第7章 静电场中的导体和电介质7.1 要求1、了解导体静电平衡条件和电介质的极化，了解电容器；2、掌握计算电容器容量的方法；3、能熟练应用电介质中的高斯定理以及安培环流定理。

7.2 内容提要1、静电感应现象当一个不带电的导体放在电场强度0E 的静电场中，在最初短暂的时间内（约s 1410-数量级）导体内会有电场存在，驱使电子作定向运动，必然引起导体内部正、负电荷的重新分布，最后达到静电平衡。

在导体的两端出现等量、异号的电荷，这种现象称为静电感应现象。

2、导体静电平衡状态导体静电平衡时，其内部场强处处为零，导体内部和表面都没有电荷的定向移动，导体所处的这种状态称为导体静电平衡状态。

3、导体静电平衡条件导体内任一点的电场强度都等于零。

在带电导体上，电荷只分布在导体的表面上，导体内部处处都没有未被抵消的净电荷。

推论一：导体是等势体，其表面是等势面0,=∙=-=⎰bab a b a d U U U U ；推论二：导体表面的场强都垂直导体表面（力线正交等势面）。

4、导体的面电荷密度与场强的关系导体表面附近的场强在数值上等于该处面电荷σ的0/1ε，方向为导体表面的法线方向，即n E 0εσ=。

导体表面各处的电荷分布与其曲率有关，凸出而尖端的地方曲率较大，电荷面密度较大；平坦的地方曲率较小，电荷面密度较小，凹陷的地方曲率为负，电荷面密度更小。

在导体尖端的附近电场特别强，会发生尖端放电。

5、电容（1）、孤立导体的电容附近没有其他导体和带电体的孤立导体，它所带的电量Q 与其电势U 成正比，即 UQ C =，式中比例系数C 称为孤立导体的电容，它与导体的形状和大小有关，而与Q 和U 无关。

电容反映了导体储存电荷和电能的能力，其单位是F （法拉），在实际中常用F μ和pF 。

（2）、平板电容器的电容dS C S Q Ed U E 00,,,εσεσ==== （3）、圆柱形电容器的电容120ln2R R Q U πε=，U Q C =，,C=120/ln 2R R πε （4）、孤立导体球电容器的电容 R C r επε04=，式中R 为球面半径。

（5）、球形电容器的电容设内、外球半径分别为R 1和R 2，其间介质的相对电容率为r ε，则其电容为 122104R R R R C r -=επε 6、电介质中的高斯定理通过任一封闭曲面（高斯面）的电位移通量等于这闭合曲面所包围的电荷的代数和 数学表达式 q d s=∙⎰。

7、电位移矢量+=0ε， 在各向同性、线性介质中E E D r εεε==0 式中P 为电极化强度，电位移单位为2/m C 。

8、静电场的能量密度22E V W w ε== 7.3 解题思路1、在分析有导体存在时的静电问题时，要根据（1）、电荷守恒原理，导体上电荷重新分布时，其总电量不变；（2）、高斯定理；（3）、导体内电场为零；（4）、相互连接的导体静电平衡时的电势相等；2、分析电容器的问题时，要注意Q 是两极板表面上各自所带的电量的大小。

两极板间电压和电场强度的关系要具体分析，平板电容器、圆柱形电容器和球形电容器的U-E 关系是不相同的；3、有电介质存在的情况下，求电场E 分布时，一般应先根据自由电荷的分布求出D 的分布，然后利用E D r εε0=，求出E 的分布。

7.4 思考题解答在一个原来不带电的导体球的中心r 处放置一电量为q 的点电荷，此导体球的电势多大？答：由于放置一电量为q 的点电荷，导体球的表面上感应出大小相等、符号相反的电量为q '和q '-。

导体球是等势体，球心的电势，亦即球的电势：rq R q R q r q U 00004444πεπεπεπε='-+'+= 此式说明导体球是电势等于电荷q 在球心产生的电势。

7.5 习题精解7.1、如图7.1所示，两个同心的均匀带电球面，内球面带电荷Q 1，外球面带电荷Q 2，则在两球面之间、距离球心为r处的P 点的场强大小E 为： (A) 2014r Q επ． (B) 20214r Q Q επ+． (C) 2024r Q επ． (D) 20124rQ Q επ-． ［ ］ 图7.1 解：静电平衡时，外球壳的内表面分布电量为- Q 1外表面为Q 1+ Q 2 距离球心为r 处的P 点的场强大小为：2014rQ E πε=，选A 。

7.2、图7.2中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势（位）面，由图可看出： (A) E A ＞E B ＞E C ，U A ＞U B ＞U C ．(B) E A ＜E B ＜E C ，U A ＜U B ＜U C ． (C) E A ＞E B ＞E C ，U A ＜U B ＜U C ．(D) E A ＜E B ＜E C ，U A ＞U B ＞U C ． [ ] 图7.2解：电力线越密的地方，E 越大；负电荷的场强则相反，故B A E E ；电力线指向电势降低的方向，则B A U U ，(D) E A ＜E B ＜E C ，U A ＞U B ＞U C ．为正确答案。

7.3、有三个直径相同的金属小球．小球1和2带等量同号电荷，两者的距离远大于小球直径，相互作用力为F ．小球3不带电，装有绝缘手柄．用小球3先和小球1碰一下，接着又和小球2碰一下，然后移去．则此时小球1和2之间的相互作用力为(A) F / 4．(B) 3F / 8．(C) F / 2．(D) 3F / 4． ［ ］解：小球1和2带等量同号电荷，两者的距离远大于小球直径，可视为点电荷，相互作用力为F 2024r q πε=；当小球3先和小球1碰一下时，小球3先和小球1的电量各为q/2，再碰一下球3时，则球3的电量为3q/4。

小球1和2之间的相互作用力为F rq q F 834)4/3()2/(20=⨯='πε所以(B) 3F / 8．为正确答案。

7.4、电位移矢量的时间变化率t D d /d 的单位是（A ）库仑／米2 （B ）库仑／秒（C ）安培／米2 （D ）安培•米2 ［ ］ 答：因为电位移矢量的时间变化率t D d /d 又称位移电流密度，单位是（C ）安培／米2，而库仑／米 2 是电位移矢量的单位；库仑／秒是电流的位（安培）；安培•米2是磁矩的单位.7.5、充了电的平行板电容器两极板(看作很大的平板)间的静电作用力F 与两极板间的电压U 的关系是：(A) F ∝U ； (B) F ∝1/U ；(C) F ∝U 1； (D) F ∝21U ； [ ] 解：平行板电容器Uq C =，Eq F =，Ed U = ， 2U d C UC d U F =⨯=， (D) F ∝21U，为正确答案。

7.6一平行板电容器，极板面积为S ，相距为d. 若B 板接地，且保持A 板的电势U A ＝U 0不变．如图，把一块面积相同的带有电荷为Q 的导体薄板C 平行地插入两板中间，则导体薄板C 的电势_____________。

解题思路 根据平行板电容器的定义和特性及已知条件，可知：导体薄板C 未插入两板中间之前，2/00U U C =，C 插入之后，C 的电势U C ＝10C C U U +，问题转化为求C 插 图7.3入之后在中点处的电势。

Ed U =，SQ E 00εεο==， SQd d S Q U C 00122εε=⨯=。

所以SQd U U C 0022ε+=7.7、如图7.4所示，两同心导体球壳，内球壳带电荷+q ，外球壳带电荷-2q ．静电平衡时，外球壳的电荷分布为：内表面___________ ； 外表面___________ ． 解题思路 根据静电平衡条件，外球壳的内表面的负电荷，受内球壳带电荷+q 的吸引为-q ，所以外球壳的外表面的电荷亦为-q ，外球壳的总电荷仍是-2q 。

图7.47.8、一空气平行板电容器，电容为C ，两极板间距离为d ．充电后，两极板间相互作用力为F ．则两极板间的电势差为：___，极板上的电荷为__________。

U 0U CA C B解：因为 EQ F =，Ed U =，UQ C =， 所以22U dC UC d U F =⨯=， C Fd U =， FdC CU Q ==。

7.9、如图7.5所示两个平行共轴放置的均匀带电圆环，它们的半径均为R ，电荷线密度分别是＋λ和－λ，相距为l ．试求以两环的对称中心O 为坐标原点垂直于环面的x 轴上任一点的电势(以无穷远处为电势零点)． 解：设轴线上任意点P 的坐标为x ，两带电圆环在P 点产生的电势分别为： 图7.5 ()2202/2R l x R U +-=+ελ， ()2202/2R l x R U ++-=-ελ ； 由电势叠加原理，P 点的电势为U =U ++U -()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-=222202/12/12R l x R l x R ελ 7.10、一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为R 1 = 2 cm ，R 2 = 5 cm ，其间充满相对介电常量为εr 的各向同性、均匀电介质．电容器接在电压U = 32 V 的电源上，(如图7.6所示)，试求距离轴线R = 3.5 cm 处的A 点的电场强度和A点与外筒间的电势差。

解：设内外圆筒沿轴向单位长度上分别带有电荷+λ和-λ, 根据高斯定理可得两圆筒间任一点的电场强度为 r E r εελ02π=两圆筒电势差为1200ln 22d d 2121R R r r r E U r R R r R R εελεελπ=π==⎰⎰⋅ , 解得：120/ln 2R R U r εελπ=， 于是可求得Ａ点的电场强度为 A E )/l n (12R R R U == 998 V/m 方向沿径向向外 A 点与外筒间电势差：⎰⎰=='22d )/ln(d 12R R R R r r R R U r E U R R R R U 212ln )/ln(= = 12.5 V 。

图7.67.11、已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和∑q ＝0，则可肯定：(A) 高斯面上各点场强均为零．(B) 穿过高斯面上每一面元的电场强度通量均为零．（C ） 通过整个高斯面的电场强度通量为零．（D ） 以上说法都不对． [ ]答：由高斯定理010==∙=Φ∑⎰ii S e q S d E ε，虽然，∑q ＝0，说明面内净电荷为零。

但是，面上不一定E 就为零；只说明通过整个高斯面的电场强度通量为零，故选（C ）。

7.12、半径为R 的均匀带电球面，总电荷为Q ．设无穷远处电势为零，则该带电体所产生的电场的电势U ，随离球心的距离r 变化的分布曲线为［ ］ 答：均匀带电球面内E=0，故为等势体R Q U 04πε=，球外 r QU 04πε=，所以选(A).7.13、三个平行的“无限大”均匀带电平面，其电荷面密度都是＋σ，如图7.8所示，则A 、B 、C 、D 三个区域的电场强度分别为：E A ＝_________，E B ＝________，E C ＝________， E D =_______ (设方向向右为正)．解：1、研究电荷分布：∵在静电平衡时，设由左到右为第一、第二和第三块平板。