第3章 正弦稳态电路的分析
(由此可知,C不是耗能元件。)
3. 无功功率
2 UC 2 Q UC IC IC X C XC
电容元件虽然不消耗能量,但它要不断地与电源往复地交换能量, 从瞬时功率的表达式可得到交换能量的最大值为:pCm=UCIC,这体 现了电容与电源交换能量的能力,为了描述这种能力的强弱,引入 37 了无功功率的概念。
正弦交流电压波形图
三要素:幅值、角频率、初相位
2 正弦函数
正弦函数
数学形式 Y=A· Sinωt 函数值Y是矢量
或
Y=A· Sin(ωt+φ)
A 在纵轴上投影的变化规律
称左边的圆为“参考圆”
3 3.1.1 周期和频率
3.1.1 周期和频率
周期
1 T f
角频率
2π 2π f T
UR IR R
U R U R 0 0 U R
和
I R I R 00 I R
15
u~i的关系(5-4)
3. 纯电阻元件交流电路中相量形式的欧姆定律
∵
UR
IR
UR R IR
∴
U R I R R
数值关系:
UR IR R
16
u~i的关系(5-5)
j 30 o
44
例- 7
若 u 220 2 sin t (V ),i=?; 0 2. 若 I 0.1 60 ( A) ,U ? ; 3. 画出⑴和⑵的相量图。 0 答:1. i 276 2 sin(100t 90 )(mA) U 80 1500 (V ) 2.
得
i2 3.566 2 sin t+52.5 (A)
10
3.4 三种基本元件伏安关系的向量形式
纯电阻元件R 纯电感元件L 纯容元件C
举例
11
3.4.1 纯电阻元件的交流电路
u~i的关系 功率
12
u~i的关系(5-1)
uR iR R
根据欧姆定律:
设:
1.
将电容元件接正弦交流电路,已知C=4uF,f= 50Hz,求:
45
复数表示法
复数简述
复数的概念 复数的四种表达形式 复数的基本运算
28
纯电容元件的交流电路
u~i的关系 功率
29
u~i的关系(6-1)
设:线性纯电容在两极板的电荷量为q,电容容量 参数为C,激励电压为:
uc 2UC sin( t )
由物理学得知:q=C uC,且C是一个与q和uC无 关的常数。另外,
iC du dq C C 2CU C cos t dt dt
26
功率(2-1)
1.瞬时功率
pL uL iL 2U L I L sin(t 900 ) sin(t )
2U L I L sin(t ) cos(t )
U L I L sin(2t )
27
功率(2-2)
2. 平均功率
1 T PL pL dt 0 T 0
↑
6
3.2 正弦量的相量表示
一个正弦量可由其最大值、角频率和初相位3个要素来确定,而
在平面坐标上的一个旋转有向线段(旋转矢量)可以表示正弦量 的三要素。因为有向线段可以用复数表示,所以,正弦量也可以 用复数表示。
正弦量的复数表示 ↑
7 正弦量的复数表示
正弦量的复数表示
称横轴为“实轴”,纵轴为“虚轴”,两轴构成的平
0
2U L sin( t 90 )
0
21
u~i的关系(7-3)
1. 相位关系
u i 90
0
(相位上电压超前电流900)
22
u~i的关系(7-4)
2. 数值关系 有效值:
U L LI L
相量式:
U L U L 90
0
和
I L I L 00 I L
举例
例- 1 例- 2 *例- 3
例- 4
例- 5 例- 6
例- 7
38
例- 1
【例】 在图中,电容两端的电压 u 6sin(3t )(A) ,电容 量为 0.5F ,求电流 i。
解
u U m 600 A
I m jC U m
I m CU m 9( A)
5 3.1.3 相位和相位差
3.1.3 相位和相位差
在正弦交流电的表达式中
(教材P67图3.1.2); θ 表示正弦量在t=0时的角度,称为初相位角(-π≤ θ ≤ π ) 简称“初相”,它的值可以由参考圆来确定。 通常把两个同频率的正弦量的相位之差称为相位差,用 表示
t 表示正弦量变化的角度,称为相位角,简称相位
iR I R m sin(t ) 2I R sin(t )
则:
uR 2I R R sin(t ) 2U R sin(t )
13
u~i的关系(5-2)
1.相位关系:
u i 0
(电压与电流同相位)
14
u~i的关系(5-3)
2.数值关系:
有效值: 相量式:
2CUC sin(t 900 ) 2IC sin(t 900 )
30
u~i的关系(6-2)
1. 相位关系
u i 90
0
(相位上电压滞后电流900)
31
u~i的关系(6-3)
2. 数值关系 有效值:
IC UC C
0
相量 式: I C I C 90
i 0
I
0
Im 0
KVL的相量表示 1. 在任意瞬间,对电路中的任意回路有: u 0 2. 当所有的电流均为同频率的正弦量
U 0
U
m
0
9
【例】 图 (a)中,已知 i1 5 2 sin t (A) ,
i3 4 2 sin t 45 (A) ,求 i2
面为“复数平面”。 有向线段A在实轴上的投影为A的“实部”;在虚轴上 的投影为A的“虚部”。
a r cos b r sin r a 2 b2 arctan b a
A a jb
8
3.3 基尔霍夫定律的相量表示
KCL的相量表示 1. 在任意瞬间,对电路中的任意节点有: 2. 当所有的电流均为同频率的正弦量
42
例- 5
如下图所示是t=0时刻电压和电流的相量图,并已知U=220V,
I1=10A,I2= A,角频率为ω ,请分别写出电压和电流的四种 2 表达形式。
43
例- 6
已知正弦量 U 220 e (V) 和 I 4 j 3 (A),请分别用解析式、波形法、相量图形式 表示它们。
25
u~i的关系(7-7)
5.讨论: X L L 2fL
f不变时,L越大(小),XL越大(小),说明自感 电动势对电流的阻碍作用越大(小); L不变时,f越大,XL越大,说明电感对高频电流的 阻抗大(f=0或→∞呢?) 电感线圈的瞬时值u、i不满足欧姆定律,但相量值ỦL 和ỈL、有效值UL和IL却满足欧姆定律。
t 1 t 2 1 2
Φ=0,称两正弦量同相位; Φ=±900,称两正弦量正交; Φ>0,称正弦量1超前正弦量2; Φ<0,称正弦量1滞后正弦量2; Φ= π ,称两正弦量反相位。
举例:教材P68[例3.1.1]、[例3.1.2]
4. 相量图
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
U RI
17
功率
1.瞬时功率
pR uR iR U R I R (1 cos2t )
2.平均功率
2 1 T UR 2 PR pR dt U R I R I R R 0 T 0 R
(由此可知,R只能是耗能元件。)
18
3.4.2 纯电感元件的交流电路
23
u~i的关系(7-5)
3. 纯电感元件交流电路中相量形式的欧姆定律
UL
IL
U L 900 UL j jL jX L 0 I L 0 IL
则
U L jX L I L
及
UL IL X L
24
u~i的关系(7-6)
4. 相量图
U j L I jX L I
i 9 sin(3t 90 )( A)
0
39
例- 2
有一个100Ω电阻(或0.1H的电感元件、或5uF的电容
元件)接到频率为50Hz、电压有效值为10v的正弦电 源上,问:电流是多少?如保持电压不变,电源频率 为5000Hz,这时电流将为多少? 答:100mA,318mA,15.7mA;100mA,3.18mA, 1.57A。由此看出:频率越高,电感的感抗越大,电流 也越小;频率越高,电容的容抗越小,电流也越大。
和
U C U C 00 U C
32
u~i的关系(6-4)
3. 纯电容元件交流电路中相量形式的欧姆定律
UC
IC
U C 00 UC j jX C 0 I C 90 j I C C
则
U C jX C I C
及
UC IC X C
33
u~i的关系(6-5)