程序:①设主动点坐标为( x 0 , y0)，从动点坐标为（x,y） ②找到主动点坐标与从动点坐标之间的两个等式关 系，即 x 0 , y0 与x,y之间的关系 ③从两个等式中消去x 0 , y0 ，所得的关于x,y的等式就 是从动点轨迹方程 简称： ①设坐标②找等式③消参数
参数法求曲线方程
• 例4 在平面直角坐标系中， A O(0,0) （1,0）B（2,2）若点C满足， OC OA t (OB OA) 其中 t R 求点C轨迹方程
3x y 2 x 3 y 2 1 所以 2 2 2 2 3x y 2 x 3 y 2 1 故所求轨迹方程为 2 2
2 2
课堂小结 想一想:今天在课堂上你学到了什么？
求曲线的方程常用的几种方法
（1）直接法 （2）定义法
（3）相关点法
（4）参数法
课后作业：
1.已知点Q是曲线
yx
2 上的动点，点A
的坐标为(1,0),求线段QA的中点P的轨迹
方程. 2.若直线y=kx+b交抛物线
2
x y 于A、
B两点，已知|AB|= 4 5,线段AB的中点纵
坐标等于-5,求k,b的值.
2 x x1 2 y y1 2 0 联立，得 ，解得 y y1 x x1 3x y 2 x1 2 y x 3y 2 1 ， 由Q在双曲线上， 2 2 2 2 2 x y 知x －y ＝1,可得 1 1 1
2
学后反思
本题运用了参数法求轨迹.当动点P的坐标x、y之
间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t,并用t表
x f t 示动点的坐标x、y，从而得到动点轨迹的参数方程 y g t
消去参数t，便可得到动点P的轨迹方程.其中应注意方程的等
价性和参数t与动点P(x,y)关系的密切性.


设P(x,y),则
1 2 x 2 k 2 k y 2 1 k k
…
(1) (2)
…
由(2) 2 (1)，得 y 2 x 8即 y 2 x 8
2
2
2
故线段AB的中点P的轨迹方程为 y 2 x 8
解 设C(x,y)
OC x, y OA t (OB OA） （ 1 t, 2t)
x 1 t y 2t 消去 t , 得
点C的轨迹方程为2x-y-2=0
[点评]
用参数法求轨迹方程时，一要
选好参数，将动点的横、纵坐标表示成参 数的形式；二要掌握消参的技巧．
请做下面变式练习，并思考此种题目解题程序
变式训练
1 将例3中条件改为若 AM 2MQ ， 求M
的轨迹方程.
2 改为：求椭圆关于点（3,4）对称的曲 线方程
总结：相关点法的判别与程序
判别：看题目是否具有下列两个条件 【1】有主动点和从动点两种动点 【2】主动点在已知曲线上运动
求轨迹方程
高二数学组 崔建欣
学习如几何曲线 幸福似小数循环.
教学目标：
1、知识与能力:会求各种曲线的方程 2、过程与方法:会用直接法、相关点法、 定义法求曲线的方程
3、情感态度与价值观：培养合作探讨、 勇于创新的精神，渗透事物之间等价转 化的辩证唯物主义观点
重点：会用相关点法求曲线的轨迹方程
难点：灵活运用各种方法求轨迹方程
变式训练
3. 点P是圆 x 4 y 1 4上的动点，O
2 2
是坐标原点，求线段OP的中点Q的轨迹.
y 解：做简图如图 2 2 圆 x 4 y 1 4 x 4 2cos (θ为参数) 的参数方程为 0 y 1 2sin
定义法求曲线方程
学案例 2 已知圆 C1： (x ＋3)2＋y2＝1 和圆 C2： (x －3)2 ＋y2＝9，动圆 M 同时与圆 C1 与圆 C2 相外切，求动圆圆 心 M 的轨迹方程．
• [解析] 如图所示，设动圆 M与圆C1及圆C2分别外切于点 A和B，根据两圆外切的充要条 件，得 • |MC1|=r+1 • |MC2|=r+3
连接QO,可知，QO为 F1 F2 M 的中位线
故 QO 1 MF2 4 ,所以点Q的轨迹是以O为圆心，4为
半径的圆。其方程为 x 2 y 2 16
2
相关点代入法求曲线的方程 2 x 2 例3 已知x轴上一定点A（1,0），Q为椭圆 y 1 上一动点，求线段AQ中点M的轨迹方程 4 解 设M（x,y) Q(x0, y0 )
学后反思 当动点所满足的条件本身就是一些几 何量的等量关系或这些几何条件简单明了易于表 达时，只要将这种关系“翻译”成含x、y的等式 就能得到曲线的轨迹方程，这种求轨迹方程的方 法称之为直接法，也叫直译法.
• [点评] 1.直接法求轨迹方程是常用的基本方法， 大多数题目可以依据文字叙述的条件要求，直接“翻 译”列出等式整理可得． • 2 直接法步骤是：建系设点、列等式、代 换、化简、证明“五步法”．在解题时，根据题意， 正确列出方程是关键，还要注意最后一步，如果有不 符合题意的特殊点要加以说明．一般情况下，求出曲 线方程后的证明可以省去．
[点评] 因为直线PM和直线MQ的斜率都存 在，所以在①中，x≠±2，但在②中却有x＝ ±2，此时点P(2,2)和Q(－2,0)在方程②的曲线 上，其原因是从①到②是非等价变形，x的范围 扩大了
• 练习2 已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外 切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心 M的轨迹方程．
课后作业 1. 已知点Q是曲线 y x2 ，上的动点，点A的坐
标为(1,0),求线段QA的中点P的轨迹方程.
与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹方程 解析： 由题意知，两直线的斜率都存在. . 设直线OA的斜率为k，则OA:y=kx,OB:y 1 x
y kx 由 2 y 4x
k
4 4 得A 2, k k
1 y x 得 2 同理由 B 4k , 4k k y2 4x
2
所以 点M轨迹方程为 2 1 2 x- 2 4 y 1
点评： 在这个题目中，有两个动点Q,M，其中Q为主 动点，M为从动点；主动点Q在已知曲线上运 y 动。也就是说这种问题的辨别特征是： Q 【1】有主动点和从动点两种动点 M 【2】主动点在已知曲线上运动 A • 这种根据已知动点的轨迹方程，求另外一点 的轨迹方程的方法称为代入法或相关点法. • 一般地，定比分点问题，对称问题或能转化 为这两类的轨迹问题，都可用相关点法 ．

QPx来自所以点P的坐标为(4+2cosθ,1+2sinθ) 设Q点的坐标为(x,y)
由中点坐标公式得
x 2 cos 1 y sin 2
化简得 ( x 2)2 ( y 1 )2 1 2
变式训练
4. 过抛物线 y 2 4 x 的顶点O引两条互相垂直的直线分别
• 练习1 点M与已知点P(2,2)连线的斜率是 它与点Q(－2,0)连线的斜率的2倍，求点M的轨 迹方程．
[误解] 设点 M 的坐标为(x ，y)， y－2 y 由已知可得 ＝2× ， ① x ＋2 x －2 化简整理得，点 M 的轨迹方程为 xy＋2x －6y＋4＝0. ②
[正解] 设点 M 的坐标为(x ，y)， 当 x ＝2 时，直线 PM 的斜率不存在； 当 x ＝－2 时，直线 MQ 的斜率不存在，均不合题意； y－2 y 当 x ≠±2 时，由已知得 ＝2× ， x ＋2 x －2 化简整理得，点 M 的轨迹方程为 xy＋2x －6y＋4＝0(x ≠±2)．
2 2 2
• 练3 过双曲线x2－y2＝1上一动点Q引直线x ＋y＝2的垂线，垂足为M，求线段QM的中点P 的轨迹方程．
• • • • [分析] 题目中的Q，M均为动点，因而其 中点P也为动点，由条件中的中点和垂直关 系可得到坐标关系，最后将坐标代入曲线 方程，即得到QM中点P的轨迹方程．
[解析] 设 QM 中点为 P(x ，y)，Q(x 1，y1)，由中点关系 得: M 点坐标为(2x －x 1,2y－y1)． ∴2x －x 1＋2y－y1＝2. 又 QM 垂直于直线 x ＋y＝2， y－y1 ∴ ＝1 即 y－y1＝x －x 1. x －x 1 ② ①
x2 y2 已知 F1、F2是椭圆 16 9 1 的两个焦点，P是 椭圆上任意一点，从任一焦点引F1 PF2 的外角平分线
的垂线，垂足为Q，求点Q的轨迹方程。 M Q 解：如图
F1
P
y
0
F2
x
延长F1Q 交 F2 P 的延长线于点M，可得 F1 PM 为等腰三 角形，故F1 P PM ,所以F2 M F2 P PM F2 P F1 P 2a 8
4 4 思考：若将例1中 改为 9 9
2 2
结果是什么？
x y 1( x 6) 36 16
结论：平面内的动点到两定点A1 (a,0), A2 (a,0) 的斜率
乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线. 其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点.
当常数大于-1小于0时为椭圆;当常数大于0时为双曲线.
• [点评] (1)本题是用定义法求动点的轨迹方 程，当判断出动点的轨迹是双曲线的一支，且 可求出a、b时，直接根据定义写出其标准方 程，而无需用距离公式写出方程，再通过复杂 的运算进行化简． • (2)由于动点M到两定点C2、C1的距离的差 为常数，而不是差的绝对值为常数，因此，其 轨迹只能是双曲线的一支．这一点要特别注 意！