P( x) = a0 + a1 x + L + an x n
k −1 j=0
( 2 .5 ) ( 2 .6 )
又
x = ϕ k ( x ) − ∑ c kjϕ j ( x ), ( k = 1, 2,L , n )
k
将(2.6)代入 代入(2.5)得 得 代入 P ( x ) = a0ϕ 0 ( x ) + a1[ϕ1 ( x ) − c10ϕ 0 ( x )] + a2 [ϕ 2 ( x ) − c20ϕ 0 ( x ) − c21ϕ1 ( x )] + L + an [ϕ n ( x ) − cn 0ϕ 0 ( x ) − cn1ϕ 1 ( x ) − L − cnn − 1ϕ n − 1 ( x )]
}
问题: 问题
H n = Span 1, x ， , x n ，如何由 1, x， , x n 得到正交基？ L L 得到正交基？
{
}
二、 史密特正交化 定理3 格兰姆-史密特（ 定理3 （格兰姆-史密特（Gram-Schmidt）正交化） ）正交化） （1）设 H n = Span{ , x , L , x n }; 1 n 1 可构造以 权函数， （2） ω ( x ) ≥ 0 权函数， 则由基 { , x , L , x } 可构造以ω ( x ) L 为权函数的正交多项式组{ϕ 0 ( x )，ϕ 1 ( x )， ，ϕ n ( x )} 使得ϕ k ( x ) 为首项 系数是1 次多项式， （即 x k项）系数是1的k次多项式，即 次多项式 ϕ0 ( x) = 1
且满足： （3）设已构造 ϕ 0 ( x ), ϕ 1 ( x ),L , ϕ k −1 ( x ), ( k ≥ 1), 且满足： (a ) ϕ i ( x )是首项系数为1的i次多项式； 是首项系数为1 次多项式 次多项式； ( b ) (ϕ ii , ϕ jj ) = 0 , 当 i ≠ j(i , j = 0,1,L, k − 1) k −1 k ϕ 由 x k 及{ 0 , ϕ 1 , L , ϕ k −1 }组合构造 ϕ k ( x ) = x + ∑ c kjϕ j ( x )
~ ~ 且有 ( P i , P j ) = 0,当 i ≠ j。
1 dn 2 n 定义7 定义7 n次多项式 Pn ( x) = n 次多项式 ( x −1) ， ( n = 0,1,2, L) n 2 n! dx 称为Legendre多项式 称为 多项式 ~ P0 ( x ) = 1 = P0 ( x ) ~ P1 ( x ) = x = P1 ( x ) ~ p ( x) = 3 x2 − 1 = 3 P ( x) 且有 ( 2 .8 ) 2 2 2 2 2 2 3 3 5~ P3 ( x ) = x − x = P3 ( x ) 2 5 2 LL
≡ c0ϕ0 ( x) + c1ϕ1 ( x) + L+ cnϕn ( x)
0
1
作内积， 两边与 ϕ i ( x )作内积，则有 （P( x)，ϕ i ( x) = c（ϕ i ( x)，ϕ i ( x) ） i ） （P( x)，ϕ i ( x) ） ci = 1， 于是 ，i = 0，L，n。 （ϕ i ( x)，ϕ i ( x) ）
{
次多项式）是唯一的。 为1的 k次多项式）是唯一的。 定理5 定理5 设 {ϕ k }为[ a , b ]上带权 ω ( x )的正交多项式序列 , 则 n 次多项
个不同的实根。 式 ϕ n ( x ) 在[a,b]内恰好有 个不同的实根。 , ]内恰好有n个不同的实根 说明：用反证法利用定理3即得证 即得证。 说明：用反证法利用定理 即得证。 应用： 最佳一致逼近多项式。 应用：求最佳一致逼近多项式。
代入(2.5)得 将(2.6)代入 代入 得 P ( x ) = a0ϕ 0 ( x ) + a1[ϕ 1 ( x ) − c10ϕ 0 ( x )] + a2 [ϕ 2 ( x ) − c20ϕ 0 ( x ) − c21ϕ 1 ( x )] + L + an [ϕ n ( x ) − cn 0ϕ 0 ( x ) − cn1ϕ 1 ( x ) − L − cnn −1ϕ n −1 ( x )] a −a c21 c ancn an = [a00 + (−a1c10 − a2c20 − L− anncnn00))] 0( x) +[a11− a22c21 −L−ancn11]ϕ1( x) +L+cnϕn( x) a + (−a1c10 − a2c20 −L− a c ϕ c
四、常用的正交多项式 勒让德（ 1．勒让德（Legendre）多项式 ） { ~i ( x)}n=0 ，由定理4得 取[a , b] = [−1,1], ω ( x ) ≡ 1， 由定理4 正交多项式记为 p i
~ P0 ( x ) = 1 ~ P1 ( x ) = x ~ P2 ( x ) = x 2 − 1 3 3 ~ P3 ( x ) = x 3 − x 5 LL
k −1 k ϕ k ( x ) = x + ∑ ckjϕ j ( x ),
k = 1, 2 , L , n 。
其中系数 ckj = −
( x ,ϕ j )
k
j =0
(ϕ j , ϕ j )
, ( j = 0,L , k − 1)，
正交性
证明： 递推构造法证明 证明：用递推构造法证明 (1) 令ϕ 0 ( x ) = 1; ( 2) 构造ϕ1 ( x ) = x + c10ϕ 0 ( x ), 且选取 c10使 ( x,ϕ 0 ) 0 = (ϕ 1 , ϕ 0 ) = ( x , ϕ 0 ) + c10 (ϕ 0 , ϕ 0 ), 即选取 c10 = − (ϕ 0 , ϕ 0 )
则
an =
1 (2n)! ， n 2 n! n!
dn dn n n ϕ ( x ) = n!(1 + 1) = n!2 ， n ϕ ( x) = n!(−2)n， n dx n dx x =1 x =−1 = ∑ p(k )( x + 1)n− k ( x − 1)k k =0 则 （a） Pn (1) = 1, Pn ( −1) = ( −1)n； 1 dn 2 n dk Pn ( x) = n ( x −1) （ b） k ϕ ( x ) = 0，当 k < n 时 . n 2 n! dx dx x = ±1 n Legendre多项式 1]具有权函数 （3）Legendre多项式{Pi }i = 0 为[-1，1]具有权函数ω ( x ) ≡ 1 的 当n ≠ m 0, 正交多项式，即 正交多项式， 1 ( Pn , Pm ) = ∫ Pn ( x ) Pm ( x )dx = 2 −1 当n = m 2n + 1 Legendre多项式的奇偶性 （4）Legendre多项式的奇偶性 Pn ( x ), 当n为偶数 n Pn ( − x ) = ( −1) Pn ( x ) = − Pn ( x ), 当n为奇数
（1） Pn ( x ) 的首项系数an =
ϕ ′′( x ) = 2n( 2n − 1) x 2 n − 2 + L
M
ϕ ( n ) ( x ) = 2n( 2n − 1)L( 2n − ( n − 1)) x 2 n − n + L
2n( 2n − 1)L( n + 1)nL 2 ⋅ 1 n x +L n! ( 2n)! n x +L = n! ϕ ( 2 n ) ( x ) = 2n( 2n − 1)L ( n + 1)n L 2 ⋅ 1 = ( 2n)! =
j =0
选择系数 c kj 使 0 = (ϕ k , ϕ i ) = ( x ,ϕi ) + ∑ ckjϕ jj,,ϕ i i)) = cki ϕ i，ϕ i） （ （ kj ϕ ϕ
k
j =0
k −1
即
( x k ,ϕ L, k − 1) (ϕi ,ϕi )
a
#
n { 的正交多项式组， 推论 设（1）ϕ i ( x )} i = 0 为[a， b ]具有权函数 ω ( x ) 的正交多项式组， 是首项系数为1 次多项式 次多项式； 其中 ϕ i ( x ) 是首项系数为1的i次多项式；
（2 P ( x ) ∈ H n为任一次数 ≤ n 多项式，则 ） 多项式， 线性无关； ① {ϕ 0 ( x ), ϕ 1 ( x ), L , ϕ n ( x )}于 [a， b ] 线性无关； n （P , ϕ ） i ( i = 0,1, L , n) ② P ( x ) = ∑ c iϕ i ( x ) ，其中 ci = （ϕ i , ϕ ） i i =0 L 为正交多项式组， L ） 证明： 证明： ① {ϕ 0，ϕ 1， ，ϕn }为正交多项式组，则 G（ϕ 0，ϕ 1， ，ϕn ≠ 0， 由定理 2得{ϕ i ( x )} n= 0 线性无关。 i 线性无关。 ② 因 P ( x ) ∈ H n为任一次数 ≤ n 多项式，则可设 多项式，
b
= ( x k , ϕ i ) + c ki ϕ i , ϕ i ) （
的正交多项式组， 于是 {ϕ i ( x )} n= 0 为[ a ， b ]具有权函数 ω ( x ) 的正交多项式组， i
即
(ϕ i , ϕ j ) = ∫ ω ( x )ϕ i ( x )ϕ j ( x )dx = 0,当 i ≠ j。
1 (2n)! ， 若令ϕ ( x ) = ( x 2 − 1) n， 2n n! n! 2n d 则有 2 n ϕ ( x ) = ( 2n)!。 1 dn 2 n dx Pn ( x) = n ( x −1) n 2 n −1 2 n! dx +L 事实上， 事实上，ϕ ′( x ) = 2nx