第二章 导数与微分【内容提要】1．导数的概念设函数y ＝f (x )在x 0的某邻域（x 0－δ，x 0 + δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x 在点x 0处有改变量Δx 时，相应地，函数有改变量00()()y f x x f x ∆=+∆-．若0→∆x 时，极限xyx ∆∆→∆0lim 存在，则称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，称此极限值为f(x)在点x 0 处的导数，记为)(0x f '或)(0x y '或0|x x y ='或0|d d x x xy =或0|d d x x x f=+→∆0x 时，改变量比值的极限xyx ∆∆+→∆0lim 称f(x)在x 0处的右导数，记为)(0x f +'。

-→∆0x 时，改变量比值的极限xyx ∆∆-→∆0lim 称f(x)在x 0处的左导数，记为)(0x f -'。

2．导数的意义导数的几何意义：)(0x f '是曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。

导数的物理意义：路程对时间的导数)(0t s '是瞬时速度v (t 0) 。

以此类推，速度对时间的导数)(0t v '是瞬时加速度a (t 0)。

3．可导与连续的关系定理 若函数)(x f y =在点x 0处可导，则函数在点x 0处一定连续。

此定理的逆命题不成立，即连续未必可导。

4．导数的运算定理1（代数和求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则v u v u '±'='±)(定理2（积的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则v u v u uv '+'=')(定理3（商的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，且v (x )≠0，则2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛定理4 若函数)(x g u =在点x 处可导，且)(u f y =在其相应点u 处可导，则复合函数)]([x g f y =在x 处可导，且x u x u y y '⋅'=' 或d d d d d d y y ux u x=⋅5．基本初等函数求导公式本节中我们已求出了所有基本初等函数的导数，整理所下：0)(='C 1)(-='μμμx xa a a x x ln )(='x x e )e (='ax x a ln 1)(log ='x x 1)(ln ='x x cos )(sin =' x x sin )(cos -='x x 2sec )(tan =' x x 2csc )(cot -='x x x tan sec )(sec =' x x x cot csc )(csc -=211)(arcsin x x -=' 211)(arccos x x --='211)(arctan xx +=' 211)cot arc (x+-='这些基本导数公式必须熟记，与各种求导法则、求导方法配合，可求初等函数的导数。

6．微分的概念设函数)(x f y =在点x 处可导，则称函数)(x f 在x 点的导数)(x f '与自变量增量Δx 的乘积为函数)(x f y =在x 处的微分，记为x x f y ∆'=)(d若x y =，则Δx ＝d x ，即自变量的微分等于自变量的改变量，因此函数的微分可记为x x f y d )(d '=由x x f y d )(d '=可知，先计算函数的导数，再乘以d x 或Δx ，就得到函数的微分d y 。

7．微分的计算由x x f y d )(d '=可知，微分的计算归结为导数的计算。

由初等函数导数的计算公式、法则和方法，可以直接得到微分基本公式和运算法则： d()0C = 1d()d x xxμμμ-=d()ln d xxa a a x = d()d xxe e x = 1ln d(log )d a x ax x =1d(ln )d x x x=d(sin )cos d x x x = d(cos )sin d x x x =- 2d(tan )sec d x x x = 2d(cot )csc d x x x =- d(sec )sec tan d x x x x =⋅ d(csc )csc cot d x x x x =-⋅d(arccos )x x = d(arcsin )x x =21d(arctan )d 1x x x =+ 21d(arccot )d 1x x x=-+ 微分的运算法则如下：四则运算法则：当u 、v 可微时，d(u ±v )＝d u ±d v d(uv )＝v d u ＋u d v d(C u )＝Cd u2d d v u d v vu u v -=⎪⎭⎫ ⎝⎛，(v ≠0) 复合函数的微分法则：设函数y ＝f (x )可微，当x 是自变量时，x x f y d )(d '=；当x 是中间变量x ＝g (t )时，复合函数y ＝f [g (t )]的微分为x x f t g x f t t g x f t y y t d )()(d )(d )()(d d '='=''='=。

就是说，不论x 是中间变量还是自变量，函数y ＝f (x )的微分都可以表示为x x f y d )(d '=。

由于表达形式一致，称之为一阶微分的形式不变性。

8．微分的简单应用由微分的定义可知，当x ∆很小时，可以用函数)(x f y =的微分d y 代替函数改变量y ∆，误差仅为x ∆的高阶无穷小，即x x f y y d )(d 0'=≈∆由)()(00x f x x f y -∆+=∆，得到近似公式x x f x f x x f ∆'+≈∆+)()()(000记x ＝x 0＋Δx ，近似公式可以写为))(()()(000x x x f x f x f -'+≈若取x 0＝0，则得到当| x |很小时，()f x 的近似公式x f f x f )0()0()('+≈微分还可以用来估计误差。

若)(x f y =，测量x 时产生的绝对误差为x ∆，当x ∆很小时，函数)(x f y =的绝对误差、相对误差分别计算为|d |||y y ≈∆，|||d |||||y y y y ≈∆ 【习题解答】2-1 求下列函数的导数。

（1） 3421y x x =+-；（2） 212x x y +=；（3） 442x x y +=； （4） y ＝(x 2＋3)tan x ；（5） x x y ln =； （6） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=x x y 11)1(； （7） xxx y cos 1sin +=； （8） y ＝sec x tan x ＋csc x cot x ；（9） 2lg log 2+=x x y ； （10） tty --+=1111。

解 （1） 2122y x '=+（2） 21y x x'=-+ （3） 443852816616x x x x y x x---'==- （4） y '＝2x tan x + (x 2＋3)sec 2x（5）y '=（6） 1(1y '+= （7）2(sin cos )(1cosx)xsinx(sinx)sin (1cos )1cos x x x x xy x x++--+'==++（8） y ' = sec x tan 2x + sec 3x - csc x cot 2x - csc 3x（9） 21log ln 2y x '=+（10）y '=2-2 设f (x )＝cos x sin x ，求)0(f '、⎪⎭⎫⎝⎛'2πf 。

解 f ' (x ) = - sin x sin x + cosxcosx = cos2x )0(f '= 1 ⎪⎭⎫⎝⎛'2πf = -12-3 设21)(x xx f -=，求)0(f '、)2(f '。

解 2222221(2x)1()(1)(1)x x x f x x x ---+'==-- )0(f ' = 1 )2(f ' = 5 /92-4 求曲线y ＝4x 2＋4x －3在点(1，5)处的切线和法线方程。

解 y ' = 8x + 4 k = 12切线方程 12x - y -7 = 0 法线方程 x + 12y - 61 = 02-5 物体运动方程为s ＝t ＋sin t ，求物体运动的速度和加速度。

解 s cos v t '== t s a sin -=''= 2-6 求下列各函数的导数。

（1） 21x y +=； （2） y ＝cos ax sin bx ； （3） y ＝ln 2x ； （4） y ＝lncos x ；（5） 2sin 22x y =； （6） 212arctan x x y -=；（7） 2cos 2x y =； （8）22arctanxa x y -=；（9） xxy sin 1sin 1ln-+=； （10）2e kx y -=。

解 （1） 解 2x1+='x y（2） bx ax b bx ax a y cos cos sin sin +-='（3） 2ln xy x'= （4） x xxy tan cos sin -=-=' （5） 222sin )(2cos 2sin 2x x x x x y ==' （6） 22222212)1()2(2)1(2)1x 2(11x x x x x x y +=-----+=' （7） x x x y sin 2121)2sin (2cos 2-=-=' （8） 2222222222222222)(11xa a x a x a x a xxx a x a x y -+=------+=' （9） xx x x x y xx x xx x y cos 1cos sin sin 1cos cos ln )sin 1ln(cos sin 1ln sin 1sin 1ln=--+='-+=+=-+= （10）222)2(e kx kx kxe kx y ---=-=' 2-7 求下列各隐函数的导数。