第一章平稳时间序列模型及其特征第一节模型类型及其表示一、自回归模型（AR）由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系。

最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关。

用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回归模型：X t=φX t-1+εt（2.1.1）常记作AR(1)。

其中｛X t｝为零均值（即已中心化处理）平稳序列，φ为X t对X t－1的依赖程度，εt为随机扰动项序列（外部冲击）。

如果X t 与过去时期直到X t-p的取值相关，则需要使用包含X t－X t-p在内的p阶自回归模型来加以刻画。

P阶自回归模型的一1 ，……般形式为：X t=φ1 X t－1+φ2 X t－2+…+φp X t－p+εt（2.1.2）为了简便运算和行文方便，我们引入滞后算子来简记模型。

设B 为滞后算子，即BX t=X t-1, 则B(B k-1X t)=B k X t=X t-k B(C)=C(C为常数)。

利用这些记号，（2.1.2）式可化为：X t=φ1BX t+φ2B2X t+φ3B3X t+……+φp B p X t+εt从而有：（1-φ1B-φ2B2-……-φp B p）X t=εt记算子多项式φ（B）＝（1-φ1B-φ2B2-……-φp B P）,则模型可以表示成φ（B）X t=εt (2.1.3) 例如，二阶自回归模型X t=0.7X t-1+0.3X t-2+0.3X t-3+εt可写成（1-0.7B-0.3B2）X t=εt二、滑动平均模型（MA）有时，序列X t的记忆是关于过去外部冲击值的记忆，在这种情况下，X t可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即X t=εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q (2.1.4) 此模型常称为序列X t的滑动平均模型，记为MA(q)，其中q为滑动平均的阶数，θ1，θ2…θq为参滑动平均的权数。

相应的序列X t称为滑动平均序列。

使用滞后算子记号，（2.1.4）可写成X t=（1-θ1B-θ2B2-……- θq B q）q t=θ(B)εt (2.1.5) 三、自回归滑动平均模型如果序列｛X t｝的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还与其以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系，则在用模型刻画这种动态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部冲击，这种模型叫做自回归滑动平均模型，其一般结构为：X t=φ1X t-1+φ2X t-2+……+φp X t-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q(2.1.6) 简记为ARMA(p, q)。

利用滞后算子，此模型可写为φ（B）X t=θ(B)εt（2.1.7）第二节 线性时间序列模型的平稳性、可逆性和传递性首先介绍两个概念。

① 序列的传递形式：设｛Y t ｝为随机序列，｛εt ｝为白噪声，若｛Y t ｝可表示为：Y t =εt +G 1εt-1+G 2εt-2+……+G k εt-k+……=G(B) εt且∞<∑∞1k G ，则称｛Y t ｝具有传递形式，此时｛Y t ｝是平稳的。

系数｛G k ｝称为格林函数。

它描述了系统对过去冲击的动态记忆性强度。

② 序列的逆转形式：若｛Y t ｝可表示为：εt = Y t -π1 Y t-1-π2 Y t-2-……-πk Y t-k -……=π(B) Y t 且∞<∑∞1k π，则称｛Y t ｝具有逆转形式（或可逆形式）。

一、 MA 模型1. MA 模型本身就是传递形式。

2. MA(q)总是平稳的（由上一章的例），MA （∞）在系数级数绝对收敛的条件下平稳。

3. MA(q)模型的可逆性条件。

先以MA （1）(Y t =εt -θ1εt-1)为例进行分析。

MA(1)的可逆性条件为：11<θ。

如果引入滞后算子表示MA(1)，则Y t =（1-θ1B ）εt ，可逆条件11<θ等价于θ(B)=1-θ1B=0的根全在单位圆外。

对于一般的MA(q)模型，利用滞后算子表示有： Y t =（1-θ1B-θ2B 2-……- θq B q ）εt = θ(B)εt其可逆的充要条件是：θ(B) =0的根全在单位圆外（证明见Box-Jenkins ，P79）。

在可逆的情况下，服从MA(q)模型的序列可以表示成无穷阶的AR 模型：θ-1(B)Y t =εtMA(q)的可逆域：使θ(B) =0的根全在单位圆之外的系数向量（θ1，θ2，……，θq ）所形成的集合。

例：求MA(2)的可逆域。

解：由2211----=t t t tY εθεθε，其特征方程为：01)(221=--=B B B θθθ该方程的两个根为：22211124θθθθλ+--=22211224θθθθλ++-=由二次方程根与系数的关系，有2121221,1θθλλθλλ-=+-=当MA （2）平稳时，根的模21λλ与都必须大于1，因此必有：11212<=λλθ由根与系数的关系，可以推出如下式子：)11)(11(12112λλθθ---=+)11)(11(12112λλθθ++-=-由于21θθ、是实数，21λλ与必同为实数或共轭复数。

又因为1>iλ，因此011>iλ故=±12θθ1)11)(11(121<-λλ反之，如果12<θ，且112<±θθ。

那么从11212<=λλθ可以推出至少有一个1>iλ，例如，假设11>λ，则根据1)11)(11(121<-λλ可推出0)11)(11(21>λλ，由0111>λ可以推出0112>λ，从而12>λ。

因此，01)(221=--=B B B θθθ的根在单位圆之外。

（平稳域为一三角形）。

二、 AR 模型1. AR(P)模型本身就是一种逆转形式。

2. 平稳性。

先以AR(1)( Y t =ϕ1Y t-1+εt ),进行分析。

AR(1)平稳的条件为11<ϕ，它等价于ϕ(B)=1-ϕ1B=0的根在单位圆外。

3、在平稳的情况下，AR(1)有传递形式： （1-ϕ1B ）Y t =εt j t j jt tBY -∞=∑=-=εϕεϕ01111一般地，对于AR(P)模型：ϕ(B) Y t =εt ，序列｛Y t ｝平稳的充要条件是：ϕ(B)=0的根全在单位圆外。

此时，Y t 有传递形式：Y t =ϕ-1(B) εtAR(P)的平稳域：使ϕ(B)=0的根全在单位圆外的AR 系数向量（ϕ1，ϕ2，……，ϕp ，）的全体形成的集合。

练习：求AR(1)与AR(2)的平稳域。

三、ARMA （p,q ）模型 1、平稳性与传递形式首先考察ARMA(1，1)的平稳性: Y t –φ1Y t-1=εt –θ1εt-1Y t 平稳 ︱φ1︱＜1 （与AR （1）的平稳域相同） 此结论表明，ARMA （1,1）序列的平稳性仅与自回归系数有关，而与滑动平均系数无关。

而且平稳条件与AR （1）的平稳条件相同。

在平稳的条件下，Y t 有上述形式的传递形式。

一般地，服从ARMA （p,q ）模型的序列Y t 平稳的充要条件是：φ（B ）=0的根全在单位圆外。

在平稳的条件下，Y t 有传递形式 Y t =φ-1（B ）θ（B ）εt2、可逆性对于ARMA（1,1），假定可逆形式为εt=π（B）Y t=（1–π1B–π2B2–…–πk B k–…）Y t 代入ARMA（1,1）的滞后算子表示形式，采用类似前面的方法，比较同次冥系数可得εt= Y t–（φ1–θ1）Y t-1–θ1（φ1–θ1）Y t-2–…–θ1 k-1（φ1–θ1）Y t-k –…根据前面的定义（可逆性定义），应有︱φ1︱＜1。

因此，ARMA（1,1）可逆的条件是︱φ1︱＜1，它仅与滑动系数有关，而与自回归系数无关。

而且可逆条件与MA（1）的可逆条件相同。

一般地，服从ARMA（p,q）模型的序列Y t，其具有可逆性的条件是：θ（B）=0的根全在单位圆外。

在可逆的条件下，Y t的逆转形式为εt=θ-1（B）φ（B）Y t3、传递性与可逆性的重要意义第三节 线性时间序列模型的自相关函数与偏自相关函数 一、 自相关函数 1、MA （q ）模型的自相关函数 设｛Y t ｝服从: Y t =θ（B ）εt =εt –θ1εt-1–…–θq εt-q = –∑=qj 0θj εt-j , θ0= –1则｛Y t ｝的s 阶自协方差函数为： γs =∑=qj 0θj θs+j σ2= σ2(θ0θs +θ1θs+1+…+θq-s θq )(s ≤q) （θ0= -1 ）0 (s>q) 由上式，有γ0=σ2（1+θ12+…+θq2）故｛Y t ｝的自相关函数（ACF ）为： ρs =γs ／γ0=qs q s s q q s q s s >≤≤=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++--+10,,,01122111θθθθθθθ上式表明，MA （q ）模型的记忆仅有q 个时段，Y t 的自协方差函数或自相关函数（ACF ）q 步截尾。

这是MA （q ）模型的典型特征。

MA （q ）的典型特征：ρs 在q 步截尾。

2、 AR （p ）模型的自相关函数首先考察AR （1） (Y t =φ1Y t-1+εt )的自相关函数的特征。

Y t 的自协方差函数为：γs =Cov(Y t , Y t+s ) =φ1γs-1从而γs=φ1γs-1=φ12υs-2=…=φ1sγ0自相关函数（ACF）为：ρs=γs／γ0=φ1s当︱φ1︱＜1，ρs—>0,即自相关函数ρs随s的增大而衰减至零。

这种现象称为拖尾性。

对于一般的AR（p），序列的自相关函数的特征分析如下：设Y t=φ1Y t-1+φ2Y t-2+…+φp Y t-p+εt=φ(B) Y t+εt则自协方差函数：γs=φ1γs-1+φ2γs-2+…+φpγs-p这是一个关于｛｝的线性差分方程。

s上式两边同除γ0，得关于自相关函数（ACF）的线性差分方程。

ρs=φ1ρs-1+φ2ρs-2+…+φpρs-p在AR（p）平稳的条件下，φ（B）=0有p个在单位圆外的根а1、а2，…，аp。

根据线性差分方程解的有关理论，自相关函数（ACF）服从的线性差分方程φ(B)ρs=0的通解为：ρs=c1а1-s+ c2а2-s +…+ c pаp-s由于︱аj︱＞1，因此ρs将按指数衰减（实根情形）或正弦振荡衰减（复根情形）。

这种特性称为AR（p）的拖尾性。

AR（p）的典型特征是：ρs拖尾（衰减）3、ARMA（p,q）的自相关函数设ARMA（p,q）的形式为：Y t=φ1Y t-1+φ2Y t-2+…+φp Y t-p+εt–θ1εt-1–…–θqεt-q则Y t的s阶自协方差函数为：γs=φ1γs-1+φ2γs-2+…+φpγs-p+E(Y tεt+S)–θ1E(Y tεt+S-1) –…–θE(Y tεt+S-q)q①当0≤s≤q时，εt+S，εt+S-1，…，εt+S-q中有一部分位于t时刻以前（t+ s-i≤t s-i≤0），Y t与这一部分外部冲击有关，从而γs除了受自回归系数的影响外，还受一部分滑动平均系数的影响。