09复旦数学分析考研试题
一、 数学分析(90)
1. 计算(每个6分)
（1） 设∑为：222
4(3)6(2)(1)36x y z -+-++≤曲面的外侧，求232x dydz ydxdz +∑
⎰⎰=_______。

（2） 13
20
(1)(1)x dx x x ++⎰=_______。

（3）
ln x -(0,)+∞上有唯一的零点，A =_______。

（4） ()f x 在原点存在二阶导数，''(0)0f ≠，
'()(0)()x f x f f x θ-=，则0lim x x θ→=_______。

（填某个值或不一定存在或无法确定） （5） 1sin 2009k xk k α
π∞=∑在(0,)+∞上一致收敛，则α的取值范围为_______。

2. 证明（每个15分）
（1）(,)f x y 定义在[,][,]a b c d ⨯上，且(,)f x y 关于x 连续，且对于某一固定的0[,]y c d ∈， 00[,]lim sup |(,)(,)|0y y x a b f x y f x y →∈-=
证明：(,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续。

（2）21sin()n n n a a a n
-=-
求证：lim 0n n a →∞= （3）()f x 在(,)-∞+∞上任意有限区间上可积，求证：对任意的,,,,a b c d
()()b
d d b
a c c a dx f x t dt dt f x t dx +=+⎰⎰⎰⎰ （4）()f x 定义在区间(,)a
b 上，对任一(,)x a b ∈
0()()lim
0y f x y f y y
→+-> （注：左式可以为+∞），求证：()f x 在(,)a b 上严格单调。

二、 常微分方程（30）
已知2
(,)3...x y x Φ=+（这个式子都记不清楚了） 和系统[*] 3dx y dt λ=+ ...dy dt = [*]
（1）(,)x y C Φ=是[*]的首次积分，确定[*]中λ的值。

（或者是0δ的值，具体不是很清楚） （只要明白首次积分的概念就能做的题目）
（2）证明解对参数的连续性
（3）求系统[*]在0λ>，0δδ<时在李亚普诺夫意义下的稳定性。

三、 实变函数（30）
1. 叙述积分的法杜（Fatou ）引理。

（10分）
2. （20分）{()}n f x 为定义在可测集上的可测函数列，{()}n f x 在勒贝格测度意义下收敛
于()f x
求证：
（1）存在子列{()}k n f x 1()k k n n +<，满足
12k k mE <，1{:|()()|}2k k n k
E x E f x f x =∈-≥ （2）证明上述子列几乎处处收敛于()f x 。

（这个整个是一个定理，分成两步证明了。

Rieze 引理）。