第七章 静电场中的导体和电介质一、选择题1. （★★）一个不带电的空腔导体球壳，内半径为R 。

在腔内离球心的距离为a 处（a <R ）放一点电荷+q ，如图1所示。

用导线把球壳接地后，再把地线撤去。

选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为（A ）q 2πε0a ⁄ （B ）0（C ）−q 4πε0R ⁄ （D ）q 4πε0⁄∙(1a ⁄−1R ⁄)答案：D分析：由静电平衡的知识可知：①当空腔导体内放入点电荷+q 时，空腔导体的内表面会带上等量异号的电荷−q ，由电荷守恒可知不带电的空腔导体的外表面带有的+q 电荷；②当球壳接地后，球壳电势变为零，故球壳外表面电量变为零。

因此接地后去掉地线，该体系的电荷分布如图所示，球壳内表面带有−q 的电量，外表面不带电。

由电势叠加原理可得球心O 处的电势为V O =q 4πε0a +∫dq 4πε0R 内=q 4πε0a +14πε0R ∫dq 内=q 4πε0(1a −1R ) 故选项D 正确。

注：式中∫dq 内=−q 为内表面的电量之和。

【补充】带电量为Q 半径为R 的球面（电荷分布无论均匀或不均匀）在球心处产生的电势为V =Q 4πε0R ⁄。

2. 三块互相平行的导体板之间的距离d 1和d 2比板间面积线度小得多，如果d 2=2d 1，外面二板用导线连接，中间板上带电。

设左右两面上电荷面密度分别为σ1和σ2，如图2所示，则σ1σ2⁄为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4答案：B分析：【知识点】达到静电平衡的导体：①内部电场强度为E =0，表面附近电场强度垂直于导体表面，大小为E =σε0⁄，其中σ为导体表面电荷面密度；②导体是一个等势体，导体表面为等势面；③导体内部处处无净电荷，即电荷只分布在导体的表面上，电荷面密度与导体表面的曲率有关，曲率越大（越尖）电荷面密度越大。

由静电平衡的知识点①可知，中间导体板左侧电场强度为σ1ε0⁄，右侧为σ2ε0⁄；由静电平衡的知识点②可知，用导线连接起来的左右两个导体板等势，即中间导体板与左右两导体板的电势差U 相同，由U =Ed 可得σ1ε0⁄∙d 1=σ2ε0⁄∙d 2，故σ1σ2⁄=d 2d 1⁄=2，故选项B 正确。

3. 一均匀带电球体如图3所示，总电荷为+Q ，其外部同心地罩一内、外半径分别为r 1、r 2的金属球壳。

设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r 的P 点处的电场强度和电势分别为（A ）Q 4πε0r 2⁄，0 （B ）0，Q 4πε0r 2⁄（C ）0，Q 4πε0r ⁄ （D ）0，0答案：B分析：由静电平衡可得球壳内表面带电量为−Q ，外表面带电量为+Q 。

由选择题2的知识点可知P 点电场强度为0；由《真空中的静电场》选择题5的知识点以及电势叠加原理可得V P =Q 4πε0r +−Q 4πε0r +Q 4πε0r 2=Q 4πε0r 2即选项B 正确。

4. 带电导体达到静电平衡时，其正确结论是（A ）导体表面上曲率半径小处电荷密度较小（B ）表面曲率较小处电势较高（C ）导体内部任一点电势都为零 （D ）导体内任一点与其表面上任一点的电势差都等于零答案：D分析：由选择题2的知识点可知，导体表面曲率半径小（即曲率大）处电荷面密度大，故A 选项错误；导体是一个等势体，故B 选项错误、D 选项正确；导体电势的大小受到很多因素的影响，C 选项错误（反例：选择题3导体球壳的电势并不为零）。

5. 两个同心薄金属球壳，半径分别为R 1和R 2（R 2>R 1），若内球壳带上电荷Q ，则两者的电势分别为V 1=Q 4πε0R 1⁄和V 2=Q 4πε0R 2⁄（选无穷远处为电势零点）。

现用导线将两球壳相连接，则它们的电势为（A ）V 1 （B ）(V 1+V 2)2⁄ （C ）V 1+V 2 （D ）V 2答案：D分析：该题类似于选择题3，由两球壳的电势可知，外球壳内表面带电量−Q ，外表面带电量为+Q 。

因此用导线将两球壳相连接时，由静电平衡可知，电荷只能分布在导体的外表面，由电荷守恒可知外表面带电为+Q ；由球面电荷的电势公式（见《真空中的静电场》选择题5的知识点）可得该导体的电势为Q 4πε0R 2⁄，即V 2。

6. （☆）当平行板电容器充电后，去掉电源，在两极板间充满电介质，其正确的结果是（A ）极板上自由电荷减小 （B ）两极板间电势差变大 （C ）两极板间电场强度变小 （D ）两极板间电场强度不变答案：C分析：【知识点】电容器常用公式：①C =Q/U ，其中C 为电容，当电容器两极板距离变大时C 变小，当电容器两极板插入电介质时C 变大；Q 为电容器极板上所带的电量，当两极板之间无连接时，Q 保持不变；U 为电容器两极板的电压，当电容器两极板与电源保持连接时，两极板之间的电压保持不变。

②U =Ed ，其中E 为两极板间的电场强度，d 表示两极板的距离。

③如果两极板间为真空（无电介质），则两极板间的电场E =Q ε0S ⁄。

④电容器所储存的静电场能量为W =UQ/2。

因此，当平行板电容器充电后去掉电源（两极板无连接），由知识①可知，极板上的电量（自由电荷）Q 不变，A 选项错误；在两极板间插入介质后，电容器电容C变大，因此两极板间的电势差U=Q/C变小，B选项错误；由知识点②可知，d不变，U变小，故E变小，C选项正确、D选项错误。

7. （×）一个大平行板电容器水平放置，两极板间的一半空间充有各向同性均匀电介质，另一半为空气，如图4所示。

当两极板带上恒定的等量异号电荷时，其正确的结果是（A）极板左半边电荷面密度大（B）左半边电介质内电场强度大（C）极板右半边电荷面密度大（D）左半边电介质内电场强度小答案：A分析：由于导体是等势体，故左半边两极板间的电势差和右半边两极板间的电势差U相同，由公式U=Ed可知左、右两边的电场强度大小E相同，故B、D选项错误；由电位移公式D=εE=σ可知极板左半边的电荷面密度σ大（因为左半边电容率大于右半边），故A正确。

8. （☆）一个平行板电容器，充电后断开电源，使电容器两极板间距离变小，则两极板间的电势差U12、电场强度的大小E、电场能量W将发生（A）U12减小，E减小，W减小（B）U12增大，E增大，W增大（C）U12增大，E不变，W增大（D）U12减小，E不变，W减小答案：D分析：由选择题6的知识点①可知断开电源后两极板上的带电量Q不变，距离变小后电容C⁄减小，A、D选项错误；由选择题6的知识点③可知两极板间的变大，故电势差U12=Q C⁄减小，D选项正确。

电场强度E不变，故B选项错误；静电场能量W=QU1229. （☆）两空气电容器C1和C2串联起来接上电源充电。

充满电后将电源断开，再把一电介质板插入C1中，如图5所示，则（A）C1上电荷增加，C2上电荷减小（B）C1上电荷增加，C2上电荷增加（C）C1上电荷增加，C2上电荷增加（D）C1上电荷不变，C2上电荷不变答案：D分析：由选择题6的知识点①可知断开电源后，两电容器的两极板上的带电量Q不变。

故D选项正确。

10. C1和C2两空气电容器并联以后连接电源充电。

在电源保持连接的情况下，在C1中插入一电介质板，如图6所示，则（A）C1极板上电荷不变，C2极板上电荷减小（B）C1极板上电荷不变，C2极板上电荷增大（C）C1极板上电荷增大，C2极板上电荷不变（D ）C 1极板上电荷减小，C 2极板上电荷不变答案：C分析：由选择题6的知识点①可知电源始终连接的情况下，两并联电容器的两极板间的电压U 保持不变，电容器C 1插入电介质后，电容变大，故极板上电荷增加；电容器C 2电容保持不变，故极板上的电荷保持不变。

因此C 选项正确。

11. 有两只电容器，C 1=8 μF ，C 2=2 μF ，分别把它们充电到2000 V ，然后将它们反接（如图7所示），此时C1两极板间的电势差为（A ）600 V（B ）200 V（C ）0 V （D ）1200 V答案：D分析：由C =Q/U 可得两电容器极板上储存的电量分别为Q 1=C 1U 0、Q 2=C 2U 0；当两电容器反接时，由电荷守恒可得反接后极板上所带的总电量为Q =|Q 1−Q 2|=(C 1−C 2)U 0，设反接后两电容器极板间的电势差为U ，则C 1U +C 2U =(C 1−C 2)U 0→U =1200 V 。

即选项D 正确。

二、填空题1. （☆）如图8所示，两块很大的导体平板平行放置，面积都是S ，有一定厚度，带电荷分别为Q 1和Q 2。

如不计边缘效应，则A 、B 、C 、D 四个表面的电荷面密度分别为σA =_____、σB =_____、σC =_____、σD =_____。

答案： (Q 1+Q 2)2S ⁄；(Q 1−Q 2)2S ⁄；(Q 2−Q 1)2S ⁄；(Q 1+Q 2)2S ⁄分析：由静电平衡知识（参考选择题2）可知A 表面左侧的电场强度为E 1=σA ε0⁄；由无限大平面板的电场和电场叠加原理（参考《真空中的静电场》选择题1）可得A 表面左侧的电场强度为E 1=σA 2ε0⁄+σB 2ε0⁄+σC 2ε0⁄+σD 2ε0=(Q 1+Q 2)2ε0S ⁄⁄；联立可得σA ε0⁄=(Q 1+Q 2)2ε0S ⁄→σA =(Q 1+Q 2)2S ⁄。

由电荷守恒可得σB =(Q 1−Q A )/S ，代入可得σB =(Q 1−Q 2)2S ⁄。

由静电平衡可得σC =−σB =(Q 2−Q 1)2S ⁄，由电荷守恒可得σD =(Q 1+Q 2)2S ⁄。

2. 一金属球壳的内、外半径分别为R 1和R 2，带电荷为Q 。

在球心处有一电荷为q 的点电荷，则球壳外表面上的电荷面密度σ=_____。

答案：(q +Q )4πR 22⁄分析：参考选择题1可知金属球壳达到静电平衡时内表面带−q 电量，外表面带+q +Q 电量；参考选择题4知金属球壳外表面的电荷均匀的分布在外表面上（因为处处曲率相同），故表面上的电荷面密度为σ=(q +Q )4πR 22⁄。

3. 如果地球表面附近的电场强度为200 N/C 。

把地球看做半径为6.4×106 m 的导体球，则⁄N`m2/C2）地球表面的电荷Q=_____。

（14πε0=9×109答案：9.1×105C⁄)/ε0，即Q=4πε0R2E=9.1×105C。

分析：参考选择题2，可得E=(Q4πR24. 如图9所示，在静电场中有一立方形均匀导体，边长为a。

已知立方导体中心O处的电势为V0，则立方体顶点A处的电势为______。

答案：V0分析：参考选择题2，由导体是等势体可得A处电势与O处电势相等。