北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学测试题（文史类）2018.5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项：1.答第一部分前，考生必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。

考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集U=R，集合A={x︱2x＞1},B={x︱11x->0},则A∩(C U B)=(A){x︱x>1} (B){x︱0<x<1} (C){x︱0<x≤1} (D){x︱x≤1}（2）设x,y∈R那么“x>y>0”是“xy>1”的（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要条件（3）已知cosα＝35，0＜α＜π,则tan(α+4π)＝（A）15（B）-1 （C）17（D）-7（4）双曲线22169x y-＝1的焦点到渐近线的距离为（A）2 （B）3 （C）4 （D）5（5）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，若三棱柱的正视图（如图所示）的面积为8,则侧视图的面积为（A）8 （B）4 （C）43（D）3（6）连续抛两枚骰子分别得到的点数是a,b,则向量（a,b）与向量（1,-1）垂直的概率是（A）512（B）16（C）13（D）12（7）已知函数f(x)＝x2-cosx,则f(-0.5)，f(0), f(0.6)的大小关系是（A）f(0)＜f(-0.5)＜f(0.6) （B）f(-0.5)＜f(0.6)＜f(0)（C）f(0)＜f(0.6)＜f(-0.5) （D）f(-0.5)＜f(0)＜f(0.6)（8）已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC.设△ABC,△PBC,△PCA,△PAB的面积分别为S,S1 ,S2 ,S3 ,记1 S S =1λ,2SS=2λ,3SS=3λ，定义M(P)＝（1λ，2λ，3λ），则当2λ·3λ取最大值时，M(P)等于（A ）（12，14，14） （B ）（14，14，12） （C ）（13，13，13） （D ）（12，12，12）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

（9）设i 为虚数单位，复数z 满足iz=1-i,则z=_________. （10）已知向量a,b 的夹角为60°，3a =，2b =，若a ⊥（ma+2b ）,则实数m 的值为 .（11）如图，一艘船上午8：00在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处,且与它相距42n mile ，则此船的航行速度是 n mile ／h.（12）右边程序框图的程序执行后输出的结果是 。

（13）某射击运动员在一组射击训练中共射击5次，成绩统计如下表：环数 8 9 10 次数221则这5次射击的平均环数为 ；5次射击的方差为 .（14）已知区域D ：y 2,20,10.x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则x 2+y 2的最小值是 ；若圆C ：(x-a)2+(y-2)2＝2与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题满分13分）已知函数f（x）＝2sin xcosx-2sin2x+1.（I）求函数f（x）的最小正周期及值域；（II）求f（x）的单调递增区间.（16）（本小题满分13分）设{a n}是一个公差为2的等差数列，a1,a2,a4成等比数列.（I）求数列{a n}的通项公式a n；（II）数列{b n}满足b n＝2n a，求b1·b2·…·b n(用含n的式子表示).（17）（本小题满分13分）在长方形AA1 B1 B中，AB＝2AA1 =4,C,C1分别是AB，A1 B1的中点（如左图）。

将此长方形沿CC1对折，使平面AA1C1C⊥平面CC1B1 B（如右图），已知D,E分别是A1 B1，CC1的中点。

（I）求证：C1D∥平面A1BE；（II）求证：平面A1BE⊥平面AA1 B1 B；（III）求三棱锥C1－A1BE的体积.（18）（本小题满分13分）已知函数f(x)=x e-ax, a∈R.（I）求函数f(x)的单调区间；（II）当x∈[0,+∞）时，都有f(x)≥0成立，求实数a的取值范围.（19）（本小题满分14分）已知椭圆C：22221x ya b+=（a＞b＞0）经过点A（2,1），离心率为22.（I）求椭圆C的方程；（II）过点（3,0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N，设直线AM和直线AN的斜率分别为K AM和K AN,求证：K AM+K AN为定值。

（20）（本小题满分14分）对于正整数a,b，存在唯一一对整数q和r，使得a=bq+r,0≤r<b.特别地，当r=0时，称b能整除a,记作b︱a,已知A｛1,2,3,…，23｝。

（I）存在q∈A,使得2018＝91q+r（0≤r<91），试求q,r的值；（II）若B∈A，card(B)=12(card(B)指集合B中的元素的个数),且存在a,b∈B,b<a, b︱a,则称B为“和谐集”。

求最大的m∈A，使含m的集合A的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学测试题答案（文史类）2018.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案 C B D B C B A A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

题号 （9） （10） （11） （12） （13） （14）答案-1－i-2316358.80.564[-2,5]三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题满分13分） 解：（I ）f(x)＝sin2x+cos2x ＝2 sin （2x+4π）, ……………………………………………4分 则函数f(x)的最小正周期是π. …………………………………………………………6分 函数f(x) 的值域是[–2，2]. ……………………………………………………8分（II ）依题意得2k π－2π≤2x+4π≤2k π+2π(k ∈Z), ……………………………………10分 则k π－38π≤x ≤k π+8π(k ∈Z). ……………………………………………………12分即f(x) 的单调递增区间是[k π－38π，k π+8π](k ∈Z). …………………………13分（16）（本小题满分13分）解：（I ）由a 1,a 2,a 4成等比数列得：（a 1+2）2＝a 1（a 1+6）. …………………………………2分 解得a 1＝2. ………………………………………………………………………………4分 数列{a n }的通项公式是a n ＝2n(n ∈N *）. ………………………………………………6分 （II ）b n ＝2na ＝4n (n ∈N *）. ……………………………………………………………8分则b 1·b 2·…·b n ＝41 + 2+ … + n……………………………………………………………10分＝()()111242n n n n ++=(n ∈N *）. ……………………………………13分（17）（本小题满分13分）证明：（I ）取A 1 B 的中点F ，连接DF,EF. ……………………………………………………1分 因为D,F 分别是A 1 B 1，A 1 B 的中点，所以DF 是△A 1 BB 1的中位线. …………………………………………………………2分所以DF ∥BB 1∥CC 1，且DF ＝12BB 1＝12CC 1.又因为E 是CC 1的中点， 所以C 1E ＝12CC 1.所以DF ∥C 1E ，且DF ＝C 1E.所以四边形C 1EFD 是平行四边形.………………………………………………………3分 所以C 1D ∥EF.又EF ⊂平面A 1 BE ，C 1D ⊄平面A 1 BE ，…………………………………………………4分所以C 1D ∥平面A 1 BE. ……………………………………………………………………5分（II ）因为CC 1⊥A 1C 1，CC 1⊥B 1C 1且A 1C 1∩B 1C 1＝C 1，所以CC 1⊥平面A 1C 1B 1.因为BB 1∥CC 1，所以BB 1⊥平面A 1C 1B 1.因为C 1D ⊂平面A 1C 1B 1，所以BB 1⊥C 1D.……………………………………………………6分 又A 1C 1＝C 1B 1，且D 是A 1 B 1的中点，所以C 1D ⊥A 1 B 1.………………………………………7分 因为A 1 B 1∩BB 1＝B 1，所以C 1D ⊥平面AA 1 B 1 B.………………………………………………8分 由（I ）知EF ∥C 1D. 所以EF ⊥平面AA 1 B 1 B. 又因EF ⊂平面A 1 BE ，所以平面A 1 BE ⊥平面AA 1 B 1 B.………………………………………………………………10分解：（III ）由已知，长方形AA 1 B 1 B 沿CC 1对折后AC ＝BC ＝2,AB ＝22.所以AB 2＝AC 2+BC 2.所以BC ⊥AC ，且BC ⊥CC 1，AC ∩CC 1＝C. 所以BC ⊥平面AA 1CC 1.即BC ⊥平面A 1EC 1. ………………………………………………………………………11分所以11C A BE V -＝11B A EC V -＝1311A EC S ·BC. …………………………………………12分 其中11A EC S ＝12A 1C 1·C 1E ＝12·2·1＝1.所以11C A BE V -＝11B A EC V -＝1311A EC S ·BC ＝13·1·2＝23.………………………13分（18）（本小题满分13分）解：（I ）f(x)的定义域是（-∞，+∞），f ′(x)＝xe -a. …………………………………2分 （1）当a ≤0时，f ′(x) ＞0成立，f(x)的单调增区间为（-∞，+∞）；……………3分 （2）当a ＞0时，令f ′(x) ＞0，得x ＞㏑a ，则f(x)的单调增区间是（㏑a ，+∞）. ………………4分 令f ′(x) ＜0，得x ＜㏑a ，则f(x)的单调减区间是（-∞，㏑a ）. ………………5分综上所述，当a ≤0时，f(x)的单调增区间为（-∞，+∞）；当a ＞0时，f(x)的单调减区间是（-∞，㏑a ），f(x)的单调增区间是（㏑a ，+∞）. ……………………………6分（II ）当x ＝0时，f(x)＝1≥0成立，a ∈R. ……………………………………………7分 当x ∈（0，+∞）时，f(x)=xe -ax ≥0成立，即x ∈（0，+∞）时，a ≤xe x 成立.设g （x ）＝xe x，……………………………………………………………………………9分所以g ′（x ）=2x xxe e x -＝()21xx e x -.……………………………………………10分当x ∈（0,1）时，g ′（x ）＜0，函数g （x ）在（0,1）上为减函数；……………11分 x ∈（1, +∞）时, g ′（x ）＞0，函数g （x ）在（1, +∞）上为增函数. ………12分 则g （x ）在x ＝1处取得最小值，g （1）＝e.则a ≤e.综上所述，x ∈[0, +∞）时, f(x)≥0成立的a 的范围是（-∞，e]. ……………13分 （19）（本小题满分14分）解：（I ）由题意得22222411,,2.2a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩………………………………………………………2分解得a ＝6，b ＝3. ……………………………………………………………4分故椭圆C 的方程为22163x y +=.……………………………………………………5分 （II ）由题意可设直线l 方程为y=k(x-3),由22(3),1,63y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得（1+2k 2）x 2－12k 2x+18k 2－6=0. ……………………………7分 因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点M,N,所以△＝144k 4－4（1+2k 2）（18k 2－6）＝24（1－k 2）＞0.解得-1＜k ＜1. ………8分设M,N 的坐标分别为（x 1 ,y 1）,（x 2 ,y 2）,则x 1+x 2＝221212k k +，x 1x 2＝2218612k k-+，……………………………………………10分 y 1＝k （x 1－3）, y 2＝k （x 2－3）. 所以K AM +K AN ＝12121121y y x x --+-- ………………………………………………12分 ＝122112(31)(2)(31)(2)(2)(2)kx k x kx k x x x ---+-----＝121212122(51)()1242()4kx x k x x k x x x x -++++-++＝2222222(186)(51)12(124)(12)186244(12)k k k k k k k k k --++++--++＝224422k k -+-＝-2. 所以K AM +K AN 为定值-2. ………………………14分（20）（本小题满分14分）（I ）解：因为2018＝91q+r ，所以2018＝91×22+9. ……………………………………2分 又因为q ∈A ，所以q ＝22,r ＝9. ………………………………………………………4分 （II ）含有元素7的一个“和谐集”B 0＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.………………5分含有元素8的非“和谐集”C ＝{8,9,10,11,12，13,14,15,17,19,21,23}.…………7分 当m ＝8时，记M ＝{7+i ︱i=1,2,…,16},N={2(7+i)︱i=1,2,3,4},记P ＝m C N ,则card(P)=12. 显然对任意1≤i ＜j ≤16,不存在n ≥3,使得7+j ＝n(7+i)成立.故P 是非“和谐集”此时P＝{8,9,10,11,12,13,14,15,17,19,21,23}.同理，当m ＝9,10,11,12时，存在含m 的集合A 的有12个元素的子集为非“和谐集”.因此m ≤7. ………………………………………………………………………………10分 下面证明：含7的任意集合A 的有12个元素的子集为非“和谐集”.设B＝{a1,a2,…,a11,7}.若1,14,21中之一为集合B的元素，显然为“和谐集”.现考虑1,14,21都不属于集合B，构造集合B1＝{2,4,8,16}，B2＝{3,6,12}，B3＝{5,10,20}，B4＝{9,18}，B5＝{11,22}，B′＝{13,15,17,19,23}.………………………………12分以上B1B2B3B4B5每个集合中的元素都是倍数关系.考虑B′ B的情况，也即B′中5个元素全都是B的元素，B中剩下6个元素必须从B1B2B3B4B5这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B中至少有两个元素存在倍数关系.综上所述，含7的含意集合A的有12个元素的子集B为“和谐集”，即m的最大值为7. ………………………………………………………………………………………………14分。