正交多项式
正交函数族与正交多项式
1、什么是权函数？
定义4：
设[a,b]是有限或无限区间，在[a,b]上的非负函数ρ(x)满足条件：
（1）∫x k ρ(x )dx b
a 存在且为有限值（k=0,1，…）；
（2）对[a,b]上的非负连续函数g(x)，如果∫g (x )ρ(x )dx =0b
a ,则g(x)≡0. 则称ρ(x )为[a,b]上的一个权函数。

2、什么是内积？
内积：(f (x ),g (x ))=∫f (x )g (x )dx b
a
ρ(x)是[a,b]上的权函数，内积：(f (x ),g (x ))=∫ρ(x)f (x )g (x )dx b
a ，常用ρ(x)≡1。

3、正交及正交函数族概念
定义5
若f (x ),g (x )∈C [a,b ],ρ(x )为[a,b]上的权函数且满足
(f (x ),g (x ))=∫ρ(x )f (x )g (x )dx =0b
a , (2.1)
则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权ρ(x )正交。

若函数族φ0(x ),φ1(x ),…,φn (x ),…满足关系
(φj ,φk )=∫ρ(x )φj (x )φk (x )dx ={0 , j ≠k,A k >0,j =k.b
a (2.2)
则称{φk (x)}是[a,b]上带权ρ(x)的正交函数族；若Ak ≡1，则称为标准正交函数族。

例如，三角函数
1,cos x ,sin x , cos 2x , sin 2x ,…
解：
在区间[−π，π]上的正交函数族，因为对k=1,2,…有（任意两个相同函数在区间[−π，π]上的内积k=j ）：
(1,1)=∫1×1dx =π−π
π−(−π)=2π
(sin kx,sin kx )=∫sin k 2x π
−π
dkx =π
同理(cos kx,cos kx,)=π
任意两个不同函数在区间[−π，π]上的内积（k ≠j ）：
(cos kx,sin kx )=∫sin kx cos kx π
−π
dkx =0 (cos kx,cos jx )=∫cos jx cos kx π−πdx =0 同理(sin kx ,sin jx )=(cos kx,sin jx )=0
因此三角函数族为在区间[−π，π]上带权的正交函数族。

4、n 次正交多项式
定义6
设φn (x)是[a,b]上首项系数a n ≠0的n 次多项式，ρ(x)为[a,b]上的权函数。

如果多项式序列{φn (x)}0∞满足关系式（2.2），则称多项式序列{φn (x)}0∞为在[a,b]上带权ρ(x)正交，称φn (x)为在[a,b]上带权ρ(x)的n 次正交多项式。

5、如何构造正交多项式
按照Schemite 正交化构造： 幂函数为1,x,…,x n ,…
令φ0(x )=1(幂函数为f n (x )=f 0(x )
φ1(x )=f 1(x )−
(f 1(x ),φ0(x ))
(φ0(x ),φ0(x ))
φ0(x )
φ2(x )=f 2(x )−(f 2(x ),φ1(x ))(φ1(x ),φ1(x ))φ1(x )−(f 2(x ),φ0(x ))
(φ0(x ),φ0(x ))
φ0(x )
φn (x )=f n (x )−∑
(f n (x ),φj (x ))(φj (x ),φj (x ))
n−1
i=0
φj (x )
把f n (x )=x n 带入，i=j φn (x )=x n
−∑(x n ,φj (x )
)(φj (x ),φj (x ))
n−1j=0φj (x ),
n=1,2,…
例题，求区间 [-1,1]上，权函数ρ(x)=1的正交多项式。

解：用幂函数正交构造，用Schemite 正交化构造
p 0(x )=1
p 1(x )=x −(x,1)
()×1=x −∫xdx 1
−1∫1dx
1−1=x
p 2(x )=x 2
−(x 2,x )(x,x )x −(x 2,1)(1,1)×1=x 2−1
3
p n (x )=x n −∑(x n
,p i (x ))
(p i (x ),p i (x ))
n−1
i p i (x )
6、正交多项式的性质
（1）对任何P(x)∈H n 均可表示为φ0(x)，φ1(x)，…,φn (x)的线性组合，即：
P (x )=∑c j φj (x ).n
j=0
（2）φn (x)与任何次数小于n 的多项式P(x)∈H n-1正交，即：
(φn ,P )=∫ρ(x )φn (x )P (x )dx =0.b
a
7、正交多项式定理
定理4
设{φn (x)}0∞是[a,b]上带权ρ(x)的正交多项式，对n ≥0成立递推关系
φn+1(x )=(x −αn )φn (x )−βn φn−1(x ), n =0,1,2,…, (2.4)
其中
φ0(x)=1，φ−1(x)=0， αn =(xφn (x ),φn (x ))(φn (x ),φn (x )),
βn =(φn (x ),φn (x ))
(φn−1(x ),φn−1(x ))
,n =1,2,…,
这里(xφn (x ),φn (x ))=∫xφn 2(x )ρ(x )dx.b
a
定理5
设{φn (x)}0∞是[a,b ]上带权ρ(x)的正交多项式，则φn (x)(n ≥1)在区间（a,b ）内有n 个不同的零点。

证明：假定φn (x)在(a,b )内的零点都是偶数重的，则φn (x)在[a,b ]上符号保持不变。

这与
(φn ,φ0)=∫ρ(x )φn (x )b
a φ0(x )dx =0
矛盾，故φn (x )在(a,b )内的零点不可能全是偶重的，现设x i (i =1,2,…,l)为,φn (x )在(a,b )内的奇数重零点，不妨设
a <x 1<x 2<x l <
b ,
则φn (x )在x i (i =1,2,…,l)处变号，令
q (x )=(x −x 1)(x −x 2)…(x −x l ),
于是φn (x )q (x )在[a,b ]上不变号，则得
(φn ,q )=∫ρ(x )b
a
φn (x )q (x )dx ≠0.
若l <n ,由{φn (x )}0∞的正交性可知
(φn ,q )=∫ρ(x )b
a φn (x )q (x )dx =0，
与(φn ,q )≠0矛盾，故l ≥n 。

而φn (x )只有n 个零点，故l =n ，即n 个零点都是单重的。