南京理工大学2005年数学分析试题
一、(10分)设0>n a ,n=1,2, )(,0∞→≠→n a a n ,证 1lim
=∞→n n n a 。
二、(15分)求积分
⎰⎰∑⋅ds n F ϖϖ其中),,=(x y yz x y F ϖ,∑为半球面,0z 1z y x 222≥,=++和圆1y x 0z 22≤+,
=的外侧 三、(15分)设f 为一阶连续可微函数,且)
(0f ''存在,f (0)=0, 定义⎪⎩⎪⎨⎧≠'0 x x f x
10 x 0f x g )(=)()=( 证 g 是一个可微,且g '在0点连续。
四、(15分)证明 级数
∑∞1n x n 2e =- 在),+(∞0上不一致收敛,但和函数在)
,+(∞0上无穷次可微。
五、(15分)设〕,〔b a C f ∈,证明,0>∀ε存在连续折线函数g ,使得 ε<)()-(x g x f ,〕〔b a,x ∈
∀。
六、(15分)设),(t x u 为二元二阶连续可微函数且u 的各一阶偏导关于x 是以1为周期
函数,且2222x
u t u ∂∂∂∂=,证明⎰∂∂∂∂E 1022dx x u t u 21t ))+()(()=(是一个与t 无关的函数。
七、(15分)设f 为〕
,+〔∞1上实值函数,且f (1)=1,)()(+)=(1x x f x 1x f 22≥',证明)(+x f lim x ∞→存在且小于4
1π+。
八、(15分)设∑∞1n n n x a
=为一幂函数,在(-R ,R )上收敛,和函数为f ,若数列{}j x 满足
0x x R 21>>>>Λ且0lim =∞
→j j x ,Λ1,2j 0x f j =,)=(,证明 Λ210n 0a n ,,=,= 九、(15)设f 是 〕〔〕,〔b a b a ⨯⨯上的二元连续映射,定义
{}〕
,〔),()=(b a y y x f max x g ∈,证明 g 在〔a ,b 〕上连续。
十、(20分)讨论二元函数连续、可偏导、可微三个概念之间的关系,要有论证和反例。