I=√1/T∫i2 dt = Im/√2 同理 U= Um/√2 有效值 方均根值
(Sin only) rms
三、同频率正弦量的相位差
u = UmSin(ωt +φu ) i = ImSin(ωt+φi ) ωt
O
定义u、i 之间的相位差 为ΔΦ = φu – φi
ΔΦ＞0 ΔΦ＜0 ΔΦ =0 ΔΦ =π ΔΦ =90o
b
A
r
φ
+1
O
a
特殊旋转因子 j=ejπ/2, –j=1/j= ej–π/2
一、复数与正弦量的关系
i
B A
ω t1
B A
φi
O
ωt1
ωt
φi
二、相量表示法
优点： 1。把的正弦量＋、－、×、÷ 变为复数的＋、－、×、÷
2。关系简单，一一对应，直接写出 注意：相量仅表示正弦量，不等于正弦量！
j
I φ O
二、电感元件 1. u – i关系
i
L
u i
u
ωt
u = Ldi/dt,
设 i =ImSin(ωt) ， 则 u = Ldi/dt= ωLImCosωt,
= UmSin(ωt +π/2) ∴对于电感，有如下结论：

(1) u 、i 同频, 并且 u 超前于 i 90o (2) Um =ωLIm =XLIm , XL=ωL= Um/Im = U/I ——感抗(Ω)
解：1。 f=50Hz时 XL =2πf L=3.14 (Ω) I=U/ XL =22.5 (A) QL =I2 XL =1589.6 (Var)
2。 f=50kHz时
XL =2πfL=3.14 (kΩ) I=U/ XL=22.5 (mA) QL =I2 XL=1.59 (Var)
三、电容元件
1. u – i 关系
2. 频率特性
XC=1/ωC
ω → 0, XC→∞ Open (D.C.) ω→∞, XC→0 Short (H.F.)
ω
相量表示 I = jωC U 或 U = – (j/ωC) I
I U
3. 功率关系
瞬时功率 p = ui
p = UmSinωt ImCosωt
= UISin2ωt
P>0，吸收能量;
I +1
例1 相量图
j
I
i = 10√2 Sin(ωt+π/6)A
U
记为 I =10π/6 A
u = 5√2 Cos(ωt – 30o)V
60o
记为 U=5 60o V
30o
+1
O – 45o
已知 I1 =10/√2 – 45o A 则 i1 = 10Sin(ωt – 45o )A
I1
幅值与相位关系一目了然
2. 频率特性
XL=ωL
ω
ω → 0, XL → 0 ω→∞, XL→∞
Short (D.C.) Open (H.F.)
U 相量表示 U = j (ωL) I
I
3. 功率关系
瞬时功率 p = ui i
p = UmCosωt ImSinωt
= UISin2ωt
O
p > 0，吸收能量;
p < 0, 放出能量
解：1。 f=50Hz时
XC = 1/(2πfC) = 159 (Ω) I= U/XC = 1.38 (A) QC = I2 XC = 304 (Var)
C
i
i u
ωt u i = Cdu/dt, 设 u =UmSin(ωt) ， 则 i = CdU/dt= ωCUmCosωt, =ImSin(ωt +π/2)
∴对于电容，有如下结论： （1）u 、i 同频, 并且 i 超前于u 90o （2）Im =ωCUm =Um/XC, XC= 1/ωC= Um/Im = U/I ——容抗(Ω)
O
+1
=26.46 / 70.9o A
∴ i = 26.46√2 Sin(ωt+70.9o )A
例2 相量图（三角形）
j
I
I2
I1 +1
O
§3 – 3 单一参数的正弦交流电路
一、电阻元件
u
1. u – i 关系
i
R
i
u u=Ri 设 i =Im Sinωt 则 u =Ri =RIm Sinωt = Um Sinωt 结论: (1) u，i 同频、同相
例2 相量图(平行四边形)
已知 i1 = 10√2 Sin(ωt + 30o )A i2 = 20√2 Cosωt A
求： i = i1 + i2 = ？ 解：I1 =10 / 30o = 5√3 + j5 A
j
I I2
I2 =20 / 90o = j20 A
I1
I= I1 + I2 = 5√3 + j25 A
(2) Um/Im= U/I =R
相量表示 I
ωt
U=RI U
2. 功率关系
瞬时功率 p = ui
p
p = UmIm Sin2ωt
= UI ( 1– Cos2ωt )
P
p 始终>0，
i
ωt
R——耗能元件
平均功率 P =1/T∫pdt = UI = RI2 = U2/R ——与D.C.相同 ——有功功率 (W)
u 超前于 i u 滞后于 i u、i 同相 u、i 反相 u、i 正交
§3 – 2 正弦交流电的相量表示法
线性电路中，激励——正弦量 响应——同频率的正弦量 只须确定响应的有效值和初相位
借助有向线段——复数表示——相量表示法——相量法
复数的几种表示形式：
j
1。代数式 A = a + j b (j 2 = – 1) 2。三角式 A = r Cosφ + j r Sinφ 3。指数式 A = rejφ 4。极坐标式 A = r φ 旋转因子的概念 ejα
第3章 正弦交流电路
§ 3 – 1 正弦交流电的基本概念
广义交流电
t
t
t
一、正弦交流电的三要素 i
φi O
Im T
i = ImSin(ωt+φi ) ωt
1. 振 幅——强度 2. 频 率——快慢 3. 初相位——起点
二、正弦交流电的有效值
i
R
I
I 经R，在T内耗能：I2 RT i 经R，在T内耗能：∫i2 Rdt
平均功率 P =1/T∫pdt = ?
P = 0 —— 不耗能
定义 QL= pm = UI = XLI2 = U2/XL —— 无功功率(乏,Var)
p ωt
4. 例题 已知 u=100Sinωt(V)，L=10mH，f=50Hz和 f=50kHz 求：电感中的电流 I 及电感的感抗XL和无功功率QL
O
p<0, 放出能量
平均功率 P =1/T∫pdt = ?
P = 0 —— 不耗能
定义 QC = pm = UI = XCI2 = U2/XC —— 无功功率 (乏,Var)
u
p
ωt
4. 例题 已知 U=220(V)，C=20μF，f=50Hz和 f=50kHz 求：电容中的电流 I 及电容的容抗XC和无功功率QC