-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214第四章 平稳时间序列模型的建立本章讨论平稳时间序列的建模问题，也就是从观测到的有限样本数据出发，通过模型的识别、模型的定阶、参数估计和诊断校验等步骤，建立起适合的序列模型。

学习重点为模型的识别和模型的检验。

第一节 模型识别一、 识别依据模型识别主要是依据SACF 和SPACF 的拖尾性与截尾性来完成。

常见的一些ARMA 类型的SACF 和SPACF 的统计特征在下表中列出，可供建模时，进行对照选择。

表 ARIMA 过程与其自相关函数偏自相关函数特征模 型 自相关函数特征 偏自相关函数特征 ARIMA(1,1,1)∆ x t = ϕ1∆ x t -1 + u t + θ1u t -1 缓慢地线性衰减AR （1） x t = ϕ1 x t -1 + u t若ϕ1 > 0，平滑地指数衰减若ϕ1 < 0，正负交替地指数衰减-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214若ϕ11 > 0，k =1时有正峰值然后截尾若ϕ11 < 0，k =1时有负峰值然后截尾-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214MA （1） x t = u t + θ1 u t -1若θ1 > 0，k =1时有正峰值然后截尾若θ1 > 0，交替式指数衰减-1.0-0.50.00.51.02468101214-1.0-0.50.00.51.02468101214-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214若θ1 < 0，k =1时有负峰值然后截尾-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214若θ1 < 0，负的平滑式指数衰减-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214AR （2）x t = ϕ1 x t -1 + ϕ2 x t -2 + u t指数或正弦衰减-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（两个特征根为实根）-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（两个特征根为共轭复根）k =1, 2时有两个峰值然后截尾-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（ϕ1 > 0，ϕ2 > 0）-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（ϕ1 > 0，ϕ2 < 0） MA （2）x t = u t + θ1 u t -1+ θ2 u t -2k =1, 2有两个峰值然后截尾-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（θ1 > 0，θ2 < 0）-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（θ1 > 0，θ2 > 0）指数或正弦衰减-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（θ1 > 0，θ2 < 0）-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（θ1 > 0，θ2 > 0）ARMA （1，1） x t = ϕ1 x t -1 + u t + θ1 u t -1k =1有峰值然后按指数衰减-0.50.00.51.024******** k =1有峰值然后按指数衰减-0.50.00.51.024********（ϕ1 > 0，θ1 > 0）-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（ϕ1 > 0，θ1 < 0）（ϕ1 > 0，θ1 > 0）-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（ϕ1 > 0，θ1 < 0）ARMA （2，1）x t = ϕ1 x t -1+ ϕ2 x t -2+ u t + θ1 u t -1k =1有峰值然后按指数或正弦衰减-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（ϕ1 > 0，ϕ2 < 0，θ1 > 0）k =1, 2有两个峰值然后按指数衰减-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（ϕ1 > 0，ϕ2 < 0，θ1 > 0） ARMA （1，2）x t = ϕ1 x t -1+ u t + θ1 u t -1+ θ2 u t -2k =1, 2有两个峰值然后按指数衰减-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（ϕ1 > 0，θ1 > 0，θ2 < 0）-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.02468101214（ϕ1 > 0，θ1 > 0，θ2 >0）k =1有峰值然后按指数或正弦衰减-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（ϕ1 > 0，θ1 > 0，θ2 < 0）-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.02468101214（ϕ1 > 0，θ1 > 0，θ2 > 0）ARMA （2，2）x t =ϕ1x t -1+ϕ2x t -2+ u t +θ1u t -1+θ2u t -2 k =1, 2有两个峰值然后按指数或正弦衰减-0.6-0.4-0.20.00.20.40.62468101214（ϕ1 > 0，ϕ2 < 0，θ1 > 0，θ2 < 0）-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（ϕ1 > 0，ϕ2 < 0，θ1 > 0，θ2 > 0） k =1, 2有两个峰值然后按指数或正弦衰减-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（ϕ1 > 0，ϕ2 < 0，θ1 > 0，θ2 < 0）-0.8-0.40.00.40.82468101214（ϕ1 > 0，ϕ2 < 0，θ1 > 0，θ2 > 0）二、 拖尾性与截尾性的判定理论上，对于MA(q)过程，其自相关函数k ρ在q 步之后全部为零，实际上并非如此，因为ˆk ρ为样本数据的估计值。

同样地，偏自相关函数ˆkkφ也存在类似的问题。

判定k ρ在m 步之后截尾的做法是：))21(1,0(~ˆ12∑=+ml l k N N ρρ⇒%3.68)ˆ21(1ˆ12=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+≤∑=ml l k N P ρρ%5.95)ˆ21(2ˆ12=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+≤∑=ml lk N P ρρ实际判断时，以频率代概率。

判定kk φ在n 步之后截尾的做法是：)1,0(~ˆNN kkφ ⇒%3.681ˆ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤N P kk φ%5.952ˆ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤N P kk φ实际判断时，以频率代概率。

拖尾：即被负指数控制收敛于零。

三、 实例【例4-1】现有磨轮资料250个，试判断该数据的零均值及平稳性。

1．时间序列趋势图161284-450100150200250X2．零均值化后的图形84-4-8-1250100150200250Y3．ACF与PACF图形ACF-0.2-0.100.10.20.30.40.50.60.7123456789101112131415PACF-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.50.60.7123456789101112131415第二节 模型定阶一、 残差方差图法基本思想：以AR 模型为例。

对于时间序列}{t x ，如果其合理（真正的）阶数为p ，当我们用一个小于p 的值为阶数去拟合它，所得到的剩余平方和必然偏大，2ˆσ1将比真正模型的2σ大。

原因在于它把模型中原本有的一些高阶项给省略了，而这些项的存在对减小残差的方差是有明显贡献的。

反之，如果我们用一个大于p 的值作为阶数去拟合它（过度拟合），虽然剩余平方和减少，但已不明显，这时2ˆσ可能还会增大。

因此，我们可以用一系列阶数逐渐递增的模型对}{t x 进行拟合，每次都求出2ˆσ，作出阶数n 和残差方差2ˆσ的图形，进行判断。

这种方法直观简单，但没有量的准则，具有主观性。

二、 自相关函数（ACF ）和偏自相关函数（PACF ）定阶法它们不仅可以用来识别模型，而且还可以用来确定模型的阶。

三、 F 检验定阶法基本思想：首先用ARMA(n,m)对}{t x 进行过度拟合，再令m n θφ,为零，用F 检验判定阶数降低之后的模型ARMA(n-1,m-1)与ARMA(n,m)之间是否存在显著性差异。

如果有显著性差异，阶数能够升高；如果没有差异，阶数可以降低。

四、 最佳准则函数定阶法最佳准则函数法，是构造一个准则函数，该函数既要考虑用某一模型对原始数据拟合的接近程度（残差的大小），同时又要考虑模型中所含待定参数的个数。

建模时，根据函数的取值确定模型优劣，使准则函数值达到最小的模型是最佳模型。

准则函数法是日本学者赤池弘次(Akaike)最先提出。

主要有FPE 准则，AIC 准则，BIC 准则，SC 准则。

1．FPE 准则1kN ee -'=2ˆσ，不仅受剩余平方和的影响，而且还受自由度的影响。

基本思想：根据模型的预报误差来判断自回归模型的阶数是否恰当，合理的阶数应该能够使得模型的最终预报误差最小。

基本理论：对于)(n AR 模型，时间序列{}t x 的一步预报误差的方差为：221)/1()]1(ˆ[σN n X X E t t +≈--，而Nn /1ˆ2-σ是2σ的无偏估计，于是2221ˆ)/1()]1(ˆ[σσnN n N N n X X E t t -+=+≈-- （1） （1）中第一个因子nN nN -+，随着阶数的增加而增加；第二个因子2ˆσ随着阶数的增加而减少。

因此它实质上就是一个最佳准则函数。

该最佳准则函数还可写成：)()1)(1()(101∑=---+=n i i i N n N n n FPE γϕγ2基本操作：按照从低阶到高阶的方式建立AR 模型，并计算出相应的FPE 的值，从中选择最小的FPE 对应的n 作为模型的阶，即)(min )(0n FPE n FPE n=。