§13.2 非平稳时间序列与单位根过程
定义：如果一个时间序列的均值或方差随时间而 变化，那么，这个时间序列数据就是非平稳的时 间序列数据；如果一个序列是非平稳的序列，常 常称这一序列具有非平稳性。 如果时间序列 X t不满足如下平稳性定义中的一条 或几条，则 X t 是非平稳的序列。
平稳性定义 X （1） t 的均值不随时间变化，
(13.3.8)
可以看出， Yt含有时间趋势，因此 Yt的均值随时间而 变化， Yt是非平稳的。要使 Yt 变成平稳，需要对其 进行除趋势处理。也就是说，Yt 是趋势平稳过程。
二、趋势平稳的检验方法
实际研究中一个简单的区分趋势平稳和差分平稳的 方法，就是从数据中去除其所含有的确定性部分， 然后检验其剩余部分是单位根过程还是平稳过程。 如果剩余部分是单位根过程，则说明该数据本身是 差分平稳，否则该数据就是趋势平稳过程。 例如，对如下模型做回归：
Yt 0 Yt 1 t
(13.3.4)
这是一个带漂移的随机游走过程，是非平稳的单位 根过程，将其写成差分的形式：
Yt ( Yt Yt 1 ) 0 t
0
(13.3.5)
这意味着时间序列的变化( Y t )除了受 的影响外， 还受误差项 t 的影响，并且 Y t 将把以前时期的 t 值 累积起来，随机误差项对 Y t 的这种累积效应被称为 随机趋势。 带漂移的单位根过程也是差分平稳的。
k E [( X t )( X t k )]
所谓时间序列的随机游走（random walk）即指下一期 的值等于当期的值加上随机误差项。我们把随机游走划 分为带漂移的随机游走和不带漂移的随机游走。 非平稳性和随机游走的关系 ： 假设 Y t 由一阶自回归过程所生成：

i 1
t
i
) Y0
(13.2.4) (13.2.5)
var (Yt ) t
2
方程(13.2.2)中没有截距项(这里称为漂移项) 和时间趋势项，若在方程中分别加入漂移项 和时间趋势项，可得到另外两种随机游走方 程：
Yt Yt 1 t Yt t Yt 1 t
Y t Y t 1 i Y t i u t
i 1 p
Y t 0 Y t 1 i Y t i u t
i 1 p
(13.4.8)
Y t 0 1t Y t 1 i Y t i u t
E(Xt)
（2）X t 的方差不随时间变化，
va r ( X t ) E ( X t )
2 2
（3）任何两期的 X t 与 X t k 之间的协方差仅依赖于这 两期间隔的距离或滞后长度（ k），而不依赖于其他 变量（对所有的 k），即 X t与 X t k 的协方差表述为
回忆我们曾讨论方程(13.2.1)中的 值，它帮 助我们确定Y是平稳还是非平稳：
Yt Yt 1 t
(13.4.1)
Y 我们已在13.2节中定义, 如果 <1时， t 是平 Y 稳的；当 >1时，t 趋于以更快的速度爆炸性 增长，此时 Y t 称为发散过程；但当 =1，t 是 Y 非平稳的且被称为单位根过程。 因此，迪基－富勒（DF）单位根检验的原理： 估计方程（13.4.1），并确定是否有 <1, 从 而判定 Y t 是否是平稳的,
Yt ( Yt Yt 1 ) t
(13.3.3)
由于随机误差项( t)是平稳的，因此， Y t 是平稳的。 换言之，一个不带漂移的随机游走是一个差分平稳 过程。
(2)在模型(13.3.1)中，若 0 0 , 1 0 , 2 1, 则 可以得到：
0 1
0 1
t
(4)在模型(13.3.1)中，若 0 0 , 1 0 , 2 1, 则 可以得到：
Yt 0 1t Yt 1 t
(13.3.7)
这是一个带漂移和时间趋势的随机游走，将模型 (13.3.7)转化成差分的形式：
Yt 0 1 t t
第十三章
非平稳时间序列模型
13.1 认识非平稳的数据特征 13.2 非平稳时间序列与单位根过程 13.3. 趋势平稳和差分平稳过程 13.4 单位根检验 13.5 ARIMA模型 13.6 谬误回归 13.7 协整与误差校正模型 13.8 我国商业银行利率的协整分析
前言
在前面的章节中，所阐述的有关时间序列数据模型 的内容都假定数据是平稳的，那么，实际经济中的 数据有没有可能是非平稳的？如何检验时间序列数 据的非平稳性？ 特别是，如果我们面对的是非平稳的数据，原有的 基于平稳数据而建立的分析方法是否仍然适用？如 果不适用，我们就应该针对非平稳数据的特征，提 出新的分析方法。本章我们将系统阐述非平稳性的 概念、估计与检验方法。
Yt 0 1t 2 Yt 1 t
(13.3.1)
(1)在模型(13.3.1)中，若 0 0 , 1 0 , 2 1, 则 可以得到：
Yt Yt 1 t
(13.3.2)
模型(13.3.2)是一个不带漂移和时间趋势项的随机游 走，是非平稳的单位根过程，对其取差分的形式， 得到：
首先，在方程（13.4.1）两边同时减去Y t 1 ， 得到：
Yt Yt 1 Yt 1 Yt 1 t ( 1)Yt 1 t
t t t 1
(13.4.2)
定义 Y Y Y ，我们就得到迪基－富勒 （DF）检验最简单的表达式：
i 1
(13.4.9)
上述检任然是都是基于 的估计。
三、ADF检验的实例
（一）我们选择了1978～2007年江西省的商品零售价格 指数( P )和1989～2007年江西省净出口总额( EX )数 据，数据图形如图13.4.1和13.4.2。
图13.4.1：商品零售价格指数
图13.4.2：净出口总额
Yt Yt 1 v t
(13.4.3)
这里 1 ，因此，检验 Y t 是否为单位根过 程就转而检验原假设 =0。 Y 若 =0，则 =1， t 为一个单位根过程；若 Y <0，则 <1，t 是平稳的。于是我们构造原 假设 H 0 : =0，备择假设 H 1 : <0。
二、扩展的迪基－富勒(ADF)检验
考虑误差项存在序列相关，对迪基－富勒检验方程的设定形 式进行相应修正：将 Y t若干阶差分的滞后项作为迪基－富 勒检验方程中的解释变量，这种情形的DF检验被称为增广的 迪基－富勒(ADF)检验。对应三种不同形式的DF检验，ADF检 p 验为： (13.4.7)
(13.2.6)
(13.2.7)
方程(13.2.6)称为带漂移的单位根过程，方程 (13.2.7)称为带漂移和时间趋势的单位根过程。
认识数据特征：平稳数据和几种单位跟数据
图13.2.1： Yt 0.6 Yt 1 t
图13.2.2： t Yt 1 t Y
Y 图13.2.3： t 1 Yt 1 t
与三种随机游走时间序列相对应的三种形式的 DF检验形式：
Yt Yt 1 u t
(13.4.4) (13.4.5) (13.4.6)
Yt 0 Yt 1 u t
Yt 0 1 t Yt 1 u t
不论我们采用哪种形式的迪基－富勒检验，判 断法则都是基于 的估计。 注意：检验原假设 =0的 检验随DF检验形式 的不同而不同，所对应统计量的临界值也不相 同，认识这点非常重要。
Yt 0 1t t
t t 0 1
(13.3.9) ˆ t ，再检验 ˆ 的平稳性， 基于检验结果判断 Y 是否趋势平稳。
t
§13.4 单位根检验
一、迪基－富勒(DF)检验
数据的非平稳性可能归因于一个确定性时间趋 势，也可能是源自于数据生成过程中的随机游 走，也许两者兼而有之，区分非平稳数据的这 两种特征非常重要。 Nelson,Plosser(1982)等认为很多经济时间序列 都是由单位根而不是由确定性时间趋势来更好 地近似描述。因此，近期广受欢迎的一种非平 稳性检验就是所谓的单位根检验。
如何检验模型(13.4.3)的原假设是否成立？
在原假设 H 0下，估计的Y t 1的回归系数的t统计值即 使在大样本下也不服从t分布，因此，使用通常的t 检验无法检验原假设是否成立。 迪基－富勒的解决办法：在原假设 <0下，使用模 型(13.4.3)中系数 的通常t型统计量，但极限分布 不同于t分布，将这时的t统计量称之为 统计量。 迪基－富勒使用蒙特卡罗仿真实验计算了 统计量 极限分布的临界值，麦金农(MacKinnon)计算了更 为全面的极限分布临界值表，常用的计量软件都 带有。
Y 图13.2.4： t 1 0.3 t Yt 1 t
§13.3. 趋势平稳和差分平稳过程
一、趋势平稳和差分平稳的数据生成过程
图13.1.1中我国的名义GDP表现出很强的趋势，这 种趋势是随机性的还是确定性的呢？还是两者兼而 有之呢？为清楚理解这一问题的含义，考虑如下模 型：
针对商品零售价格指数没有明显确定趋势的数据特征，设定ADF 检验模型为： p p p u (13.4.10)
q t t 1 i ti t i 1
使用Eviews5对 P 进行ADF检验，其中滞后期q是根据最小AIC准则 确定为0，检验方程估计得到： ˆ Pt 0 .2 4 Pt 1 u t t = (-1.946) Eviews5检验结果输出表为：