分压公式
3.3.2 RLC并联的交流电路[P55 图3.32]
等效阻抗
分流公式
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3.4正弦交流电路的功率和功率因数
• 1. 瞬时功率
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2. 平均功率
• 也称有功功率，是瞬时功率在一个周期内的有效值
• 功率因数，功率因数角
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3. 无功功率
• 无功功率的单位为乏(Var)
一 电阻元件VAR的相量表示： u = Ri 故得
Um R Im

U m U m u I m I m i


Re(U m e ) R Re( I m e ) Re( RI m e jt )

jt

jt

Um R Im
u i
电压和电流同相
二 电容元件VAR的相量表示： du dt i CUm sin(t u ) CUm cos(t u 90) 电容： i=C
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3.1.2 正弦交流电的三要素
最大值 角频率或频率
相位或初相
wt j
i
反映正弦量随时间变化的角度，称为相位角，
简称相位。 j i 是t = 0时的相位，称为正弦量的初相。
在 ( p, p ) 主值范围内取值
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3.1.3 正弦量的相位差
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I m cos(t i )
故得
I m CU m
i u 90

I = CU
jy
1 电容电压电流的模与角频率有关 超前 2 电流相位超前电压相位 90
i
90 u
U
x
3 I m jCU m


三 电感元件VAR的相量表示： 电感 u=L
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A ± B = (a1 + j a2) ± (b1 + j b2)
A ± B = (a1 ± b1) + j(a2 ± b2)
O
a1 b1
a1 +b1
x
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（3）乘法。任意一个复数 A 和B相乘可表示为 A×B = (a1 + j a2) ×(b1 + j b2) = (a1b1 –a2b2) + j(a2b1 +a1b2) = a e j × b e j = ab e j(+) = ab + （4）除法。任意一个复数 A 除以B可表示为 A÷B = (a1 + j a2) ÷ (b1 + j b2) a2b1+a1b2 = (a1b1+a2b2) + j(a2b1–a1b2) b12 + b22
O
a1
相量图
x
a=
a12 + a22Fra bibliotekja2
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a
a
a1 < 0，a2 > 0， 90º < < 180º ， 第二象限；
O
a1 > 0，a2 > 0， 0º < < 90º， 第一象限；
a1
a1 < 0，a2 < 0， 180º < < 270º， 第三象限；
a1 > 0，a2 < 0， 270º < < 360º， 第四象限。
3.5.2 RLC并联谐振电路
• 谐振频率 • 特征
电压和电流同相位，
电路呈现阻性
阻抗最大，电流有效值最小
在相同时间消耗的能量
1 有效值的定义式： I T

T
0
i 2 dt
问题2：正弦信号的有效值是多少？ 将 i = Imcos(t+i)代入，则有
I= 1 T
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T
=
=
1 T 1
2 U=
0 T I2 m 2
I2mcos2(t+i)dt [cos(2t+2i)+1]dt
0
Im = 0.707Im 1 2 Um = 0.707Um
同理可得
由此可见：正弦波的有效值为其振幅的1 代振幅，作为正弦量的一个要素。
2 。有效值可以替
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注意：
• 工业上所说的电压和电流的值一般是指有效值，如电 工设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平
、耐压值指的是最大值
• 在电工测量中，交流测量仪表指示的电压和电流读数 一般为有效值。
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功率因数
• 提高功率因数的意义 使供电设备得到充分利用
降低线路损耗
• 提高功率因数的方法
根据有功功率和无功功率守恒确定并联电容的大小
根据向量图分析计算并联电容的取值
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3.5电路的谐振
• 3.5.1 RLC串联谐振电路 谐振的条件 电压 电流
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上篇
电工技术
• 第一章 电路分析的基本定律 • 第二章 直流电路分析的基本方法
• 第三章 正弦交流电路的相量分析法
• 第四章 三相交流电路
• 第五章 一阶电路的暂态过程分析
• 第六章 变压器、电动机和安全用电
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第三章正弦交流电路的向量分析法
3.1 3.2 3.3
3.4 3.5 正弦交流电压电流的相量
电路基本定律的相量形式
RLC串并联交流电路的分析 正弦交流电路的功率和功率因数 电路的谐振
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3.1正弦交流电压电流的相量
• 3.1.1 正弦交流电的基本概念 产生、输送和使用，经济意义，损耗小 在必须直流的场合，可将交流电利用整流设备装换成直流电 • 种类：正弦、方波、锯齿波等 正弦交流电的优点： 生产输送应用 变化平滑。不易产生高次谐波，有利于保护绝缘性和减少设 备运行中的能量损耗 各种非正弦周期交流电都可使用不同频率的交流电叠加而成
3.2.2 RLC元件伏安关系的向量形式
三种元件的伏安关系： 电阻： 电容： u = Ri
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电感：
du dt di u=L dt
i=C ？ 在正弦稳态电路中，这三种元件伏安 关系的相量形式应该是怎样的
设元件两端的电压和流过的电流可表示为：
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u(t ) Um cos(t u ) i(t ) I m cos(t i )
• 电感
• 电容
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4. 视在功率
• S = UI
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• 小结 平均功率（有功功率）（w） PR = IU PL = 0 无功功率： （var） QR = 0 QL=UI 平均储能： （J）
1 WL = LI 2 2
PC = 0
Qc = -UI
1 WC = CU 2 2
QL = 2WL QC = -2Wc
3.1.4 正弦量的有效值
问题1：周期电压和电流的瞬时值是随时间而变化的，如何 选取一个表征大小的特定值？ 平均值？ 不合适 正弦波在一个周期内 的平均值为零
O
uab
最大值？
T
不合适
t
只能表征某一 瞬间的大小
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RI T
直流电流I流过电阻时，
2
R i 2 dt
0
T
周期电流i 流过电阻时， 在相同时间消耗的能量。
3.1.5 复数
任意一个复数 A 可表示为 A = a1 + j a2 = Re(A) + j Im(A)
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= a cos +j a sin = a(cos +j sin ) =ae
j
=a
a2
j y a
A
a1 = Re(A) = a cos
a2 = Im(A) = a sin
di dt
U m LI m
U = LI u

jy
90 i I
u i 90
u = i + 90
x
1 电感电压电流的有效值与角频率有关 2 电流相位滞后电压相位 90 滞后 3 U m jL I m

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3.3 RLC串并联交流电路的分析
3.3.1 RLC串联的交流电路[P53 图3.24] 等效阻抗
j
jy
C
ab B
= a e j ÷ b e a – = b
= a e b
j(–)
b
O
A
a + a1b1–a2b2 x
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3.1.6 正弦交流电压电流的相量表示
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3.2 电路基本定律的向量形式
3.2.1 基尔霍夫定律的向量形式 KCL
KVL
a
a
复数四则运算回顾
（1）相等。任意一个复数 A 和B相等，则
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A = B， a1 + j a2 = b1 + j b2 , a1 = b1 , a2 = b2 ,
ae
j
=be
j
, a=b, =,
a2 +b2 jy
（2）加减。任意一个复数 A 和B加减，则可表示为
C
b2
B a2 A