截痕法所得结果：
平 面 截 痕
xoy面及其平行平面 yoz面及其平行平面 zox面及其平行平面
一点或椭圆 一点或椭圆 一点或椭圆
二、抛物面 1、椭圆抛物面
方程
x2 y2 2 z 2 a b
截痕法所得结果：
平 面 截 痕
xoy面及其平行平面 yoz面及其平行平面 zox面及其平行平面
一点或椭圆 抛物线 抛物线
•
你知道吗？
• 在数学史上，除公认的笛 卡尔以外，和笛卡尔同时 代的法国业余数学家费马 也是解析几何的创建者之 一。 • 费尔马是一个业余从事数 学研究的学者，对数论、 解析几何、概率论三个方 面都有重要贡献。
• 费马(Pierre de Fermat， 1601～1665）法国著 名数学家
名师大贡献
2、双曲抛物面 2 2 x y 2 z 方程 2 a b
截痕法所得结果：
平 面 截 痕
xoy面及其平行平面 yoz面及其平行平面 zox面及其平行平面
两条直线或双曲线 抛物线 抛物线
三、双曲面 1、单叶双曲面
x2 y2 z2 方程 2 2 1 2 a b c
截痕法所得结果：
平 面 截 痕
• 2、双曲抛物面：
x2 y 2 2 z 2 a b
• 以下两个建筑你能说 出它们所包含的曲面 类型吗？
生活中的双曲面
• 1、单叶双曲面：
x2 y2 z2 1 a 2 b2 c2
• 2、双叶双曲面：
x2 y 2 z 2 2 2 2 1 a b c
• 看到这两个图形你能 想到什么？
• 2、椭圆锥面：
x2 y 2 z 2 0 a 2 b2 c 2
• 吃过吧！
生活中的球面
• 1、球面：
x2 y 2 z 2 a 2
• 2、椭球面：
x2 y 2 z 2 1 a 2 b2 c2
• 玩过吗？:-）
生活中的抛物面
• 1、椭圆抛物面：
x2 y 2 2 z 2 a b
xoy面及其平行平面 yoz面及其平行平面 zox面及其平行平面
椭圆 双曲线 双曲线
2、双叶双曲面
x2 y2 z2 方程 2 2 2 1 a b c
截痕法所得结果：
平 面 截 痕
xoy面及其平行平面 yoz面及其平行平面 zox面及其平行平面
一点或椭圆 双曲线 双曲线
你有没有发现？
世一 事 的 行 一 个 次 生 界直 物 世 色 架 茶 曲 活 里生 ， 界 色 飞 杯 面 中 。活 你 ， 的 机 ； ， 还 在会留曲、大小有 奇发心面一到到各 幻现身构座一一式 的原边成建辆支各 曲来的了筑轿笔项 面我每多。车、的 的们个彩行、一二 •
生活中的二次曲面
组员：
大知识小背景
• 十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对 几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿 着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略 发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这 些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几 何的出现。 在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、 旋转曲面。椭圆、双曲线、抛物线的有些性质，在生产或生活中被广泛应用。 比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门 在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电 望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。
截痕法研究二次曲面
截痕法：通过研究坐标面或其平行平面与二次曲面
相截，考察其交线（即截痕）的形状，然
后加以综合，得出曲面全ห้องสมุดไป่ตู้的方法。
下面看一下几种特殊二次曲面与坐标平面相截所得截 痕。
一、椭球面
方程
x2 y 2 z 2 2 2 1 (a 0, b 0, c 0) 2 a b c
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生活中的柱面
• 1、圆柱面：
x2 y 2 a2
• 2、椭圆柱面：
x2 2 py 0
• 3、双曲柱面：
x2 y2 1 a 2 b2
• 4、抛物柱面：
x2 y2 2 1 a2 b
生活中的锥面
• 1、圆锥面：
x2 y 2 z 2 2 2 0 2 a a c
• 1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼 奥斯失传的《平面轨迹》一书。他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一 些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论 进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰写了仅有 八页的论文《平面与立体轨迹引论》。 费马于1636年与当时的大数学家梅森、罗贝瓦尔开始通信，对自己的 数学工作略有言及。但是《平面与立体轨迹引论》的出版是在费马去世14年 以后的事，因而1679年以前，很少有人了解到费马的工作，而现在看来，费 马的工作却是开创性的。 《平面与立体轨迹引论》中道出了费马的发现。他指出：“两个未知 量决定的—个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。”费 马的发现比勒奈· 笛卡儿发现解析几何的基本原理还早七年。费马在书中还对 一般直线和圆的方程、以及关于双曲线、椭圆、抛物线进行了讨论。 笛卡儿是从一个轨迹来寻找它的方程的，而费马则是从方程出发来研 究轨迹的，这正是解析几何基本原则的两个相对的方面。 在1643年的一封信里，费马也谈到了他的解析几何思想。他谈到了柱 面、椭圆抛物面、双叶双曲面和椭球面，指出：含有三个未知量的方程表示 一个曲面，并对此做了进一步地研究