一、图形的全等1.定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形.观察右面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？2.由全等图形类比得出：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

比如，在图中，△ABC与△DEF能够完全重合，它们是全等的。

其中顶点A，D重合，它们是对应顶点；AB边与DE边重合，它们是对应边；A∠与D∠重合，它们是对应角.△ABC与△DEF全等，我们把它记作“△ABC≌△DEF”.记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.全等三角形的对应边，对应角。

全等三角形的对应边上的中线，对应边上的高，对应角的角平分线；全等三角形的周长，面积。

几何语言：1．如图6，△ABC≌△AEC，∠B=75°,∠ACB=55°,求出△AEC各内角的度数。

解：2．如图7，△ABD≌△EBC，AB=3 cm，AC=8 cm，求DE的长。

解：3.判断：○1全等三角形的边相等，角相等，中线相等，角平分线相等.（○2全等三角形的周长相等.（）○3周长相等的两个三角形是全等三角形.（）○4全等三角形的面积相等.（）○5面积相等的两个三角形是全等三角形.（）4.填空：如图所示，已知△AOB≌△COD，∠C=∠A,AB=CD,则另外两组对应边为________________，另外两组对应角为________________。

A(图7)A(图6)AD CBFEADC BE ADCBFEA DC BE12例2.如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知AB ＝A ′B ′，∠B ＝∠B ′，BC ＝B ′C ′．这两个三角形全等吗例3. 在△ABC 和△A ′B ′C ′中（自己画图）(1)⎪⎩⎪⎨⎧''='∠=∠''=C B BC B B B A AB Θ (2) ⎪⎩⎪⎨⎧='∠=∠''=______A A B A AB Θ∴C B A ABC '''∆≅∆( SAS ) ∴C B A ABC '''∆≅∆( )(3) ⎪⎩⎪⎨⎧''=∠=∠''=C B BC C A AC ____Θ∴C B A ABC '''∆≅∆( ) 练习1：1．根据题目条件，判断下面的三角形是否全等？ （1） AC ＝DF ， ∠C ＝∠F ， BC ＝EF ； （2） BC ＝BD ， ∠ABC ＝∠ABD ．2． 如图2，△AOB 和△COD 全等吗？为什么？3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ， AD 平分∠BAC ，求证：△ABD ≌△ACD ．4. 如图3，已知AD ∥BC ，AD ＝CB ，证明：△ABC ≌△CDA.5.如图4，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2，证明：△ABD ≌ACE.6. 如图，已知AB=AC ，AE=AD ，那么图中哪两个三角形全等？并进行证明.7.已知： AD ∥BC ，AD ＝ CB(如图)．现有条件能证明△ADC ≌△CBA 吗？如果能请写出证明过程，若不能，那么还需添加怎样的条件才能证明？ 练习21.已知：如图，AC=AD ，∠CAB=∠DAB ，求证：△ACB ≌△ADB 2.已知：AD ∥BC ，AD=CB 求证：△ADC ≌△CBA3.已知：AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CF求证：△AFD ≌△CEB4.已知：EA=EC ，ED=EB ，求证：△AED ≌△CEB5.已知：AC=DB ，AE=DF ，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，求证：△EAB ≌△FDC6.已知：AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2求证：∠B=∠C三、三角形的判定定理：角边角定理定理：两个三角形的两组对应角相等且它们的夹边也相等，那么这两个三角形全等，简记为"角边角"，符号表示："ASA"AB C DE F 例1. 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？例2.如图，AD ∥BC ，BE ∥DF ，AE ＝CF ，试说明：△ADF ≌△CBE . 例3.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于与BE 交于F ，若BF ＝AC ，试说明：△ADC ≌△BDF . 例4.在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E .试说明：(1)△BDA ≌△AEC ； (2)DE ＝BD ＋CE . 练习： 1. 如图，已知AO =DO ，∠AOB 与∠DOC 是对顶角，还需补充条件_________=___________，就可根据“ASA ”说明△AOB ≌△DOC ；或者补充条件_______________=_______________，就可根据“SAS ”，说明△AOB ≌△D OC 2. 已知：点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，AB=AC ，∠B=∠C 。

求证： △ABE ≌△ACD 3.如图，∠1=∠2，∠3=∠4,求证：AC=AD4. 如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板ABCD ，将一块足够大的直角分别与CD 交于点F ，与CB 三角板的直角顶点落在A 点，两条直角边延长线交于点E ．则四边形AECF 的面积是多少？四、三角形的判定定理：角角边定理定理：两个三角形的两组对应角相等且其中一角的对边也相等，那么这两个三角形全等，简记为"角角边"，符号表示："AAS" 例1.如图：已知D 、E 分别在AB 、AC 上，AB =AC ，∠BDC =∠CEB ，求证：BE =CD ．例2.如图，在△AFD 和△BEC 中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，AE =CF ，∠B =∠D ，AD ∥BC .试证明AD =CB .例3.如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，AE EC =，CF AB ∥． 求证：AD CF =．例4. 如图，在△ABC 中，∠B=2∠C,AD 是△ABC 的角平分线，∠1=∠C,求证:△ABD ≌△AED . 练习1： 1.如图，AB=AC ，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E 。

求证：AD=AE 2．如图，AC 和BD 交于点E ，AB ∥CD ，BE=DE ，求证：AB=CD 3．已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE=CF 。

判断AD 是△ABC 的中线 还是角平分线？请说明理由4．如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：OB=OC5．如图，AE ⊥AB ，AD ⊥AC ，AB=AC ，∠B=∠C ，求证：BD=CE 。

6.已知∠BAC=∠DAE ，∠ABD=∠ACE ，BD=CE 求证；AB=AC ，AD=AE ； 练习2：1、如图，△ABC ≌△BAD ，点A 点B ，点C 和点D 是对应点。

如果AB=6厘米，BD=5厘米，AD=4厘米，那么BC 的长是（ ）A B o FCBEA ．4 厘米B ．5厘米C ．6 厘米D ．无法确定第1题 第2题2、如图，△ABN ≌△ACM ，AB=AC ，BN=CM ，∠B=50°，∠ANC=120°，则∠MAC 的度数等于（ ）A ．120° ° ° °. 3．如图示，AC ，BD 相交于点O ，△AOB ≌△COD ，∠A=∠C ，则其它对应角分别为______________________，对应边分别为_____________________.4.如图示,点B 在AE 上,∠CBE=∠DBE,要使ΔABC ≌ΔABD, 还需添加一个条件是__________.（填上你认为适当的一个条件即可）5.如图：在△ABC 中，点D ，E 在BC 上，且AD=AE ，BD=CE ，∠ADE=∠AED ，求证：AB=AC.6.如图：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足为C ，D 。

求证：（1）OC=OD ，（2）DF=CF 。

五、三角形的判定定理：边边边公理定理：三边对应相等的两个三角形全等。

简称为“边边边”简写为“SSS ”例1. 如图，在△ABC 和△DCB 中，AC 和BD 相交于点O ，AB=DC ，AC=BD ， 求证：OB=OC 例2. 如图，E 、C 两点在线段BF 上，BE=CF ，AB=DE ，AC=DF ，求证：△ABC ≌△DEF 例3. 如图，AB=CD ，BE=DF, AF=CE,求证：BE ∥DF 练习1：1.如图，已知AB=AD ，如果要判定△ABC ≌△ADC ，根据(S 、S 、S)全等的判定方法，还需要添加的条件是＿＿＿＿＿＿＿。

第1题 第2题2. 已知：如图，AB=DC ，AD=BC ，求证：∠A=∠C 。

3. 已知：如图 , AB=AC , AD=AE , BD=CE ．求证：∠BAC=∠DAE ．4.△ABC 中， AB=AC ，求证：∠B=∠C （自己画图） 练习2： 1． 在△ABC 和△A ’B ’C ’中, AB=A ’B ’, ∠B=∠B ’, 补充条件后仍不一定能保证△ABC ≌△A ’B ’C ’,则补充的这个条件是( )A ．BC=B ’C ’ B ．∠A=∠A ’ C ．AC=A ’C ’D ．∠C=∠C ’ 2． 直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（ ） A ．45° B ．135° C ．45°或135° D ．都不对 3．根据下列已知条件，能惟一画出三角形ABC 的是（ ）A ． AB ＝3，BC ＝4，AC ＝8； B. AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30°； C.∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4； D.∠C ＝90°，AB ＝64．三角形ABC 中，∠A 是∠B 的2倍，∠C 比∠A ＋∠B 还大12°，则这个三角形是＿＿三角形． 5．以三条线段3、4、x －5为这组成三角形，则x 的取值为＿＿＿＿．6．杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是＿＿＿＿． 7．△ABC 中，∠A ＋∠B ＝∠C ，∠A 的平分线交BC 于点D ，若CD ＝8cm ，则点D 到AB 的距离为＿＿＿＿cm ． 8． 已知，如图，D 是△ABC 的边AB 上一点, DF 交AC 于点E, DE=FE, FC ∥AB, 求证：AD=CF ．9. 如图，ABC ∆为等边三角形，点,M N 分别在,BC AC 上，且BM CN =，AM 与BN 交于Q 点。