曲线与方程、圆的方程江苏 郑邦锁1．曲线C 的方程为:f(x,y)=0⇔曲线C 上任意一点P （x 0,y 0）的坐标满足方程f(x,y)=0，即f （x 0,y 0）=0；且以f(x,y)=0的任意一组解（x 0,y 0）为坐标的点P （x 0,y 0）在曲线C 上。
依据该定义：已知点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。
求动点P(x,y)的轨迹方程即求点P 的坐标(x,y)满足的方程（等式）。
求动点轨迹方程的步骤：①建系，写（设）出相关点的坐标、线的方程，动点坐标一般设为(x,y)，②分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，③化简，④验证：满足条件的点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都满足条件。
[举例1] 方程04)1(22=-+-+y x y x 所表示的曲线是： （ ）A B C D解析：原方程等价于：⎩⎨⎧≥+=--40122y x y x ，或422=+y x ； 其中当01=--y x 需422-+y x 有意义，等式才成立，即422≥+y x ，此时它表示直线01=--y x 上不在圆422=+y x 内的部分，这是极易出错的一个环节。
选D 。
[举例2] 已知点A （－1，0），B （2，0），动点M 满足2∠MAB=∠MBA ，求点M 的轨迹方程。
解析：如何体现动点M 满足的条件2∠MAB=∠MBA是解决本题的关键。
用动点M 的坐标体现2∠MAB=∠MBA 的最佳载体是直线MA 、MB 的斜率。
设M （x ，y ），∠MAB=α，则∠MBA=2α，它们是直线 MA 、MB 的倾角还是倾角的补角，与点M 在x 轴的上方 还是下方有关；以下讨论：① 若点M 在x 轴的上方, ,0),90,0(00>∈y α此时，直线MA 的倾角为α，MB 的倾角为π-2α，,2)2tan(,1tan -=-+==∴x y x y k MA απα （2090≠α） ,2tan )2tan(ααπ-=- ,)1(112222+-+∙=--∴x y x yx y得： 1322=-y x ，∵1,>∴>x MB MA ．当2090=α时, α=450，MAB ∆为等腰直角三角形,此时点M 的坐标为(2,3)，它满足上述方程． ②当点M 在x 轴的下方时, y ＜０，同理可得点M 的轨迹方程为)1(1322≥=-x y x , ③当点M 在线段AB 上时,也满足2∠MAB=∠MBA,此时y=0(-1＜ｘ＜２)． 综上所求点的轨迹方程为)21(0)1(1322<<-=≥=-x y x y x 或．[巩固1]右图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则它的方程是A ．（21y x -+）·（21x y -+）=0B ．（21y x --）·（21x y --）=0C ．（21y x -+）·（21x y --）=0D ．（21y x --）·（21x y -+）=0[巩固2]已知点R （-3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足RP ·PM =0，2PM +3MQ =0，当点P 移动时，求M 点的轨迹方程。
[迁移]正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 是棱AB 的中点，点P 是平面ABCD 上的一动点，且点P 到直线A 1D 1的距离两倍的平方比到点M 的距离的平方大4，则点P 的轨迹为： A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线2．圆的标准方程刻画了圆的位置特点（圆心与半径），圆的一般方程反映了圆的代数特点（二元二次方程Ax 2+By 2+Cxy+Dx+Ey+F=0⇔A=B ≠0，C=0,且D 2+E 2-4AF>0）。
判断点P （x 0,y 0）与⊙M ：(x-a)2+(y-b)2= r 2的位置关系，用|PM|与r 的大小，即：|PM|>r ⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2> r 2⇔P 在⊙M 外；|PM|<r ⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2< r 2⇔P 在⊙M 内；|PM|=r ⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2= r 2⇔P 在⊙M 上。
过两个定点A 、B 的圆,圆心在线段AB 的中垂线上。
[举例1]一圆经过A （4，2），B （-1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2，则圆的方程为 。
解析：研究圆在坐标轴上的截距，宜用一般方程（因为与圆心、半径没有直接联系），设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,∵圆过点A 、B ，∴4D+2E+F+20=0 ①，-D+3E+F+10=0 ②，圆在x 轴上的截距即圆与x 轴交点的横坐标，当y=0时，x 2+Dx+F=0，x 1+x 2=-D圆在y 轴上的截距即圆与y 轴交点的纵坐标，当x=0时，y 2+Ey+F=0，y 1+y 2=-E由题意知：-D-E=2 ③，解①②③得D=-2，E=0，F=-12。
[举例2]若存在实数k 使得直线l ：kx-y-k+2=0与圆C ：x 2+2ax+y 2-a+2=0无公共点，则实数a 的取值范围是： 。
解析：本题看似直线远的位置关系问题，其实不然。
注意到直线l 对任意的实数k 恒过定点M （1，2），要存在实数k 使得直线l 与⊙C 相离，当且仅当M 点在圆外；方程x 2+2ax+y 2-a+2=0变形为：(x+a)2+y 2= a 2+a -2, M 点在⊙C 外⇔(1+a)2+4>a 2+a -2>0，解得：-7<a<-2或a>1. 注：本题中a 2+a -2>0是极易疏漏的一个潜在要求。
[巩固1]过点A （3，-2），B （2，1）且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程是 。
[巩固2]已知定点M(x 0,y 0)在第一象限，过M 点的两圆与坐标轴相切，它们的半径分别为r 1，r 2,则r 1r 2= 。
[迁移] 关于曲线42:1C x y +=给出下列说法：①关于直线0y =对称；②关于直线0x =对称；③关于点(0,0)对称；④关于直线y x =对称；⑤是封闭图形，面积小于π；⑥是封闭图形，面积大于π；则其中正确说法的序号是3．涉及直线与圆的位置关系的问题，宜用圆心到直线的距离d 来研究。
d =r （r 为圆的半径）⇔直线与圆相切；过圆x 2+y 2=r 2上一点M (x 0,y 0)的切线方程为x 0x+y 0y=r 2；过圆x 2+y 2=r 2外一点M (x 0,y 0)作圆的两条切线，则两切点A 、B 连线的直线方程为x 0x+y 0y=r 2。
过⊙A 外一点P 作圆的切线PQ （Q 为切点），则|PQ|=22||r PA -。
d <r ⇔直线与圆相交，弦长|AB|=222d r -;过直线A x +B y +C =0与圆：F Ey Dx y x ++++22=0的交点的圆系方程：F Ey Dx y x ++++22+λ（A x +B y +C ）=0 。
d >r ⇔直线与圆相离,圆周上的点到直线距离的最小值为d -r ，最大值为d +r 。
[举例1] 从直线x -y+3=0上的点向圆1)2()2(22=+++y x 引切线，则切线长的最小值是 A.223 B.214 C.423 D. 223-1 解析：圆1)2()2(22=+++y x 的圆心A （-2，-2），直线x -y+3=0上任一点P ，过引圆的切线PQ （Q 为切点），则|PQ|=1||2-PA ，当且仅当|PA|最小时|PQ|最小，易见|PA|的最小值即A 到直线x -y+3=0的距离，为223，此时|PQ|=214，选B 。
[举例2] 能够使得圆222410x y x y +-++=上恰有两个点到直线20x y c ++=距离等于1的c 的一个值为：A ．2 C ．3 D ．解析：本题如果设圆上一点的坐标，用点到直线的距离公式得到一个方程，进而研究方程解的个数，将是非常麻烦的。
注意到圆心M （1，-2），半径r =2，结合图形容易知道，当且仅当M 到直线l ：20x y c ++=的距离d ∈（1，3）时，⊙M 上恰有两个点到直线l 的距离等于1，由d =5||c ∈（1，3）得：)53,5()5,53(⋃--∈c ，选C 。
[巩固1] 若直线(1+a)x +y +1=0与圆x 2+y 2－2x =0相切，则a 的值为 （ ）（A ）1，－1 （B ）2，－2 （C ）1 （D ）－1[巩固2]直线l 1：y=kx +1与圆C ：x 2+y 2+2kx+2my=0的两个交点A 、B 关于直线l 2：x+y=0对称，则CB CA ⋅= 。
[迁移]实数x ,y 满足24,012222--=+--+x y y x y x 则的取值范围为 （ ）A ．),34[+∞ B ．]34,0[ C ．]34,(--∞ D ．)0,34[- 4．判断两圆的位置关系用圆心距与它们半径和、差的大小。
⊙M 、⊙N 的半径分别为1r 、2r ， |MN|>1r +2r ⇔外离，|MN|=1r +2r ⇔外切，|1r -2r |<|MN|<1r +2r ⇔相交，此时，若⊙M ：011122=++++F y E x D y x ，⊙N ：022222=++++F y E x D y x ，过两圆交点的圆（系）的方程为：11122F y E x D y x +++++λ（22222F y E x D y x ++++）=0（⊙N 除外）。
特别地：当λ= -1时，该方程表示两圆的公共弦。
连心线垂直平分公共弦。
|MN|=|1r -2r |⇔内切，|MN|<|1r -2r |⇔内含。
[举例1]已知两圆O 1：x 2+y 2=16，O 2：(x-1)2+(y+2)2=9，两圆公共弦交直线O 1O 2于M 点，则O 1分有向线段MO 2所成的比λ= （ ）A ．56B ．65C ．-56 D ．-65 解析：直线O 1 O 2：y= -2x ，两圆公共弦：x-2y=6，于是有：M （56，512-），有定比分点坐标公式不难得到λ的值，选C 。
[举例2] 若,}1)2(|),{(},16|),{(2222B B A a y x y x B y x y x A =-≤-+=≤+= 且 则a 的取值范围是 （ ） A ．1≤a B ．5≥a C ．51≤≤a D ．5≤a解析：集合A 、B 分别表示两个圆面（a=1时集B 表示一个点），A ∩B=B ⇔B ⊂A ，即两圆内含；有两圆圆心分别为原点和（0，2），半径分别为4和1-a ，于是有：2≤4-1-a ,解得：51≤≤a ，选C 。