am
Im= I
•
Ibm Ib
0
I

•
• Im
最大 值相量
Ia Iam
+1
相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流电 是时间的函数，所以二者之间并不相等。
32
Phasor diagram 1.相量图可清晰地反映出各正弦量的大小和相位 关系 根据已知的频率，可知正弦量的三 个特征量。 2.相量图可用于同频率正弦量的加减运算。 3.只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上；只 有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量 表示。
u U m sin t
ω
Um
Um
ω t1
u1
X

t
对于每一个正弦量都可以找到与其对应的 旋转向量。u1 U m sin(t1 ) 因此对正弦量的分析,可以用与之对应的旋 转向量进行。
28
• 施泰因梅茨（1865～1923）Steinmetz，Charles Protells 德裔美国电机工程师。美国艺术与科学学院院士。1865年4月 9日生于德国的布雷斯劳(今波兰的弗罗茨瓦夫)。1889年迁居 美国。他出生即有残疾，自幼受人嘲弄。但他意志坚强，刻 苦学习，1882年入布雷斯劳大学就读。1888年入苏黎世联邦 综合工科学校深造。1889年赴美。1892年1月，在美国电机工 程师学会会议上，施泰因梅茨提交了两篇论文，提出了计算 交流电机的磁滞损耗的公式，这是当时交流电研究方面的第 一流成果。随后，他又创立了相量法，这是计算交流电路的 一种实用方法。并在1893年向国际电工会议报告，受到热烈 欢迎并迅速推广。同年，他入美国通用电气公司工作，负责 为尼亚加拉瀑布电站建造发电机。之后，又设计了能产生10 千安电流 、100千伏高电压的发电机；研制成避雷器、高压电 容器。晚年，开发了人工雷电装置。他一生获近200项专利 ， 涉及发电、输电、配电、电照明、电机、电化学等领域。 施泰因梅茨1901～1902年任美国电机工程师学会主席。 29
=314 rad/s
19
Sinusoid’s three character quantity
i 2I sin t
三.相位(Phase)
i
t

相位 t ：反映正弦量变化的进程。 初相位 ： t=0时的相位，称为初相位或初相角。 说明： 给出了观察的起点或参考点。 多个同频率的正弦波相比较时，除比较 大小外就是初相位。 两个同频率正弦量的相位之差称相位 差，它等于两个正弦量初相位之差。
13
有效值(Effective value)
如：交流仪表指示的读数、电器设备的额定电 压、额定电流指的有是效值； 有效值是以交流电在一个或多个周期的平均 效果，作为衡量大小的一个指标。常利用电 流的热效应来定义。即： 交流电流通过一个电阻时在一个周期内消耗 的电能与某直流电流在同一电阻相同时间内 消耗的电能相等，这一直流电流的数值定义 为交流电的有效值。
Y
小结：
U

X
+j
放在复平面上
U
b

a
+1
有效值相量
U a jb
33
Phasor expressions of sinusoid 复习复数
_
t
+ u _ _
R
负半周
10
二、正弦量的表示
i
Im
R

i
用波形图表示：
t
用三角函数式表示：
i I m sin t
是变化的角频率
正弦量i的全貌可由Im 、 、 三个参数描 述。称上述三个量为正弦量的三个特征量。
11
是初相位角
Im是电流的幅值

§3.1 正弦交流电的基本概念
20
相位差（Phase difference）等于两个正弦量 初相位之差。与计时的选择起点无关。
两个同频率正弦量间的相位差( 相位角差)
i1
2
i2
t
1
i1 I m1 sin t
t 2 t 1 2 1
i2 I m 2 sin t 2
幅度变化 频率不变
综上：
同频率正弦波相加，其结果仍是该频率下的 正弦波。 正弦量的波形图及三角函数式表示法比较直 观，但用于运算很繁琐！
启示：在讨论同频率正弦波时，只要知道幅度 与初相位即可。 26
§3.2 正弦量的相量表示法
Phasor representation of sinusoid
相量表示法是基于复数表示正弦量的一种方法。 相量图 相量表示法
17
Sinusoid’s three character quantity
i
T
t
角频率（ ）：每秒变化的弧度。 单位：弧度/秒( rad/s )
频率（f）：每秒变化的次数。 单位：赫兹( Hz )，千赫兹( kHz ) ...
周期（T）：变化一周所需的时间。 单位：秒( s )，毫秒( ms )... 如：f=50 Hz, T=0.02s
同理：
U=
E=
最大值= 2 有效值
i 2I sin t
15
问题与讨论
若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用 于 220V 的线路上?
~ 220V 有效值 U = 220V 电源电压
电器 最高耐压
=300V
最大值 Um =
2 220V = 311V
该电器最高耐压低于电源电压的最大值，所 以不能用。
31
4. 正弦量可用旋转有向线段表示，而有向线段 可用复数表示，所以正弦量可以用复数来表 示，称之为相量。用大写字母上打“•”表示。
= I (cos +jsin) = I e j = I
I = Ia + jIb
•
j=
相 量 图 有效 +j 值相量
+ jIbm = Im(cos + jsin) = Ime j = Im
14
有效值(Effective value)
定义: 取一个周期（T）的信号来考虑,
i R dt = 0
2
T
I RT
直流
2
交流
则有 I
设：i= Imsin( t+ )
1 T
i
0
T
2
dt （均方根值）
Um 2 Em 2
The root-mean-square（rms）value
Im I 2
可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。
如：
u1 u2
2U1 sin t 1
u u1 u2
2U 2 sin t 2
2U1 sin t 1 2U 2 sin t 2 2U sin t
幅度、相位变化 频率不变
§3.7 功率因数的提高
§3.8 电路的频率特性（串联谐振与并联谐振）
§3.9 非正弦周期信号电路
3
第3章 正弦交流电路（Sinusoidal alternating circuit）
§3.1正弦量的基本概念（Basic idea of sinusoid）
在工农业生产及日常生活中应用得最为广泛的当 属正弦交流电路。
结论:因角频率（）不变，所以以下讨论同频率正
弦波时， 可不考虑，主要研究幅度与初相位的变化 25
Sinusoid’s three character quantity
u u1 u 2 U 1 sin t 1 2U 2 sin t 2 相位变化 2U sin t
Phasor diagram

Y
I
m
相量图
Um
X
Y
ω ω
X

i
Um
u
t
而应用旋转向量分析多个同频率正弦量的问题 时，由于旋转速度相同，它们的相对位置在任 何瞬间都不会改变。所以可将它们当作不动的 向量---有向线段来处理。 称这种仅反应正弦量大小和初相位的有向段 构成的图形为相量图。 段为相量，符号 Um , I m
16
二.角频率（Angular frequency）
反映正弦量变化的快慢。
频率（frequency） 1 f= T 2 角频率 = = 2 f T i
0

T
T/2
T t
2
t
小常识
* 电网频率：中国50 Hz；美国、日本60 Hz * 有线通讯频率：300～ 5000 Hz * 无线通讯频率： 30 kHz～ 3×104 MHz
相量式（复数式） 一.相量图(Phasor diagram) 正弦量的瞬时值可以用旋转向量（矢量）在纵 轴上投影的高度来表示，此向量的模为正弦量 的最大值 ；t = 0时向量的幅角是正弦量的初相 位角 ；以正弦量的角速度 逆时针旋转。
27
Phasor diagram Y
ω
正弦量的瞬时值
旋转向量在纵轴 上的投影高度。
1
21
两种正弦信号的相位关系
同 相 位 相 位 领 先 相 位 落 后
i2
2 1
i1
i2
t
i1
1 2
1 2 0
1
2
t
i1
i2
i1 领先于 i2
1 2 0
2
1
t
i1
落后于 2
22
i
例如：三相交流电路（第四章）：三种电压初 相位各差120。
一.正弦交流电路(sinusoidal ac)
电路中的电源（激励“excitation”）及其在电路 各部分产生的电压、电流（响应“response”） 均随时间按正弦规律变化。简称交流电路。 正弦交流电动势、电压、电流统称为正弦量。