(1) 系统具有极强的一期记忆性，即惯性。也
就是说系统在相邻时刻的响应，除随机扰动外完全
一致；
(2)
t
1时刻系统的一步预测为
Xˆ
(1) t 1
X
；
t 1
(3) 系统的行为是一系列独立随机变量的和，
即 Xt at j 。 j0
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第二章 平稳时间序列模型
2. 一般自回归模型
at
~
NID(0,
2 a
)；
(3) at与 Xt j ( j 2,3,L )独立。
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第二章 平稳时间序列模型
1.1.3 相关序列的独立化过程
由于许多经典的统计方法是以资料独立为基础
的，所以需要对相关序列 X t 进行独立化。将(2.1.1) 改写成
at
Xt
1
X
t
。
1
上式说明：AR(1)模型是一个使相关数据转化为独立
数据的变换器。事实上，由于 AR(1)模型仅有一阶
动态性，所以只要把
X
t
中依赖于
X
t
的部分消除以
1
后，剩下的部分at
Xt
1
X
t
自然就是独立的了。
1
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第二章 平稳时间序列模型
1.2 AR(1)模型的特例——随机游动 X t X t1 at ，或 X t : X t X t1 at 。 随机游动的特性：
AR(n)模型通过把 X t 中依赖于 X t1, X t2,L , X tn 的部 分消除之后，使得具有 n 阶动态性的序列 X t 转化为独立 的白噪声序列at 。因此拟合 AR(n)模型的过程也就是使 相关序列独立化的过程。
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第二章 平稳时间序列模型
3. 移动平均模型(Moving Average Model)
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第二章 平稳时间序列模型
4.1 ARMA(2,1)模型
X t 1X t1 2 X t2 1at1 at
X t 1X t1 2 X t2 at 1at1
基本假设： X t 除了对 X t1,
X
t
2
和
at
存在依存关系之外，
1
在 X t1和 X t2 已知的条件下对其他的 Xt j ( j 3,4,L ) 和
模型可以等价地写成
at X t 1X t1 2 X t2。
即通过把
X
t
中依赖于
X
t
和
1
X
t
2
的部分消除之后，使得
具有二阶动态性的序列转化为独立的序列。
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第二章 平稳时间序列模型
2.2 AR(n)模型
X t 1X t1 2 X t2 L n X tn at X t 1X t1 2 X t2 L n X tn at at X t 1X t1 2 X t2 L n X tn
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3.1 一阶移动平均模型 MA(1)
基本假设：
X t at 1at1
(2.3.1)
(1) 系统在t 时刻的响应 X t 仅与其前一时刻进入系
统的扰动
at
存在着一定的依存关系；
1
(2) at为白噪声。
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第二章 平稳时间序列模型
AR 系统的特征：系统在t时刻的响应 X t 仅与其以前 时刻的响应 X t1, X t2, L , X tn有关，而与其以前时刻进入 系统的扰动无关。
MA 系统的特征：X t 与其以前时刻的响应 X t1, X t2, L 无关，而与其以前时刻进入系统的扰动at1, at2, L 存在着 一定的相关关系。
第二章 平稳时间序列模型
一个关于产科医院的例子 设at是第 t 天新住院的病员人数，假设at是白噪声序
列，即某一天住院人数与第二天住院人数无关。再假设
典型的情形是：10％的病人住院 1 天，50％的病人住院
2 天，30％的病人住院 3 天，10％的病人住院 4 天，那
么第四天住院的病人数 X t 将由下式给出
ARMA 系统的特征：系统在t时刻的响应 X t 不仅与其 以前时刻的响应有关，而且与其以前时刻进入系统的扰 动存在着一定的依存关系。
对于 ARMA 系统来说，要使响应 X t 转化为独立序列 at，不仅要消除 X t 依赖于t时刻以前的自身部分，还必须 消除 X t 依赖于t时刻以前进入系统的扰动部分。
第二章 平稳时间序列模型
一阶自回归模型(Auto Regressive model) (2.1.1)
记作 AR(1)，其中 X t 为零均值平稳序列，1为 X t 对
X
t
的依赖程度，
1
at
为随机扰动。
1.1.2 一阶自回归模型的基本假设
(1)
X
t
对
X
t
有直线相关关系；
1
(2) at为正态独立同分布序列，记作
at j ( j 2,3,L ) 不存在相关关系。此时， at 一定独立于
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第二章 平稳时间序列模型
AR(2)模型的假设与结构
基本假设：(1)
X
t
仅与
X
t
和
1
X
t
2
有关，与
Xt j ( j 3,4,L )无关。
(2) at是一个白噪声序列。
结构：AR(2)模型由三部分构成，依赖于
X
t
的部分，
1
依赖于 Xt2的部分，独立于前两部分的白噪声。AR(2)
2.1 AR(2)模型
对于自回归系统来说，当
X
t
不仅与
X
t
有关，
1
而且与 Xt2有关时，就不符合 AR(1)模型的基本假
设。若 X t 与 Xt j ( j 3,4,L )无关，则系统模型是
AR(2)：
X t 1X t1 2 X t2 at X t 1X t1 2 X t2 at
(2.2.3a) (2.2.3)
Xt
at
0.9at1
0.4at2
0.1at
。
3
由于上式的各项是随机变化的，故 Xt ~ MA(3)。因此，
我们可以预测一天、两天、三天后的住院人数。四天以
后，各天住院人数的预测值均为序列的均值。
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第二章 平稳时间序列模型
4. 自回归移动平均模型(Auto Regressive Moving Average Model)
3.2 一般移动平均模型 MA(m)
X t at 1at1 2at2 L matm
基本假设：
(2.3.3)
(1) X t 仅 与 at1, at2, L , atm 有 关 ， 而 与 at j ( j m 1m, L 2无, 关；)
(2研室