24.4弧长和扇形面积
第1课时弧长和扇形面积
一、新课导入
1.导入课题：
情景：制造弯形管道时,经常要先按中心线计算“展直长度”(图中虚线的长度),再下料,这就涉及到计算弧长的问题.
问题：怎样求一段弧的长度呢？
这就是这节课我们所要研究的问题(板书课题).
2.学习目标：
（1）能推导弧长和扇形面积的计算公式.
（2）知道公式中字母的含义,并能运用这些公式进行相关计算.
3.学习重、难点：
重点：弧长公式及扇形面积公式与应用.
难点：阴影部分面积的计算.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第111页的内容.
（2）自学时间：6分钟.
（3）自学要求：注意公式的推导和记忆.
（4）自学参考提纲：
①圆的周长公式是什么？C＝2πR.
②弧有长度吗？弧的长度和它所在的圆周长有何关系？
圆可以看作是360度的圆心角所对的弧.
1°的圆心角所对的弧长是圆周长的几分之几？1
360
n°的圆心角所对的弧长是圆周长的几分之几？n
360
所以在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的公式是
n R
l
π
=
180
.
③由弧长公式可知,一条弧的弧长l、圆心角度数n和圆半径R,在这三个量中,已知其中
的两个,就可求出第三个.
如已知l 和n,则R ＝l n π180；已知l 和R,则n ＝l R
π180. ④计算图中弯道的“展直长度”.
解：由弧长公式,得AB 的长l π⨯⨯=100900180
≈1570(mm). 因此所要求的展直长度L=2×700+1×1570=2970(mm).
2.自学：学生结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生对弧长公式的推导和变形过程.
②差异指导：根据学情进行指导. （2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：
（1）弧长公式、公式的书写格式及其变形.
（2）有一段弯道是圆弧形的,道长是12米,弧所对的圆心角是81°,求这段圆弧的半径R （精确到0.1米）.
解：由n l R π=180
得l R .n .π⨯==≈⨯180180128581314 (米).
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第112页到第113页“练习”之前的内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：完成自学参考提纲.
（4）自学参考提纲：
①圆的面积公式是什么？S ＝πR 2
②什么叫扇形？扇形的面积和它所在的圆的面积有何关系？
圆的面积可以看作是圆心角为 360 度的扇形面积.
圆心角为1°的扇形的面积是圆的面积的几分之几？1360
圆心角为n°的扇形的面积是圆的面积的几分之几？n 360
所以在半径为R 的圆中,圆心角为n°的扇形的面积S 扇形的公式是扇形＝n R S π2360. ③试推导扇形的面积公式扇形S lR =12
（这里的l 指扇形的弧长,R 指半径）. 扇形n R n R S R lR ππ===21136021802
. ④如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m,其中水面高0.3m.求截面上有水部分的面积（精确到0.01m 2）.
a.怎样求圆心角∠AOD 的度数？
在Rt △ADO 中,OD=OC-DC=0.3m,OA=0.6m.∴∠A=30°.∴∠AOD=60°.
∴∠AOB=2∠AOD=120°.
b.阴影部分的面积=扇形AOB 的面积-△AOB 的面积.
c.写出本题的解答过程.
解：如图,连接OA 、OB,作弦AB 的垂直平分线,垂足为D,交AB 于点C,连接AC. ∵OC ＝0.6m,DC ＝0.3m,∴OD ＝OC-DC ＝0.3（m ）.∴OD ＝DC.又AD ⊥DC,∴AD 是线段OC 的垂直平分线.∴AC ＝AO ＝OC.从而∠AOD ＝60°,∠AOB ＝120°.
∴扇形有水部分的面积＝＝＝（）OAB OAB S S S .AB?OD ....m ππ-⨯--⨯⨯≈2212011060120630302236022
. 2.自学：学生结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生在推导扇形面积公式及求例2中∠AOD 时遇到的困难情况. ②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：
（1）扇形面积公式及推导过程和公式的变形.
（2）求不规则图形的面积的方法：转化为规则图形的面积和或差.
（3）练习：已知正三角形ABC 的边长为a,分别以A 、B 、C 为圆心,以12a 为半径的圆相切于点D 、 E 、F,求图中阴影部分的面积S.
解：连接AD,则AD ⊥BC, AD a =3. ∴
阴影扇形ABC AFE
a S S S BC?AD a a ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-⨯=-⨯=-2
22160131233236048
. 三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？还有什么疑惑？
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：点评学生学习的主动参与性、小组交流协作能力和状况、存在的问题等.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:本节课从复习圆周长公式入手,根据圆心角与所对弧长之间的关系,推导出了弧长公式.后又用类比的方法,推出扇形面积,两个公式的推导中,都渗透着由“特殊到一般”,再由“一般到特殊”的辩证思想,然后由学生比较两个公式时,又很容易得出两者之间的关系,明确了知识间的联系.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.(10分)已知扇形的圆心角为120°,半径为6,则扇形的弧长是4π.
2.(10分)75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm ,则此弧所在的圆半径是6cm.
3.(10分)一个扇形的弧长为20πcm ,面积是240πcm 2,则扇形的圆心角是150°.
4.(20分)如图是一段弯形管道,其中,∠O=∠O′=90°,中心线的两条圆弧半径都为1000mm,求图中管道的展直长度.（π取3.142）
解：π⨯⨯+⨯≈901000300026142180
（mm ）. 答：图中管道的展直长度约为6142mm.
5.(20分)草坪上的自动喷水装置能旋转220°,如果它的喷射半径是20m,求它能喷灌的草坪的面积.
解：()S m ππ⨯⨯==222202022003609
. 答：它能喷灌的草坪的面积为m π222009
. 二、综合应用（20分）
6.(20分)如图,扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB 、AC 夹角为120°,AB 的长为30cm,贴纸部分BD 的长为20cm,求贴纸部分的面积. 解：扇形ABC S ππ⨯⨯==212030300360 (cm 2), 扇形（）ADE S ππ⨯⨯-==212030*********
(cm 2), ∴贴纸扇形扇形ABC ADE S S S πππ=-=-=10080030033
(cm 2). 答：贴纸部分的面积是π8003
cm 2
. 三、拓展延伸（共10分）
7.(10分)正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆,求图中阴影部分的面积.
解：方法一：阴影（）＝a S a a a ππ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
22222122. 方法二：阴影＝a S a a ππ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2
2241222. 答：图中阴影部分的面积为a π⎛⎫- ⎪⎝⎭
212.。