2003南开大学年数学分析
一、设
),,(x y x
y x f w 其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求
xy
w 解：令u=x+y,v=x-y,z=x
则
z v u x
f f f w ；
)
1()
1()1(zv zu
vv vu
uv uu xy f f f f f f w 二、设数列
}{n a 非负单增且a a n
n
lim ，证明a
a a a n
n n
n n n
1
2
1
][lim
解：因为an 非负单增，故有n
n n
n n n n n n
na a a a a 1
1
2
1)(]
[由
a a n
n
lim ；据两边夹定理有极限成立。

三、设
,00),1
ln()
(2
x
x x x x f 试确定
的取值范围，使f(x)分别满足：
（1）极限
)
(lim 0
x f x
存在
（2）f(x)在x=0连续（3）
f(x)在x=0可导
解：（1）因为
)(lim
x f x
=)1ln(lim 20x x x =)]()
1(2
[lim 2214
2
n
n
n x x o n
x x
x x 极限存在则
2+
0知
2
(2)因为)(lim 0
x f x
=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2（3）
0)
0(f 所以要使
f(x)在0可导则
1
四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx
y x
f l
)(2
2
与积分路径无关
解；令U=2
2
y
x
则
ydy xdx
y x f l
)(2
2
=2
1du u f l )(又f(x)在R 上连续故存在
F （u ）
使dF(u)=f(u)du=
ydy
xdx
y x f )(2
2
所以积分与路径无关。

（此题应感谢小毒物提供思路）
五、
设f(x)
在
[a,b]
上
可
导
，
)
2(b
a f 且
M
x f )(,证明
2
)
(4
)(a b M dx x f b a
证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在
)
2
)(()2
(
)
(),(b a x f b a f x f b a 使即有
dx
b a x f dx
x f b
a
b a
)2)(()(2
2
2
)(4
])2()2
(
[
)2
)((a b M dx b
a x
dx
x b
a M dx b
a x
f b b a b
a a
b a
六、设
}{n a 单减而且收敛于
0。

n
a n sin 发散
a)
证明
收敛
n ansin b)证
明
1
lim
n
n n
v u 其中
)
sin sin (k ak k
a u k n ；
)
sin sin (k ak k ak v n
证：（1）因为
2
1sin 1sin k
而}{n a 单减而且收敛于0据狄利克莱判别法知
收敛
n ansin （2）因为正项级数
n
a n sin 发散则
)(sin n k ak 又由上题知
有界k ak sin 故有
1
lim
n
n n
v u 七、设
dx x
x e
t F tx
sin )(1
证明
（1）
dx x
x e
tx
sin 1
在),0[一致收敛
（2）
)(t F 在),
0[连续
证：（1）因
dx x
x
1
sin 收敛（可由狄利克莱判别法判出）
故在t>=0上一致收敛；又tx
e
在x>=1,t>=0 单调且一致有界
)0,1(10
t
x e
tx
由阿贝尔判别法知一致收敛
（2）
],[0,
),,0[0
t t 使由上题知，F （t ）在],[一致收敛，
且由
x
x e
tx
sin 在（x,t ）
],[),1[上连续知F （t ）在],[
连续所以在0t 连
续，由0t 的任意性得证
八、令
)}
({x f n 是[a,b]上定义的函数列，满足
（1）对任意0x ],[b a )}({0x f n 是一个有界数列
（
2
）
对
任
意
，存在一个
)
()
(,],[,,0y f x f n ，y
x
b a y
x n n 有对一切自然数时且当求证存在一个子序列
)}
({x f k
n 在[a,b]上一致收敛
证：对任意
x ],[b a ，)}({x f n 是一个有界数列故由致密性定理存在一收敛子列，设为
)}
({x f k
n ，又令U=]},[)
,
({b a x x u x 则
U 为[a,b]的一个开覆盖集，由有限覆盖定
理，存在有限个开区间覆盖[a,b]，不妨设为
)
,()
,
(11m x m x x u x u 于是对
N
能找到一,0>0，
)
,,
2,1(,,2
1
m i
x N ，n n i k
k 有
3
)
()
(2
2
i n i n x f x f k k 令
},
,
min{
1m x x 则由条件（2）
知对上述0
3
)
()
(,],,[,0l n n l
l x f x f n ，x x
x b a x 有对一切自然数使于是
有
有],[],,[,,,,0,0b a x b a x N n n K t k K l t k )
()()
()
()
()
()
()
(x f x f x f x f x f x f x f x f k
k
k l
t
t
k
t n l n l n l n l n n n n )
()
(l n n x f x f t
t +
)
()
(l n l n x f x f k
l +
)
()
(x f x f k
k n l n 由柯西准则得
证。

2004年南开大学数学分析试题答案
1. 1
lim )
()(lim
)
()
(')()(ln 1
a f a f a
x a f x f a
x
a
x a
x
e
e
a f x f 2.
y x f x
y y
f x
z 2
,。