AM= AB；（4）分点 N 在线段 AB 上时和点 N 在线段 AB 的延长线上时分别求解可得．
4．如图，∠ AOB=90°，∠ BOC=30°，射线 OM 平分∠ AOC，ON 平分∠ BOC．
（1）求∠ MON 的度数； （2）如果（1）中，∠ AOB=α，其他条件不变，求∠ MON 的度数； （3）如果（1）中，∠ BOC=β（β 为锐角），其他条件不变，求∠ MON 的度数； （4）从（1）、（2）、（3）的结果中，你能看出什么规律？ 【答案】 （1）解：∠ AOB=90°，∠ BOC=30°， ∴ ∠ AOC=90°+30=120°．
得出
，又因为
，因此
，联立即可求
出两角的度数，再结合（1）的结论可得出
的度数，再求答案即可.
2．已知 AM∥ CN，点 B 为平面内一点，AB⊥BC 于 B． （1）如图 1，直接写出∠ A 和∠ C 之间的数量关系________；
（2）如图 2，过点 B 作 BD⊥AM 于点 D，求证：∠ ABD=∠ C；
过点 B 作 BG∥ DM，根据同角的余角相等，得出∠ ABD=∠ CBG，再根据平行线的性质，得 出∠ C=∠ CBG，即可得到∠ ABD=∠ C；（3）先过点 B 作 BG∥ DM，根据角平分线的定义， 得 出 ∠ ABF=∠ GBF ， 再 设 ∠ DBE=α ， ∠ ABF=β ， 根 据 ∠ CBF+∠ BFC+∠ BCF=180°， 可 得 （2α+β）+3α+（3α+β）=180°，根据 AB⊥BC，可得 β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到 ∠ ABE=15°，进而得出∠ EBC=∠ ABE+∠ ABC=15°+90°=105°．
∵ BD⊥AM， ∴ DB⊥BG，即∠ ABD+∠ ABG=90°， 又∵ AB⊥BC， ∴ ∠ CBG+∠ ABG=90°， ∴ ∠ ABD=∠ CBG， ∵ AM∥ CN， ∴ ∠ C=∠ CBG， ∴ ∠ ABD=∠ C；
（3）解：如图 3，过点 B 作 BG∥ DM，
∵ BF 平分∠ DBC，BE 平分∠ ABD， ∴ ∠ DBF=∠ CBF，∠ DBE=∠ ABE， 由（2）可得∠ ABD=∠ CBG， ∴ ∠ ABF=∠ GBF， 设∠ DBE=α，∠ ABF=β，则 ∠ ABE=α，∠ ABD=2α=∠ CBG，∠ GBF=β=∠ AFB，∠ BFC=3∠ DBE=3α， ∴ ∠ AFC=3α+β， ∵ ∠ AFC+∠ NCF=180°，∠ FCB+∠ NCF=180°， ∴ ∠ FCB=∠ AFC=3α+β， △ BCF 中，由∠ CBF+∠ BFC+∠ BCF=180°，可得 （2α+β）+3α+（3α+β）=180°，① 由 AB⊥BC，可得 β+β+2α=90°，② 由①②联立方程组，解得 α=15°， ∴ ∠ ABE=15°， ∴ ∠ EBC=∠ ABE+∠ ABC=15°+90°=105°． 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）先
∴ AM= AB=4， 故答案为：4； 【分析】（1）根据运动速度和时间分别求得 CM、BD 的长，根据线段的和差计算可得； （2）由题意得 CM=2 cm、BD=4 cm，根据 AC+MD=AM﹣CM+BM﹣BD=AB﹣CM﹣BD 可得答 案；（3）根据 C、D 的运动速度知 BD=2MC，再由已知条件 MD=2AC 求得 MB=2AM，所以
的值．
（3）4 （4）解：①当点 N 在线段 AB 上时，如图 1，
∵ AN﹣BN=MN， 又∵ AN﹣AM=MN ∴ BN=AM=4 ∴ MN=AB﹣AM﹣BN=12﹣4﹣4=4
∴ = =； ②当点 N 在线段 AB 的延长线上时，如图 2，
∵ AN﹣BN=MN， 又∵ AN﹣BN=AB ∴ MN=AB=12
，则
，
∵
，
∴
∵
分别为
∴
∴ ∵ ∴
的平分线所在直线
（3）:1:2:2 【解析】【解答】解：（3）∵
∴
∴
∵
∴
∵ ∴ ∴
∴
∴
.
故答案为：
.
【分析】（1）过点 C 作
点Q作
，则
，则
，再利用平行线的性质求解即可；（2）过
，再利用平行线的性质以及角平分线的性质得出
，再结合（1）的结论即可得出答案；（3）由（2）的结论可
（3）如图 3，在（2）问的条件下，点 E、F 在 DM 上，连接 BE、BF、CF，BF 平分∠ DBC， BE 平分∠ ABD，若∠ FCB+∠ NCF=180°，∠ BFC=3∠ DBE，求∠ EBC 的度数．
【答案】 （1）∠ A+∠ C=90°； （2）解：如图 2，过点 B 作 BG∥ DM，
∴ = =1；
综上所述 = 或 1 【解析】【解答】解：（1.）根据题意知，CM=2cm，BD=4cm， ∵ AB=12cm，AM=4cm， ∴ BM=8cm， ∴ AC=AM﹣CM=2cm，DM=BM﹣BD=4cm， 故答案为：2，4； （3.）根据 C、D 的运动速度知：BD=2MC， ∵ MD=2AC， ∴ BD+MD=2（MC+AC），即 MB=2AM， ∵ AM+BM=AB， ∴ AM+2AM=AB，
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）
1．如图，已知：点
不在同一条直线，
.
（1）求证：
.
（2）如图②，
分别为
的平分线所在直线，试探究 与
的数量关系；
（3）如图③，在（2）的前提下，且有
，直线
交于点 ，
，
请直接写出
________.
【答案】 （1）证明：过点 C 作
，则
，
∵ ∴ ∴
（2）解：过点 Q 作
（4）在（3）的条件下，N 是直线 AB 上一点，且 AN﹣BN=MN，求 【答案】 （1）2；4 （2）解：当点 C、D 运动了 2 s 时，CM=2 cm，BD=4 cm ∵ AB=12 cm，CM=2 cm，BD=4 cm ∴ AC+MD=AM﹣CM+BM﹣BD=AB﹣CM﹣BD=12﹣2﹣4=6 cm
3．已知：如图 1，点 M 是线段 AB 上一定点，AB=12cm，C、D 两点分别从 M、B 出发以 1cm/s、2cm/s 的速度沿直线 BA 向左运动，运动方向如箭头所示（C 在线段 AM 上，D 在线 段 BM 上）
（1）若 AM=4cm，当点 C、D 运动了 2s，此时 AC=________，DM=________；（直接填 空） （2）当点 C、D 运动了 2s，求 AC+MD 的值． （3）若点 C、D 运动时，总有 MD=2AC，则 AM=________（填空）