等腰三角形知识要点及培优试题等腰三角形性质与判定知识点及精选练习题知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理1（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C（3）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。
知识点2：等腰三角形性质定理2（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）（2）符号语言：∵AB=AC，BD=DC∴∠1=∠2，AD⊥BC（3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。
说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。
知识3：等腰三角形的判定定理（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）（2）符号语言：在△ABC中,∵∠B=∠C ∴AB=AC （3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD （AAS）∴AB=AC（4）定理的作用：等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
说明：①本定理的证明用的是作底边上的高，还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。
②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义 2、利用定理。
知识点4：等腰三角形的推论1. 推论：推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
知识点5：等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
一、知识点回顾等腰三角形的性质：仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 2 -仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢- 3 -△ABC 中，AB=AC ．点D 在BC 边上（1）∵AB=AC ， ∴∠_____=∠______；（即性质1）（2）∵AB=AC ，AD 平分∠BAC ，∴_______=________；________⊥_________；（即性质2）（3）∵AB=AC ，AD 是中线，∴∠______=∠______；________⊥________；（即性质2）（4）∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴∠________=∠_______；_______=_______．（即性质2）等腰三角形的判定：△ABC 中，∵∠B=∠C ∴_____=_____． 二、基础题第1题. 已知等腰三角形的一个内角为80°，则它的另两角为________________．第2题. 在△ABC 中， ∠ABC =∠C =2∠A ，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC ，则图中等腰三角形的个数是（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 第3题. 如图1，△MNP 中， ∠P =60°，MN =NP ，MQ ⊥PN ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取NG=NQ ，若△MNP 的周长为12，MQ =a ，则△MGQ 周长是（ ）图1 图2 图3 A ．8+2aB ．8+aC ．6+aD ．6+2a第4题. 如图2，O 是△ABC 中∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，OD ∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E 点，若BC =10cm ，那么△ODE 的周长为（ ）A ．8cmB ．9cmC ．10cmD ．11cm第5题. 等腰三角形底边中点与一腰的距离为6，则腰上的高为______． 第6题. 等腰三角形有一个角是50°，那么其他两个角的度数是____________．第7题. 如图7，已知AE 平分∠DAC ，AE ∥BC ，那么AB =AC 吗?请简要说明理由．图7 图8第8题. 如图8，PQ 为Rt △MPN 斜边上的高， ∠M =45°，则图中等腰三角形的个数是（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个第9题. 等腰三角形的两边长为3和6，则这个三角形的周长为（ ） A ．9 B ．12 C ．15 D ．12或1第10题. 下列命题正确的个数是（ ） ①如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边;②如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段，那么延长线段的两个端点与顶点距离相等;③等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等;④等腰三角形高上一点到底边的两端点距离相等．A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个第11题. 等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（ ） A ．42° B ．60° C ． 36° D ． 46°AOC B ED A Q CP B P QMN G AC BED P Q M N仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢- 4 -第12题. 等边三角形两条角平分线所夹锐角的度数是（ ） A ．120° B ． 150° C ．60° D ．90° 第13题. 如图10，∠ABC 中，AD ⊥BC ，AB =AC ， ∠BAD =30°，且AD =AE ，则∠EDC 等于（ ） A ．10° B ．12．5° C ．15° D ． 20°图10 图11 图12第14题. 如图11，△ABC 中，点D 在AC 上，且AB =AD ， ∠ABC =∠C +30°，则∠CBD 等于（ ） A ．15° B ． 18° C ． 20° D ． 22.5° 第15题. 已知:如图12，AB =AC ，BD ⊥AC ，请探索∠DBC 与∠A 的关系并说明理由．第22题. 如果一个三角形的一条边上的中点到其他两边的距离相等，那么它一定是（ ）A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．不等边三角形 D ．不等腰钝角三角形第16题. 如下图，在△ABC 中，AB =AC ， ∠A =36°，BD 、CE 分别 是∠ABC 、∠ACB 的平分线，则图中等腰三角形的个数为（ ）A ．12B ．10C ．9D ．8第17题. 一个等腰三角形的一个内角为90°，那么这个等腰三角形的一个底角为（ ）A ．90° B ． 45° C ． 50° D ． 22.5° 第18题. 等腰三角形的两条边长分别为15cm 和7cm ，则它的周长为（ ）A ．37cmB ．29cmC ．37cm 或29cmD ．无法确定第19题. △ABC 中，∠ACB =90°，DE 是AB 的 垂直平分线，且∠BAD ∶∠CAB =1∶3，则∠B 等于_______度．第20题. 已知Rt △ABC 是轴对称图形，且∠C ＝90°，那么∠B ＝_____度，∠A ＝______度；点A 的对应点是______，点C 的对应点是_______．第21题. 在△ABC 中，边AB 、BC 的垂直平分线相交于点P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系是_________第22题. 如图，在△ABC 中，BC =5 cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD ∥AB ，PE ∥AC ，则△PDE 的周长是___________ cm. 二、解答题1．如图，已知AB=AC ，E 、D 分别在AB 、AC 上，BD 与CE 交于点F ，•且∠ABD=•∠ACE ， 求证：BF=CF ．2．如图，△ABC 中BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，•DBA ECD B A CA D ECB O DAA D C E E DCABF EDC ABF求证：△DBE是等腰三角形．3. 如图, 已知：点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.求证：BD=CE4. 如图：△ABC中,AB=AC,PB=PC．求证：AD⊥BC5. 已知：如图,BE和CF是△ABC的高线,BE=CF,H是CF、BE的交点．求证：HB=HC 7．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE•都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△CFH•的形状并说明理由．8.已知:如图，△BDE是等边三角形，A在BE延长线上，C在BD的延长线上，且AD=AC。
求证：DE+DC=AE。
EDCABHF仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 5 -9. 如图,△ABC中,D在BC延长线上,且AC=CD,CE是△ACD的中线,CF平分∠ACB,交AB于F,求证:(1)CE⊥CF;(2)CF∥AD.三、探究题1．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．2．如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF交AF的延长线于D，DE∥AC•交AB于E，求证：AE=BE．3．如图，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2 ，试说明：AB=AC+CD ．EDCABFE DAB仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 6 -4. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。
求证：M是BE的中点。
E仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 7 -。