广西崇左市2019-2020学年上学期期末考高一数学试卷一、单选题 1．已知集合{}{}33,24xA x xB x =>=<，则A B =I （ ）A ．()1,3 B ．()0,1 C ．()1,+∞D ．()1,22．下列函数中，在区间()0,∞+上是增函数的是（ ）A ．()223x x x f =-+B ．()22x f x =C ．()12log f x x =D ．()2f x x=3．已知过点(),1A m -和()2,B m 的直线与直线10x y --=平行，则m 的值为（ ）A ．12 B ．12-C ．1D ．1-4．已知圆锥的高为2，底面半径为2，则此圆锥的侧面展开图的面积是（ ）A ．2πB ．4πC ．22πD ．2π5．已知直线2y kx =+被圆224x y +=截得的弦长为23，则k =（ ） A ．±1B ．33±C ．2±D ．3±6．已知幂函数()y f x =的图象过点()2,8，则41log 2f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．2-B ．32-C ．43-D ．2-7．已知直线1:20l x y n ++=，2:440l x my +-=互相平行，且12,l l 之间的距离为355，则m n +=（ ） A ．3-或3 B ．2-或4C ．1-或5D ．2-或28．函数()4ln 15f x x x =+-的零点()0,1,x k k k ∈+∈Z ，则整数k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．过直线l 外两点作与l 平行的平面，则这样的平面（ ） A ．不存在 B ．只能作一个C ．能作无数个D ．以上都有可能10．若函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）在区间2,2a a ⎡⎤⎣⎦上的最大值比最小值多2，则a =（ ）A ．2或312B ．3或13C ．4或12D ．2或1211．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，且24PA AB ==，M 为PC 上一动点，若PC DM ⊥，则MB 的长度为（ ）A ．102B ．303C ．52D ．35212．若函数()log a f x x x a =-+（0a >且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,1 B ．()1,+∞C ．()1,eD ．(),e +∞二、填空题13．若圆的一条直径的两个端点是()()1,0,3,0AB -，则圆的标准方程为__________________.14．已知函数()232,11,1x x f x x ax x ⎧+<=⎨-+≥⎩，若()()02f f a =，则实数a =________________.15．已知奇函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递减，则满足()()13102f x f f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥的x 的取值范围是______________.16．已知正四棱锥O ABCD -的体积为43，底面边长为2，则正四棱锥O ABCD -的外接球的表面积为____________. 三、解答题17．根据下列各条件写出直线方程，并化为一般式. （1）斜率是12-，经过点()2,0； （2）经过点()1,1，与直线10x y +-=垂直；（3）在x 轴和y 轴上的截距分别为2-和2.18．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BCD ∠=︒，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，4PA =.（1）证明：平面PBE ⊥平面PAB ； （2）求三棱锥E PBC -的体积.19．已知函数()42x x f x a =+⋅（a 为常数）.（1）求函数()f x 的定义域；（2）若0a >，试证明函数()f x 在R 上是增函数；（3）若函数()f x 的最小值为1-，求实数a 的值.20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，P 是1DD 的中点，设Q 是1CC 上的点.（1）当Q 在什么位置时，平面1D BQ ∥平面PAO ？（2）在（1）的条件下，若2AB =，求点C 到平面1BD Q 的距离.21．已知函数()()5log 3f x ax b =+，其中,a b 为常数，且()()403,01f f ==.（1）求实数,a b 的值； （2）若对于任意[)1,x ∈-+∞，不等式()5x m f x >-恒成立，求实数m 的取值范围.22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,3A-，点()8,0B ，C 、D 分别为线段OA 、OB 上的动点，且满足AC BD =.（1）若3BD =，求点C 的坐标；（2）设点C 的坐标为()()4,301m m m -<≤，求OCD V 的外接圆的一般方程，并求OCDV 的外接圆所过定点的坐标.解析广西崇左市2019-2020学年上学期期末考高一数学试卷一、单选题 1．已知集合{}{}33,24xA x xB x =>=<，则A B =I （ ）A ．()1,3 B ．()0,1 C ．()1,+∞D ．()1,2【答案】D【解析】先求出集合A 和B ，然后再根据集合交集的运算即可得出答案. 【详解】由题意可得：{}{}1,2A x x B x x =>=<， 所以可得：{}12A B x x ⋂=<<，则答案D 项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了利用集合描述法对集合的确定，考查了利用指数函数单调性求不等式，考查了集合交集的运算，属于基础题. 2．下列函数中，在区间()0,∞+上是增函数的是（ ）A ．()223x x x f =-+B ．()22x f x =C ．()12log f x x =D ．()2f x x=【答案】B【解析】利用常见基本函数的图像性质结合给定区间一一判断即可得出答案. 【详解】A 选项由()()222312f x x x x =-+=-+，可得函数在区间[]01，上为减函数，区间[)1+∞，上为增函数，则可得在区间()0∞+，上不是增函数，故A 选项不对； B 选项由()224x x f x ==，因4＞1，则由指数函数的性质可得在区间()0∞+，上为增函数，故B 选项正确； C 选项由()12log f x x =，因112<，则由对数函数的性质可得在区间()0∞+，上为减函数，故C 答案不对；D 选项由()2f x x=，则由反比例函数的性质可得在区间()0∞+，上为减函数，故D 答案不对. 综上可得：B 选项正确.【点睛】本题考查了常见基本函数图像性质的应用，属于基础题. 3．已知过点(),1A m -和()2,B m 的直线与直线10x y --=平行，则m 的值为（ ）A ．12 B ．12-C ．1D ．1-【答案】A【解析】利用平行线间的斜率关系直接列式计算即可求出m 的值. 【详解】因为直线10x y --=的斜率为1，且与过点A 和点B 的直线平行，所以112AB m k m+==-，解得12m =. 故选：A. 【点睛】本题考查了由直线平行求参数的问题，当利用斜率相等解决直线平行的问题时，一定要保证直线斜率存在，属于容易题. 4．已知圆锥的高为2，底面半径为2，则此圆锥的侧面展开图的面积是（ ）A ．2πB ．4πC ．22πD ．2π【答案】C【解析】由圆锥的侧面展开图是扇形，利用扇形的面积公式直接列式计算即可得出答案. 【详解】设圆锥的母线为l ，因为圆锥的高为2，底面半径为2，所以222l =+=；由圆锥的侧面展开图是扇形，故圆锥的展开图的面积是1222222ππ⨯⨯=.故选：C. 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图，以及扇形的面积公式，属于基础题.5．已知直线2y kx =+被圆224x y +=截得的弦长为23，则k =（ ）A ．±1B ．33±C ．2±D ．3±【答案】D【解析】由直线和圆相交所得弦的弦长公式222r d -，求出圆心到直线的距离d ，然后再利用点到直线的距离公式即可求出参数k .由题意可得圆的圆心为()00，，半径2r =，则由弦长公式22223r d -=解得1d =，即圆心到直线距离为1，则由2211k =+，得3k =±.故选：D. 【点睛】本题考查了直线和圆相交所得弦的弦长公式的应用以及点到直线的距离公式的应用，考查了计算能力，属于一般难度的题. 6．已知幂函数()y f x =的图象过点()2,8，则41log 2f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．2-B ．32-C ．43-D ．2-【答案】B【解析】先由幂函数图象过点(2，8)求出幂函数解析式，然后求解12f ⎛⎫⎪⎝⎭，最后代入即可求解答案. 【详解】由题意设()af x x =，则有()228af ==解得3a =，所以3111f 228⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则444113log log log 8282f ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查了幂函数解析式的确定，考查了函数值的求解以及对数值的计算，属于基础题. 7．已知直线1:20l x y n ++=，2:440l x my +-=互相平行，且12,l l 之间的距离为355，则m n +=（ ） A ．3-或3 B ．2-或4C ．1-或5D ．2-或2【答案】A【解析】先根据两直线平行由系数的关系求出参数m ，然后由平行线间的距离公式求出参数n ，最后由m n +即可求出答案. 【详解】由12//l l 可得214m ⨯=⨯，解得2m =，则直线2l 的方程为220x y +-=，由23555n +=，即23n +=，解得1n =或5n =-，故213m n +=+=或253m n +=-=-，即3m n +=±.【点睛】本题考查了两平行直线间系数的关系，考查了平行直线间距离公式的应用，考查了运算能力，属于一般难度的题. 8．函数()4ln 15f x x x =+-的零点()0,1,x k k k ∈+∈Z ，则整数k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】先判断函数在区间()0∞+，上为增函数，再由特殊函数值()()30,40f f <>即可得出整数k 的值. 【详解】 由函数解析式()4ln 15f x x x =+-易知在区间()0∞+，上为增函数，又因为()3ln330f =-<，()4ln 410f =+>，所以函数零点()03,4x ∈，故可得3k =.故选：C. 【点睛】本题考查了借助于函数单调性判断函数零点位置的问题，属于一般难度的题. 9．过直线l 外两点作与l 平行的平面，则这样的平面（ ） A ．不存在 B ．只能作一个 C ．能作无数个 D ．以上都有可能【答案】D【解析】分类讨论，利用确定平面的条件以及线面的位置关系来判断即可得出答案. 【详解】①当过直线l 外两点的直线1l 与直线l 相交时，满足过直线l 外两点作与l 平行的平面不存在； ②当过直线l 外两点的直线2l 与直线l 异面时，满足过直线l 外两点作与l 平行的平面有且仅有一个；③当过直线l 外两点的直线3l 与直线l 平行时，满足过直线l 外两点作与l 平行的平面有无数个； 故选：D. 【点睛】本题考查了分类讨论思想的应用，考查了直线与平面的位置关系，属于一般难度的题. 10．若函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）在区间2,2a a ⎡⎤⎣⎦上的最大值比最小值多2，则a =（ ） A ．2或312B ．3或13C ．4或12D ．2或12【答案】A【解析】分别讨论1a >和01a <<，然后利用对数函数的单调性，代入计算即可得出答案.①当1a >时，函数()log a f x x =在定义域内为增函数，则由题意得()2log 2log 2a a a a -=，解得2a =；②当01a <<时，函数()log a f x x =在定义域内为减函数，则由题意得()2log log 22a a a a -=，解得312a =；综上可得：2a =或312.故选：A. 【点睛】本题考查了分类讨论思想的应用，考查了对数函数单调性的应用，属于一般难度的题. 11．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，且24PA AB ==，M 为PC 上一动点，若PC DM ⊥，则MB 的长度为（ ）A ．102B ．303C ．52D ．352【答案】B【解析】先由题中条件利用线面垂直的判定定理分别证明BD ⊥平面PAC 和PC ⊥平面BDM ，然后由线面垂直的性质判断MB PC ⊥，最后由题中给的数量在△PBC 中列关系式即可得出答案. 【详解】 如图所示：连接AC,由底面ABCD 为正方形得BD AC ⊥，由PA ⊥底面ABCD 得PA BD ⊥，因PA AC A =I 可得BD ⊥平面PAC ，则有BD PC ⊥，又PC DM ⊥，BD DM D ⋂=可得PC ⊥平面BDM ，可得MB PC ⊥，又由2BC =，41625BP =+=，20426PC =+=，可得25230326PB BC MB PC ⨯⨯===.故选：B. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理与性质定理的应用，考查了运算能力，属于一般难度的题. 12．若函数()log a f x x x a =-+（0a >且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,1 B ．()1,+∞C ．()1,eD ．(),e +∞【答案】B 【解析】将函数()log a f x x x a =-+（0a >且1a ≠）有两个零点转化为函数log a y x =和函数y x a =-图象有两个交点问题，然后分类讨论1a >和01a <<进行判断即可得出答案.【详解】 当函数()log a f x x x a =-+（0a >且1a ≠）有两个零点，则若()0f x =，log a x x a =-有两个根，则得函数log a y x =和函数y x a =-图象有两个交点，①当1a >时，因为函数log a y x =的图象恒过点(1,0)，而直线y x a =-的图象恒过点()M ,0a ，由于1a >，则点()M ,0a 一定在点(1,0)的右侧，如图所示：由图象可知，当1a >时，函数log a y x =与y x a =-的图象有两个交点，即1a >时函数()log a f x x x a =-+有两个零点；②当01a <<时，函数log a y x =与y x a =-的图象仅有一个交点，如图所示：此时函数()log a f x x x a =-+有且仅有一个零点；综上可得1a >满足题意.故选：B. 【点睛】本题考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用，考查了函数零点个数的问题，属于中档题.二、填空题13．若圆的一条直径的两个端点是()()1,0,3,0A B -，则圆的标准方程为__________________.【答案】()2214x y -+=【解析】由中点坐标公式求出圆心，由两点之间距离公式求出半径，然后写出圆的标准方程即可.由题意得圆心为点A 和B 的中点，则坐标为()1,0，半径为()2310AB 222++==，所以圆的标准方程为()2214x y -+=.故答案为：()2214x y -+=. 【点睛】本题考查了中点坐标公式和两点之间距离公式的应用，考查了圆的标准方程的书写，属于基础题.14．已知函数()232,11,1x x f x x ax x ⎧+<=⎨-+≥⎩，若()()02f f a =，则实数a =________________.【答案】2【解析】利用分段函数分段定义域的解析式，直接代入即可求出实数a 的值. 【详解】 由题意得：()00323f =+=，()23331103f a a =-+=-，所以由()()01032f f a a =-=， 解得2a =.故答案为：2. 【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题，属于一般难度的题. 15．已知奇函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递减，则满足()()13102f x f f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥的x 的取值范围是______________. 【答案】1,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】先由题意确定()00f =，然后利用奇函数的性质转化题中不等式为()1312f x f ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≥，再利用奇函数的单调性得出不等式1312x --≤，解不等式即可得出答案. 【详解】由奇函数在0x =有意义可得()00f =，则不等式()()13102f x f f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥可变为()113122f x f f ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，又因奇函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递减，可得奇函数整个定义域上为减函数，则有1312x --≤，解得16x ≤，即不等式的x 的取值范围为(16⎤-∞⎥⎦，.故答案为：(16⎤-∞⎥⎦，. 【点睛】本题考查了函数基本性质中奇偶性和单调性的应用，属于基础题. 16．已知正四棱锥O ABCD -的体积为43，底面边长为2，则正四棱锥O ABCD -的外接球的表面积为____________. 【答案】9π【解析】如图所示，先由正四棱锥的体积求出高OE=1，设正四棱锥外接圆的半径为O 1C=R ，在直角三角形O 1EC 中由()222R CE R OE =+-解得32R =，再由求球的表面积公式24S R π=即可求得答案.【详解】 如图所示：连,AB CD 相交于点E ，连OE ，则OE ⊥面ABCD ，由214233O ABCD V OE -=⨯⨯=，得1OE =，设O ABC -的外接球的半径为R ，易知球心O 1在OE 的延长线上，如图所示，则有()222R CE R OE =+-得()2221R R =+-，解得32R =，外接球的表面积为23492S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：9π.【点睛】本题考查了空间几何体外接球问题，考查了球的表面积公式以及棱锥的体积公式的应用，考查了运算能力，属于一般难度的题. 三、解答题17．根据下列各条件写出直线方程，并化为一般式.（1）斜率是12-，经过点()2,0； （2）经过点()1,1，与直线10x y +-=垂直；（3）在x 轴和y 轴上的截距分别为2-和2. 【答案】（1）()122y x =--，一般式220x y +-=；（2）11y x -=-，一般式0x y -=；（3）122x y+=-，一般式20x y -+= 【解析】(1)利用直线的点斜式方程直接书写，然后再化成一般式即可得出答案；(2)由直线垂直可先求出所求直线的斜率，然后利用点斜式方程再化成一般式方程即可得出答案；(3)利用直线方程的截距式书写直线方程，然后再化成一般式即可得出答案. 【详解】(1)由直线方程的点斜式方程可得()122y x =--，化成一般式为：220x y +-=； (2)由题意所求直线和直线10x y +-=垂直，可得所求直线的斜率为1，则由直线方程的点斜式方程可得11y x -=-，化成一般式为：0x y -=；(3)由直线在x 轴和y 轴上的截距分别为-2和2，则利用直线方程的截距式方程可得122x y+=-，化为一般式为：20x y -+=. 【点睛】本题考查了直线方程表达式的应用以及相互转化，属于基础题.18．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BCD ∠=︒，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，4PA =.（1）证明：平面PBE ⊥平面PAB ； （2）求三棱锥E PBC -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）233【解析】(1)如图所示，先由题意证明BE AB ⊥，PA BE ⊥，然后由线面垂直的判定定理证明BE ⊥平面PAB ，再利用面面垂直的判定定理证明平面PBE ⊥平面PAB 即可； (2)利用等体积转化E PBC P BCE V V --=，由题意等量关系可求出BEC S V ，易知PA 的长等于三棱锥P-BCE 底面BCE 上的高，则利用棱锥的体积公式即可求出答案. 【详解】解：（1）如图所示，连接BD ，由ABCD 是菱形，且60BCD ∠=︒知BCD ∆是等边三角形.因为E 是CD 的中点，所以BE CD ⊥.又//AB CD ，所以BE AB ⊥. 又因为PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以PA BE ⊥.又PA AB A =I ，因此BE ⊥平面PAB .又因为BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB . （2）由2BC =，可得133,1,1322BEC BE EC S ===⨯⨯=△由PA ⊥平面ABCD 可得PA 的长等于三棱锥P-BCE 底面BCE 上的高，则131323432323E PBC P BCE V V PA --==⨯⨯=⨯⨯=. 【点睛】本题考查了线面垂直和面面垂直的判定，考查了棱锥体积的求解，考查了运算能力，属于一般难度的题. 19．已知函数()42x x f x a =+⋅（a 为常数）.（1）求函数()f x 的定义域；（2）若0a >，试证明函数()f x 在R 上是增函数；（3）若函数()f x 的最小值为1-，求实数a 的值.【答案】（1）R ；（2）证明见解析；（3）2- 【解析】(1)由函数解析式可直接求得函数定义域； (2)利用增函数的概念直接证明即可得出答案； (3)分类讨论0a ≥和0a <，利用0a ≥时()0f x >可排除0a ≥，当0a <时，令()20xt t =>利用二次函数最值问题求参数a . 【详解】解：（1）由函数解析式()42x x f x a =+⋅可得函数()f x 对任意实数都有意义，所以函数()f x 的定义域为实数集R .（2）任取12x x <∈R ，则()()()()1212124422xx x x f x f x a -=-+-，因为12x x <，则121244,22x x x x <<，即121244,2002x x x x -<-<，又0a >，所以可得()()121244202x x x x a -+-<，即()()12f x f x <.所以函数()f x 在R 上是增函数.（3）①当0a ≥时，()420x x f x a +⋅>=，则0a ≥不合题意；②当0a <时，令()20xt t =>，记()()()22211024f xg t t at t a a t ⎛⎫==+=+-> ⎪⎝⎭，则当12t a =-，()2min 14g t a =-，故有2114a -=-，得2a =±，由上知2a =-.综上可得当函数()f x 的最小值为1-时实数2a =-.【点睛】本题考查了函数定义域的求解，考查了函数单调性的证明，考查了换元法的应用，考查了二次函数最值的问题，属于一般难度的题.20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，P 是1DD 的中点，设Q 是1CC 上的点.（1）当Q 在什么位置时，平面1D BQ ∥平面PAO ？（2）在（1）的条件下，若2AB =，求点C 到平面1BD Q 的距离. 【答案】（1）Q 为1CC 的中点；（2）63【解析】(1)利用面面平行的判定条件可确定Q 点的位置；(2)利用等体积转化11D BCQ C D BQ V V --=，列等量关系式即可求得答案. 【详解】解：（1）当Q 为1CC 的中点时，平面1//D BQ 平面PAO . 证明如下：∵Q 为1CC 的中点，P 为1DD 的中点，∴//QB PA . ∵P 、O 分别为1DD 、DB 的中点，∴1//D B PO .又∵1D B ⊄平面PAO ，PO ⊂平面PAO ，QB ⊄平面PAO ，PA ⊂平面PAO ， ∴1//D B 平面PAO ，//QB 平面PAO ，又∵1D B QB B =I ，1D B 、QB ⊂平面1D BQ ，∴平面1D BQ ∥平面PAO . （2）如图所示：连接D 1C ，∵2,1BC CQ ==，∴12112BCQ S =⨯⨯=△， ∴11111221333D BCQ BCQ V S D C -=⨯⨯=⨯⨯=△， 又由(1)知Q 为1CC 的中点，则115,23BQ DQ BD ===，则易求1123262BQD S =⨯⨯=△，设点C 到平面1BQD 的距离为h ，由11D BCQ C D BQ V V --=，即11126333BQD S h h ⨯⨯==△，解得63h =，故点C 到平面1BD Q 的距离为63. 【点睛】本题考查了面面平行的判定定理的应用，考查了利用等体积转化法求距离的问题，属于一般难度的题. 21．已知函数()()5log 3f x ax b =+，其中,a b 为常数，且()()403,01f f ==.（1）求实数,a b 的值； （2）若对于任意[)1,x ∈-+∞，不等式()5x m f x >-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1a =，5b =；（2）51log 25m <+ 【解析】(1)由题中条件得关系式()()()1205540log 3,0log 1a b b f f +====，求解实数,a b 的值即可； (2)分离参数()55log 35xx m ++>，令函数()()55log 35x g x x =++，利用函数的单调性，求解()min m g x <即可得出答案.【详解】 解：(1)由题意()50log 1f b ==得5b =，()()540log 12053f a =+=得1a =，故实数1a =，5b =； (2)由(1)知1,5a b ==，则有()()5log 35f x x =+，则不等式()5x m f x >-可化为()55log 35x x m ++>，令函数()()55log 35x g x x =++易知在区间[)1,x ∈-+∞上单调递增，可得函数()()5min 11log 25g x g =-=+，故要使不等式()5xm f x >-恒成立则需51log 25m <+.【点睛】本题考查了由函数值确定函数解析式的问题，考查了分离参数利用函数单调性求参数取值范围的问题，属于一般难度的题.22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,3A-，点()8,0B ，C 、D 分别为线段OA 、OB 上的动点，且满足AC BD =.（1）若3BD =，求点C 的坐标；（2）设点C 的坐标为()()4,301m m m -<≤，求OCD V 的外接圆的一般方程，并求OCDV 的外接圆所过定点的坐标. 【答案】（1）86,55⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）()()22531540x y m x m y +-+-+=，()0,0和31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】(1)设点()C,x y ，，利用两点之间距离公式和C 点在线段OA 上得出关系式：()()224333440x y y xx ⎧++-=⎪⎪⎪=-⎨⎪-≤≤⎪⎪⎩联立求解即可得出点C 的坐标；(2)由题意求出D 点坐标()53,0m +，设OCD ∆外接圆的一般方程为220xy Dx Ey F ++++=由三点坐标得出关系式()()2205353025430F m m D F m mD mE F =⎧⎪++++=⎨⎪-++=⎩，联立解得圆的方程()()22531540xy m x m y +-+-+=，将圆的方程转化为()()2234530x y x y m x y +---+=，令2234030x y x y x y ⎧+--=⎨+=⎩求解即可得出圆过定点的坐标. 【详解】 解：（1）设点()C,x y ，当3BD =时，3AC =，则()()22433x y ++-=，由C 点在线段OA 上则有34y x =-，且4x 0-≤≤，则联立()()224333440x y y xx ⎧++-=⎪⎪⎪=-⎨⎪-≤≤⎪⎪⎩解得8655x y =-=，,则点C 的坐标为86,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）由点C 的坐标为()()4,301m m m -<≤，可得()()2244335155AC m m m m =-+-=-=-，()85553OD m m =--=+，可得点D 的坐标为()53,0m +，设点OCD ∆的外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，代入点O 、C 、D 的坐标可得()()2205353025430F m m D F m mD mE F =⎧⎪++++=⎨⎪-++=⎩，解得531540D m E m F =--⎧⎪=--⎨⎪=⎩，可得OCD ∆的外接圆的一般方程为()()22531540xy m x m y +-+-+=，可化为()()2234530x y x y m x y +---+=，令2234030x y x y x y ⎧+--=⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故OCD ∆的外接圆所过定点的坐标为()0,0和31,22⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了两点之间距离公式的应用，考查了满足动点的坐标关系，考查了三角形外接圆的确定，考查了圆过定点的求解问题，属于中档题.。