2.4曲线与方程基础过关练题组一曲线与方程的关系及其应用1.若等腰三角形ABC底边的两端点分别是A(-4,0),B(2,0),则顶点C的轨迹是( )A.一条直线B.一条直线去掉一点C.一个点D.两个点2.若点(2,-3)在曲线2x2-ay2=5上,则实数a的值等于( )A.13B.1 C.3 D.±133.已知曲线y=x2-x+2与直线y=x-m有两个交点,则实数m的取值范围是( )A.(-1,+∞)B.(-∞,-1]C.(-∞,-1)D.(-∞,1)4.在平面直角坐标系中,方程|x|3+|y|2=1所表示的曲线是( )A.两条平行线B.一个矩形C.一个菱形D.一个圆5.方程x+|y-1|=0表示的曲线是( )6.(2020山东日照高二月考)方程4x2-y2-4x+2y=0表示的图形是( )A.直线2x-y=0B.直线2x+y-2=0C.点(12,1) D.直线2x-y=0和直线2x+y-2=0题组二 求曲线的方程7.在平面直角坐标系中,到两坐标轴的距离之和等于3的点M 的轨迹方程为( ) A.x+y=3B.x+y=-3C.|x+y|=3D.|x|+|y|=38.(2020浙江湖州高二期中)在平面直角坐标系xOy 中,若定点A(-1,2)与动点P(x,y)满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =8,则点P 的轨迹方程为( ) A.x-2y-8=0 B.x-2y+8=0 C.x+2y-8=0D.x+2y+8=09.已知动点A 在圆x 2+y 2=1上,则点A 与定点B(4,0)连线的中点的轨迹方程是( ) A.(x-2)2+y 2=14B.(x-2)2+y 2=1C.(x-4)2+y 2=14D.(x+2)2+y 2=1410.已知动点P(x,y)与两定点M(-1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0),则动点P 的轨迹方程为 . 11.已知A(-1,0),B(2,4),△ABC 的面积为10,则顶点C 的轨迹方程是 .12.(2020吉林省实验中学高二月考)已知线段AB 的长等于10,两端点A,B 分别在x 轴,y 轴上移动,若点M 在线段AB 上,且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点M 的轨迹方程是 .13.已知圆C 的方程为x 2+y 2=4,过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m,设m 与y 轴的交点为N,若向量OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点),求动点Q 的轨迹方程.14.已知△ABC中,AB=2,AC=√2BC.(1)求点C的轨迹方程,并指出轨迹曲线的形状;(2)求△ABC面积的最大值.能力提升练题组曲线与方程的综合应用1.(2020辽宁沈阳高二月考,)“点M在曲线x2=4y上”是“点M的坐标满足方程x=2√y”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2020陕西西安中学高二月考,)方程xy(x+y)=2 020所表示的曲线( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=x对称3.(多选)(2020广东佛山高二期末,)在平面直角坐标系中,曲线C上任意一点P 与两个定点A(-2,0)和B(2,0)连线的斜率之和恒等于2,则关于曲线C的结论正确的是( )A.曲线C是轴对称图形B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外C.曲线C是中心对称图形D.曲线C上所有点的横坐标的绝对值都大于24.(2020辽宁大连高二期末,)已知动点M 到点A(9,0)的距离是M 到点B(1,0)的距离的3倍,则动点M 的轨迹所围成图形的面积等于( ) A.3π B.6π C.9π D.81π5.(2020浙江宁波高二月考,)已知平面直角坐标系中的两点A(3,1),B(-1,3),若点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C 的轨迹是( )A.两个点B.直线C.圆D.射线 6.(2020湖南岳阳高二期末,)在平面直角坐标系中,两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的“L -距离”定义为|P 1P 2|=|x 1-x 2|+|y 1-y 2|,则平面内与x 轴上的两个不同定点F 1,F 2的“L -距离”之和等于定值(大于|F 1F 2|)的点的轨迹可以是( )7.(2020贵州贵阳高二期末,)以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆,是指到两定点的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的动点M 的轨迹.已知A(-2,0),B(2,0),动点M 满足|MA ||MB |=√2,此时阿波罗尼斯圆的方程为 . 8.(2020北京房山高二期末,)已知曲线W 的方程为|y|+x 2-5x=0.(1)请写出曲线W 的一条对称轴方程: ; (2)曲线W 上的点的横坐标的取值范围是 .9.(2020吉林长春高二期末,)已知曲线x2+2y2=1上的两个点A(x 1,y1),B(x2,y2),,求△AOB的面积.点O为坐标原点,若直线OA,OB的斜率之积满足k OA·k OB=-1210.(2019上海七宝中学高二期末,)在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:x2+y2=1(y≥0).(1)如图1,点B为曲线Γ上的动点,A(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程;(2)如图2,点B为曲线Γ上的动点,A(2,0),将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,求线段OC长度的最大值.答案全解全析基础过关练1.B 依题意,顶点C 的轨迹是线段AB 的垂直平分线除去AB 的中点.2.A 由已知得2×22-a×(-3)2=5,解得a=13.3.C 依题意,方程组{y =x 2-x +2,y =x -m 有两组实数解,即方程x 2-x+2=x-m 有两个不相等的实数根,将方程整理为x 2-2x+m+2=0,所以Δ=4-4(m+2)>0,解得m<-1. 4.C 当x≥0,y≥0时,方程为x 3+y2=1;当x≥0,y≤0时,方程为x 3-y2=1;当x≤0,y≤0时,方程为x 3+y 2=-1;当x≤0,y≥0时,方程为-x 3+y2=1,因此原方程所表示的曲线是一个以(3,0),(0,2),(-3,0),(0,-2)为顶点的菱形.5.B 由x+|y-1|=0可知曲线过点(-1,0),(-1,2),所以只有选项B 正确.6.D 方程4x 2-y 2-4x+2y=0可化为(2x+y)·(2x -y)-2(2x-y)=0,即(2x-y)(2x+y-2)=0,故2x-y=0或2x+y-2=0,即方程表示的图形是直线2x-y=0和直线2x+y-2=0.7.D 设M 的坐标为(x,y),依题意有|x|+|y|=3.8.A 由已知得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y),AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),由于OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =8,所以x-2y=8,即点P 的轨迹方程为x-2y-8=0.9.A 设A(x 0,y 0),线段AB 的中点为P(x,y),则有{x =x 0+42,y =y 0+02,因此{x 0=2x -4,y 0=2y ,由于点A 在圆x 2+y 2=1上,所以x 02+y 02=1,即(2x-4)2+(2y)2=1,即(x-2)2+y 2=14,此方程即为线段AB 中点的轨迹方程. 10.答案 x 2-y 2λ=1(λ≠0,x≠±1)解析 由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零,所以k PM ·k PN =yx+1·yx -1=λ,整理得x 2-y 2λ=1(λ≠0,x≠±1).所以动点P 的轨迹方程为x 2-y 2λ=1(λ≠0,x≠±1).11.答案 4x-3y-16=0或4x-3y+24=0 解析 由直线的两点式方程得直线AB 的方程是y -04-0=x+12+1,即4x-3y+4=0,线段AB 的长度为|AB|=√(2+1)2+42=5.设点C 的坐标为(x,y),则12×5×|4x -3y+4|√42+(-3)2=10,即4x-3y-16=0或4x-3y+24=0. 12.答案 16x 2+y 2=64解析 设M(x,y),A(a,0),B(0,b),因为|AB|=10,所以2+b 2=10,即a 2+b 2=100.因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以{x -a =-4x ,y =4(b -y ),则{a =5x ,b =54y ,代入a 2+b 2=100,可得25x 2+25y 216=100,即16x 2+y 2=64.13.解析 设点Q 的坐标为(x,y),点M 的坐标为(x 0,y 0)(y 0≠0),则点N 的坐标为(0,y 0).因为OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以(x,y)=(x 0,y 0)+(0,y 0)=(x 0,2y 0), 则x 0=x,y 0=y2.因为点M 在圆C上,所以x 02+y 02=4,即x 2+y 24=4(y≠0).所以动点Q 的轨迹方程为x 2+y 24=4(y≠0).14.解析 (1)以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系(图略),则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC=√2BC,得(x+1)2+y 2=2[(x-1)2+y 2],即(x-3)2+y 2=8. 易知点C 不在x 轴上,所以点C 的轨迹方程为(x-3)2+y 2=8(y≠0),故轨迹曲线是以(3,0)为圆心,2√2为半径的圆,去掉点(3+2√2,0)和点(3-2√2,0). (2)由于AB=2,所以S △ABC =12×2×|y|=|y|.因为(x-3)2+y 2=8(y≠0),所以0<|y|≤2√2, 所以S △ABC ≤2√2,即△ABC 面积的最大值为2√2.能力提升练1.B 若点M 在曲线x 2=4y 上,则x=±2√y ;当点M 的坐标满足方程x=2√y 时,必有x 2=4y,即点M 在曲线x 2=4y 上,故应为必要不充分条件.2.D 同时将方程中的y 换为x,x 换为y,方程不发生变化,所以方程所表示的曲线关于直线y=x 对称.3.BC 设P(x,y),依题意有y x+2+yx -2=2,整理,得x 2=xy+4,于是曲线C 的方程为y=x-4x(x≠0,x≠±2),容易判断曲线C 不是轴对称图形,而是中心对称图形,原点是它的对称中心,因此A 选项错误,C 选项正确;又因为x 2+y 2=x 2+(x -4x )2=2x 2+16x2-8≥2√2x 2·16x -8=8√所以曲线C 上所有的点都在圆x 2+y 2=2外,故B 选项正确;易得点(1,-3)在曲线C 上,但其横坐标的绝对值不大于2,故D 选项错误. 4.C 设M(x,y),则|MA|=√(x -9)2+y 2,|MB|=√(x -1)2+y 2.由|MA|=3|MB|,得√(x -9)2+y 2=3√(x -1)2+y 2,化简,得x 2+y 2=9,因此动点M 的轨迹是以原点为圆心,3为半径的圆,其面积等于9π.5.B 设C(x,y),则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y),OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,3),因为OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以{x =3λ1-λ2,y =λ1+3λ2,又λ1+λ2=1,所以x+2y-5=0,故点C 的轨迹为一条直线. 6.A 设F 1(-c,0),F 2(c,0),c>0,动点M(x,y)到定点F 1,F 2的“L -距离”之和为定值m,则有|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=m,即|x+c|+|x-c|+2|y|=m.当x<-c,y≥0时,方程可化为x-y+m2=0;当x<-c,y<0时,方程可化为x+y+m2=0;当-c≤x<c,y≥0时,方程可化为y=m2-c;当-c≤x<c,y<0时,方程可化为y=c-m2;当x≥c,y≥0时,方程可化为x+y-m2=0;当x≥c,y<0时,方程可化为x-y-m2=0.结合题目中给出的四个选项可知,选项A符合要求.7.答案x2+y2-12x+4=0解析设M(x,y),因为|MA||MB|=√2,所以√(x+2)2+y2√(x-2)+y2=√两边平方并化简,得x2+y2-12x+4=0.经检验,上式就是所求圆的方程.8.答案(1)y=0(或x=52)(2)[0,5]解析(1)由W的方程知,若(x,y)是曲线上的点,则(x,-y)也是曲线上的点,因此直线y=0是曲线W的一条对称轴.同理,易知直线x=52也是曲线W的一条对称轴.(2)由|y|+x2-5x=0得|y|=-x2+5x,因为|y|≥0,所以-x2+5x≥0,解得0≤x≤5.9.解析因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在曲线x2+2y2=1上,所以x12+2y12=1,x22+2y22=1,两式相乘得x12x22+4y12y22+2x12y22+2x22y12=1①.因为k OA·k OB=-12,所以y1x1·y2x2=-12,因此x1x2+2y1y2=0,两边平方,得x12x22+4y12y22+4x1x2y1y2=0②.①-②,得2(x1y2-x2y1)2=1,所以x1y2-x2y1=±√22.又直线OA 的方程为y=y1x 1x,即y 1x-x 1y=0,点B 到直线OA 的距离d=|y 12-y 21|√x 12+y 12,于是S △AOB =12|OA|·d=12·√x 12+y 12·|y 12-y 21|√x 12+y 12=12|y 1x 2-y 2x 1|=√24.10.解析 (1)设点B 的坐标为(x 0,y 0),则y 0≥0,设线段AB 的中点为M(x,y).因为点B 在曲线Γ上,所以x 02+y 02=1①.因为M 为线段AB 的中点, 所以{x =x 0+22,y =y 02,则{x 0=2x -2,y 0=2y ,代入①式得(2x-2)2+4y 2=1, 化简得(x-1)2+y 2=14,其中y≥0.故线段AB 的中点的轨迹方程为(x-1)2+y 2=14(y≥0).(2)如图所示,将△OAB 绕点A 顺时针旋转90°得到△DAC,易得D(2,2),结合图形可知,点C 在曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上运动,则问题转化为求原点O 到曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上一点C 的距离的最大值. 连接OD 并延长交曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)于点C',当点C 与C'重合时,|OC|取得最大值,且|OC|max =|OD|+1=2√2+1.。