第七章 静电场中的导体和电介质
教学基本要求
1 .理解导体静电感应原理和静电平衡概念，掌握导体静电平衡条件，会计算同心导体球壳和平行导体组合存在时带电体上的电荷分布以及空间的静电场分布。
2.理解电容器和电容的概念。
3. 理解电介质极化概念和有介质时的高斯定理和环路定理，会计算某些有均匀介质存在时静电场的电位移和场强分布。
4.理解电场能量密度的概念，和计算一些简单的对称情况下电场储存的能量。
教学内容提要
1. 导体的静电平衡条件
导体的静电平衡就是指导体上的电荷与电场相互作用、相互制约达到平衡的问题。
导体达到静电平衡时必须满足：
（1） 导体内部的场强处处为零；
（2） 导体表面的场强处处与导体表面垂直。
2. 导体静电平衡时的电荷分布
（1） 电荷只分布在导体表面；
（2） 空腔导体， 当空腔内无带电体时，电荷只分布在导体的外表面。
当空腔内 有带电体q 时，空腔内表面感应电荷的电量为-q ，外表面感应电荷电量为q 。
（3）电荷在表面上的分布情况与表面形状以及周围有无其他带电体、导体和电介质均有关系，比较复杂。
对于孤立导体，表面曲率大处电荷面密度大，曲率小处电荷面密度小，曲率为负值时，电荷面密度最小。
3.静电平衡时导体上的电势分布 导体为等势体，其表面为等势面。
4.电容
描述导体或电容器容纳电荷能力的物理量。
导体所带电量与电势的比值称为孤立导体的电容，即 q c v
=
电容器两极板中任一极板所带电量与两极板间的电势差之比称为电容器的电容，即 q c v
=
∆ 电容只与电容器的几何形状及极板间的介质性质有关，与电容器是否带电及带电的多少无关。
5.电介质的极化
处于电场中的电介质，其表面会出现束缚电荷。
此时，介质中的电场为外场0E 与极化产生的附加电场'E 的矢量和，即 0'+E =E E u
无极分子的极化是由于外电场使无极分子的正负电荷中心产生相对位移，形成电偶极子，它们的电矩和外电场的方向相同，使得介质表面出现正负电荷。
有极分子的极化是由于外电场力矩使有极分子的电矩发生转动，其趋势是转向与外场一致的方向，宏观上在介质的界面出现正负束缚电荷。
6.介质中的高斯定理
穿过任一封闭曲面的D 通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和，即
i
s
d q
=
∑⎰⎰
D s
利用介质中的高斯定理可以简便地求解具有一定对称性的介质中的电场问题。
7.介质中的环路定理
介质中的场强沿任一闭合回路的积分等于零，即
l
d 0=⎰E l
该定理说明，有介质时的静电场仍然是保守场。
8.静电场的能量
单位体积的电场中所储存的能量称为电场能量密度。
重点和难点分析
1.关于静电平衡条件
把场强叠加原理应用到有导体存在的问题时，特别要注意，由于静电感应各导体单独存在时的电荷分布会发生变化，应根据变化后的电荷分布来计算各导体的电场并把它们叠加起来，而不是各导体单独存在时的电荷分布决定的电场的叠加。
2.导体接地问题
（1）所谓导体接地是将地球看作一个大导体球，导体接地表示导体与地球等势。
（2）只有孤立导体接地时，导体上的电荷全部流入地下而不带电。
对于非孤立导体，接地导体上的感应电荷一般不为零，导体上的电荷分布由静电平衡条件决定。
3.有电介质时的电容器问题
（1）电容器的两极板之间存在均匀电介质时，无论电介质是不是充满两极板之间的空间，电容器的电容值增大。
当充满时，r 0c c ε=，没充满时，必须先计算两极板的电势差，在
根据电容的定义12
q q
C V V V =
=
∆-计算。
（2）当电介质没充满两极板间的空间时，插入的电介质的形状不同，真空中与电介质中的
场强大小关系和电位移大小关系不同。
例题分析
例7-1 两块很大且靠得很近的平行导体板A 和B 的面积均为S ，且分别带有等量正电荷Q ， 求：（1）两导体板的电荷分布；
（2）如果B 板接地，此时两板的电荷分布。
解：（1）设两板的四个面的面点荷密度分别为1σ、2σ、3σ、4σ，根据电荷守恒定律有， 12S s Q σσ+
=
34S s Q σσ+=
根据静电平衡条件，A 板内的任一点的场强为零，即有：
12340000
02222σσσσ
εεεε---= 同理，对于B 板内的任一点有：
12340000
02222σσσσ
εεεε++-= 联立求解得：14Q
S
σσ==
230σσ==
（2）当B 板接地时，其电势为零，同时它由原先的带正电变化为带与A 板等量的负电，且A 、B 板的电荷都分布在内表面。
例7-2 如图所示，一平行板电容器两极板面积都是S ，相距为d ，分别维持电势A U =U ，
B U =0不变．现把一块带有电量q 的导体薄片平行地放在两极板正中间，片的面积也是S ，
片的厚度略去不计．求导体薄片的电势．
解: 依次设A ,C ,B 从上到下的6个表面的面电荷密度分别为1σ，2σ，3σ，4σ,5σ,6σ如图所示．由静电平衡条件，电荷守恒定律及维持U U AB =可得以下6个方程
⎪
⎪⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎪
⎪⎨⎧
++++==+=+-==+=+===+6
543215432
0654
30021
00
1σσσσσσσσσσεσσσσεσσd U
S q S q
d
U U C S S q B A 解得 S
q
261==σσ
S
q d U
2032-=
-=εσσ
S
q d
U
2054+
=
-=εσσ 所以CB 间电场 S
q
d U E 00422εεσ+
==
)2d (212d 02
S
q U E U U CB C ε+=== 注意：因为C 片带电，所以2U U C ≠
，若C 片不带电，显然2
U U C = 例7-3 在半径为1R 的金属球之外包有一层外半径为2R 的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为r ε，金属球带电Q ．试求： (1)电介质内、外的场强；
(2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势．
解: 利用有介质时的高斯定理∑⎰=⋅q S D S
d
(1)介质内)(21R r R <<场强
3
03π4,π4r r
Q E r r Q D r εε =
=内; 介质外)(2R r <场强
3
03π4,π4r
r
Q E r Qr D ε ==外 (2)介质外)(2R r >电势
r
Q
E U 0r
π4r d ε=
⋅=⎰∞ 外
介质内)(21R r R <<电势
2
020π4)11(π4R Q
R r q
r εεε+
-=
)1
1(π42
0R r Q r r -+=
εεε
r
d r d ⋅+⋅=⎰⎰
∞∞
r
r
E E U 外内
(3)金属球的电势
r d r d 2
21
⋅+⋅=⎰⎰∞R R R E E U 外内
⎰
⎰
∞
+=22
2
2
0π44πdr R R R
r r Qdr
r Q εεε
)1
1(π42
10R R Q r r -+=
εεε
例7-4 两个同轴的圆柱面，长度均为l ，半径分别为1R 和2R (2R ＞1R )，且l >>2R -1R ，两柱面之间充有介电常数ε的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q 和-Q 时，求： (1)在半径r 处(1R ＜r ＜2R ，厚度为dr ，长为l 的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量；
(2)电介质中的总电场能量； (3)圆柱形电容器的电容． 解: 取半径为r 的同轴圆柱面)(S
则 rlD S D S π2d )
(=⋅⎰
当)(21R r R <<时，
Q q =∑
∴ rl
Q
D π2=
(1)电场能量密度 2222
2π82l r Q D w εε==
薄壳中 rl
r
Q rl r l r Q w W εευπ4d d π2π8d d 22222===
(2)电介质中总电场能量
⎰
⎰===2
1
1
22
2ln π4π4d d R R V
R R l Q rl r Q W W εε (3)电容：∵ C
Q W 22
=
∴ )
/ln(π22122R R l
W Q C ε=
=。