一个二次函数的形式，我们分析出函数的单调性，进而求出f（x）在[0，1]上的最大值．解答：解：（1）∵函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，又∵∴=1﹣a=0解得a=1即当x∈[﹣1，0]时的解析式当x∈[0，1]时，﹣x∈[﹣1，0]∴=4x﹣2x=﹣f（x）∴f（x）=2x﹣4x（x∈[0，1]）（2）由（1）得当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣4x令t=2x（t∈[1，2]）则2x﹣4x=t﹣t2，令y=t﹣t2（t∈[1，2]）则易得当t=1时，y有最大值0f（x）在[0，1]上的最大值为0点评：本题的知识点是奇函数，函数的最值及其几何意义，其中根据定义在[﹣1，1]上的奇函数，其图象经过坐标原点，从而构造方程法度出参数a的值，进而求出函数的解析式，是解答本题的关键．18．（13分）已知函数f（x）=lg[（a2﹣1）x2+（a+1）x+1]，设命题p：“f（x）的定义域为R”；命题q：“f（x）的值域是R”．（1）若命题p为真，求实数a的取值范围；（2）若命题p为假，命题q为真时，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：（1）命题p为真，即f（x）的定义域为R，即（a2﹣1）x2+（a+1）x+1＞0的解集为R，所以讨论a2﹣1=0，和a2﹣1≠0．a2﹣1=0时，容易得到a=﹣1时满足不等式解集为R，当a2﹣1≠0时，要使不等式的解集为R，则，解该不等式并合并a=﹣1，便可得到a的取值范围；（2）先求命题q为真时a的取值范围，要使f（x）的值域为R，则可设函数y=（a2﹣1）x2+（a+1）x+1的值域为B，则有（0，+∞）⊆B，对于a2﹣1=0的情况，容易判断a=﹣1满足（0，+∞）⊆B，而a2﹣1≠0时，需满足，求出该不等式的解合并a=﹣1即得a的取值范围．解答：解：（1）f（x）的定义域为R，则（a2﹣1）x2+（a+1）x+1＞0的解集为R；∴若a2﹣1=0，a=±1，a=1时2x+1＞0，该不等式的解集不为R，即a≠1；a=﹣1时，1＞0，该不等式解集为R；若a2﹣1≠0，则，解得a＜﹣1，或a＞；∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪；（2）若f（x）的值域是R，则设y=（a2﹣1）x2+（a+1）x+1的值域为B，则（0，+∞）⊆B；若a2﹣1=0，a=±1，a=1时，y=2x+1，该函数的值域为R，满足（0，+∞）⊆R，a=﹣1时，y=1显然不满足（0，+∞）⊆B，即a≠﹣1；若a2﹣1≠0，即a≠±1，要使（0，+∞）⊆B，则，解得；∴；∴实数a的取值范围是：．点评：考查一元二次不等式的解和判别式△的关系，二次函数值域的情况和判别式的关系，以及子集的概念．19．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值，并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点（1，0）处相切，（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间．考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：（1）求出f′（x），因为函数在x=﹣2处取得极值，所以f′（﹣2）=0，又因为函数与直线在点（1，0 ）处相切，所以f′（1）=﹣3，代入求得两个关于a与b的二元一次方程，求出解集得到a和b，又因为函数过点（1，0），代入求出c的值即可．（2）由（1）求出的值可得导函数的解析式，分别令其大于、小于0可求增、减区间．解答：解：（1）∵f′（x）=3x2+2ax+b，∴f′（﹣2）=3×（﹣2）2+2a×（﹣2）+b=0∴12﹣4a+b=0 ①又f′（1）=3+2a+b=﹣3 ②，由①②解得a=1，b=﹣8又f（x）过点（1，0），∴13+a×12+b×1+c=0，∴c=6所以f（x）的解析式为：f（x）=x3+x2﹣8x+6（2）由（1）知：f（x）=x3+x2﹣8x+6，所以f′（x）=3x2+2x﹣8令3x2+2x﹣8＜0解得，令3x2+2x﹣8＞0解得x＜﹣2，或故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（，+∞），f（x）的单调递减区间为（﹣2，）点评：考本题查学生利用导数研究函数极值的能力，及会求二元一次方程组解集和一元二次不等式解集的能力，属中档题．20．（12分）已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞﹣2x的解集为（1，3）．（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．考点：函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义；一元二次不等式的应用．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）f（x）为二次函数且二次项系数为a，把不等式f（x）＞﹣2x变形为f（x）+2x ＞0因为它的解集为（1，3），则可设f（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3）且a＜0，解出f（x）；又因为方程f（x）+6a=0有两个相等的根，利用根的判别式解出a的值得出f（x）即可；（Ⅱ）因为f（x）为开口向下的抛物线，利用公式当x=时，最大值为=．和a＜0联立组成不等式组，求出解集即可．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3）．f（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3），且a＜0．因而f（x）=a（x﹣1）（x﹣3）﹣2x=ax2﹣（2+4a）x+3a．①由方程f（x）+6a=0得ax2﹣（2+4a）x+9a=0．②因为方程②有两个相等的根，所以△=[﹣（2+4a）]2﹣4a•9a=0，即5a2﹣4a﹣1=0．解得a=1或a=﹣．由于a＜0，a=﹣，舍去，故a=1．将a=﹣代入①得f（x）的解析式．（Ⅱ）由及a＜0，可得f（x）的最大值为．就由解得a＜﹣2﹣或﹣2+＜a＜0．故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是．点评：考查学生函数与方程的综合运用能力．21．（12分）设函数y=f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对任意正数x、y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；（2）当x＞1时，f（x）＜0；（3）f（3）=﹣1，（Ⅰ）求f（1）、的值；（Ⅱ）如果不等式f（x）+f（2﹣x）＜2成立，求x的取值范围．（Ⅲ）如果存在正数k，使不等式f（kx）+f（2﹣x）＜2有解，求正数k的取值范围．考点：抽象函数及其应用．专题：计算题；综合题；新定义；转化思想．分析：（I）对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），令x=y=1，x=y=3，即可求得f（1）、的值；且当x＞1时，f（x）＜0，根据函数单调性的定义讨论函数的单调性．（II）f（x）+f（2﹣x）=f[x（2﹣x）]，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，解不等式即可求得结果．（III）把f（kx）+f（2﹣x）根据条件转化为f[kx（2﹣x）]，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式有解，分离参数转化我求函数的最值问题．解答：解：（I）令x=y=1易得f（1）=0．而f（9）=f（3）+f（3）=﹣1﹣1=﹣2 且，得．（II）设0＜x1＜x2＜+∞，由条件（1）可得，因，由（2）知，所以f（x2）＜f（x1），即f（x）在R+上是递减的函数．由条件（1）及（I）的结果得：其中0＜x＜2，由函数f（x）在R+上的递减性，可得：，由此解得x的范围是．（III）同上理，不等式f（kx）+f（2﹣x）＜2可化为且0＜x＜2，得，此不等式有解，等价于，在0＜x＜2的范围内，易知x（2﹣x）max=1，故即为所求范围．点评：考查利用函数单调性的定义探讨抽象函数的单调性问题，对于解决抽象函数的一般采用赋值法，求某些点的函数值和证明不等式等，体现了转化的思想，（Ⅲ）不等式f（kx）+f（2﹣x）＜2有解，采取分离参数的方法，转化为函数的最值问题，加大了试题的难度，属中档题．。