n =0
(10
分)
5.
讨论二元函数 f :
x2 y , x2 + y2 ≠ 0 2 2 f ( x, y ) = x + y 0, x 2 + y 2 = 0
6.
在(0,0)点的可微性. (9 分) 证明题 (第 1-3 小题每小题 12 分, 第 4 小题 11 分, 总共 47 分) 1 1 π ≤ +1− (0 < x ≤ ). (1) 证明不等式: sin x x π 2 (2) 设函数 f 在闭区间 [ −1,1] 上二次可导 , 且 f ( −1) = 0, f (0) = 0, f (1) = 1. 证明 : 存在θ ∈ (−1,1) 使得 f ′′(θ ) = 1. (3) 设函数 f 满足 : (i ) 对 ∀x ∈ [ a, b], f ( x) ∈ [a, b]; (ii ) 在闭区间 [ a, b] 上具有连 续的导函数; (iii) | f ′( x) | ≤ 1, x ∈ [a, b]. 令
(1,1)
x
(0,0)
考试科目： 数学分析 (4) 计算 ∫∫ yzdydz + ( x
S
2
+ z 2 ) ydzdx + xydxdy,
其中 S 为曲面 4 − y = x
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2
+ z2
上
y≥0
∞
的那部分取正侧.
n
4.
1 求幂级数 ∑ (nn++2)! x 的收敛域及和函数.
1 x2 lim x → 0 (1 + cos x ) arctan x 2sin x + x 3 cos
lim ∫
y →0 3+ y y 2 +1
； ；
(3)
e x + e− x lim x − x x →+∞ e − e
lim ∑
n →∞ i =1 n
e2 x
；
(4)
x3 ln(e + xy 2 ) dx
2 2 2
xn +1 = f ( xn ) (n = 1, 2,..., x1 ∈ [a, b]).
证明数列{x } 收敛于 α , 其中 α 满足 f (α ) = α . (4) 设函数 z = f ( x, y ) 在矩形闭域 [ a, b] × [c, d ] 上连续 , 上其值含于 [a, b] 内的可微函数. 令
2010 年招收攻读硕士学位 年招收攻读硕士学位研究生 攻读硕士学位研究生入学考试试题 研究生入学考试试题（ 入学考试试题（副卷） 副卷）
学科、专业名称：数学学科、基础数学专业、概率论与数理统计专业、应用数学专业 研究方向：各方向 考试科目名称：609 数学分析
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
1.
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求极限 (每小题 6 分, 总共 36 分)
(1)
lim n a n + bn (a, b > 0)
n →∞
；
(2)
n
x = ϕ (t )
为定义在 [α , β ]
F (t , y ) = ∫
ϕ (t )
a
f ( x, y )dx ((t , y ) ∈ [α , β ] × [c, d ]).
证明： F 在 [α , β ] × [c, d ] 上连续.
(2)
2y
x
求 lim ( g ( 2x )) .
x x →+∞
3.
(1)
∫
2 + x − x 2 dx x
1 0
；
dx
(2)
瑕积分 ∫
x2 1 − x2
是否收敛? 若收敛, 求其积分值；
x C
(3)
设 w = g (u) 为连续可微函数, 若曲线积分 ∫ y(e + 2 g ( x))dx − g ( x)dy 与路径 无关, 且 g (0) = 1 , 求 ∫ y(e + 2 g ( x))dx − g ( x)dy.
(5)
i n + i2
2
；
(6)
设函数 g 在区间 (−∞, +∞) 内具有二阶连续的导函数, 且 g (0) = 1, g ′(0) = 0,
g ′′(0) = −1.
2.
求导数与微分 (每小题 7 分, 总共 14 分) (1) 已知 f ( x ) = (1 − x )(2 − x ) ⋅⋅⋅ (100 − x), 求 f ′(1) ； 求由方程 x − (2 y) = 0 ( x, y > 0) 所确定的函数 y = y( x) 的微分. 计算积分 (第 1,2 小题每小题 7 分, 第 3,4 小题每小题 10 分, 总共 34 分)