定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
一 定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同. 二 定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型 【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。
例题精讲知识点拨教学目标定义新运算由 A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312【答案】312【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。
6△（3△4）【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。
由a △b ＝（a ＋1）÷b 得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7【答案】7【巩固】 设a △2b a a b =⨯-⨯，那么，5△6=______，(5△2) △3=_____.【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 56552613=⨯-⨯=△52552221=⨯-⨯=△,1321216435=⨯-=△【答案】435【巩固】 P 、Q 表示数，*P Q 表示2P Q +，求3*(6*8) 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 68373*(6*8)3*()3*7522++==== 【答案】5【巩固】 已知a ,b 是任意自然数,我们规定: a ⊕b = a +b -1,2a b ab ⊗=-,那么[]4(68)(35)⊗⊕⊕⊗= .【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式4[(681)(352)]4[1313]=⊗+-⊕⨯-=⊗⊕4[13131]425=⊗+-=⊗425298=⨯-=【答案】98【巩固】 M N *表示()2,(20082010)2009M N +÷**____=【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【关键词】走美杯，3年级，初赛【解析】 原式()()200820102*20092009*20092009200922009=+÷==+÷=⎡⎤⎣⎦【答案】2009【巩固】 规定运算“☆”为：若a >b ，则a ☆b =a ＋b ；若a =b ，则a ☆b =a －b ＋1；若a <b ，则a ☆b =a ×b 。
那么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）= 。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【关键词】希望杯，四年级，二试【解析】 19【答案】19【例 2】 “△”是一种新运算，规定：a △b ＝a ×c ＋b ×d (其中c ，d 为常数)，如5△7＝5×c ＋7×d 。
如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO 的计算结果是________。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【关键词】希望杯，六年级，二试【解析】 1△2＝1×c ＋2×d =5，2△3＝2×c ＋3×d =8，可得c =1,d =26△1000＝6×c ＋1000×d =2006【答案】2006【巩固】 对于非零自然数a 和b ，规定符号⊗的含义是：a ⊗b ＝2m a b a b⨯+⨯⨯（m 是一个确定的整数）。
如果1⊗4＝2⊗3，那么3⊗4等于________。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】 根据1⊗4=2⊗3，得到1423214223m m ⨯+⨯+=⨯⨯⨯⨯，解出m =6。
所以，634113423412⨯+⊗==⨯⨯。
【答案】1112【例 3】 对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：6=2x y x y x y⨯⨯∆+,求2△9。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【关键词】北京市 ，迎春杯【解析】 根据定义6=2x y x y x y ⨯⨯∆+ 于是有62922952295⨯⨯∆==+⨯ 【答案】255【巩固】 “*”表示一种运算符号，它的含义是：()()111x y xy x y A *=+++ ，已知 ()()11221212113A *=+=⨯++，求19981999*。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 根据题意得()()()()()()12111,,2116,1211322116A A A A =-=++==++++ ，所以 ()()111120001998199819991998199919981199911998199919992000199819992000399811998199920001998000+*=+=+=⨯++⨯⨯⨯⨯==⨯⨯ 【答案】11998000【例 4】 [A ]表示自然数A 的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:([18][22])[7]+÷= .【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算【解析】 因为21823=⨯有(11)(21)6+⨯+=个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.原式(64)25=+÷=.【答案】5【巩固】 x 为正数,<x >表示不超过x 的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是 .【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算【解析】 <19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.<93>为不超过的质数,共24个,易知<1>=0,所以，原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.【答案】11【巩固】 定义运算“△”如下:对于两个自然数a 和b ,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b .例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= .【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算【解析】 18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.【答案】42【例 5】 我们规定：符号Θ表示选择两数中较大数的运算，例如：5Θ3=3Θ5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：1523(0.6)(0.625)23353411(0.3)( 2.25)996••Θ+∆∆+Θ的结果是多少？【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算【解析】 15232531(0.6)(0.625)123353824341119312(0.3)( 2.25)9963412••Θ+∆+===∆+Θ+ 【答案】12【巩固】 规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。
计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）]【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算【解析】 新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。
[（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）]＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ]＝6×5＝30【答案】30【巩固】 我们规定：A ○B 表示A 、B 中较大的数，A △B 表示A 、B 中较小的数。
则()()108651120=-⨯△△○13+15△【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算【关键词】走美杯，3年级，决赛【解析】 根据题目要求计算如下：()()()()108651120=861315=228=56-⨯-⨯+⨯△○○13+15△【答案】56【例 6】如果规定a※b =13×a-b÷8，那么17※24的最后结果是______。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】17※24=13×17-24÷8=221-3=218【答案】218【巩固】若用G（a）表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G（6）=4，则G(36)+G(42)= 。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。
42的约数有：1、2、3、6、7、14、21、42。
所以有G36G（）（）。