山东省泰安市2020届高三数学第五次模拟考试（全国模拟）试题本试卷共6页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看讲解试题的视频。

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z 满足()14i z i z -⋅==，则B.2C.D.82.已知集合{}{}20,10A x x x B x x x =-<=><或，则 A.B A ⊆B.A B ⊆C.A B R ⋃=D.A B ⋂=∅3.已知集合0.130.2log 0.2,log 0.3,10,a b c ===则A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b c a <<4.()()311x x -+的展开式中，3x 的系数为 A.2B.2-C.3D.3-5.函数()()32sin 12x f x g x xπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=与的图象关于y 轴对称，则函数()f x 的部分图象大致为6．在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到sin3°的近似值为(π取近似值3.14) A.0.012 B.0.052 C.0.125D.0.2357.已知函数()()3211f x x gx x =+++，若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()220202020110,110=f a f a S -=--=，则A.4040-B.0C.2020D.40408.在四面体2,90ABCD BC CD BD AB ABC ====∠=中，，二面角A BC D --的平面角为150°，则四面体ABCD 外接球的表面积为 A.313π B.1243π C.31πD.124π二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．在疫情防控阻击战之外，另一条战线也日渐清晰——恢 复经济正常运行．国人万众一心，众志成城，防控疫情、复 工复产，某企业对本企业1644名职工关于复工的态度进行 调查，调查结果如图所示，则下列说法正确的是 A ．0.384x =疫情防控期间某企业复工职工调查B ．从该企业中任取一名职工，该职工是倾向于在家办公的概率 为0.178C ．不到80名职工倾向于继续申请休假D ．倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986名10.已知向量()()()()2,1,1,1,2,,,//a b c m n m n a b c ==-=---其中均为正数，且，下列说法正确的是A.a b 与的夹角为钝角B.向量a b 在方向上的投影为5C.24m n +=D.mn 的最大值为211.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆()()22344E x y ++-=：上，且圆E 上的所有点均在椭圆C 外，若PQ PF -的最小值为6，且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则下列说法正确的是A.椭圆C 的焦距为2B.椭圆CC.PQ PF +的最小值为D.过点F 的圆E 的切线斜率为43-± 12.已知函数()=cos sin f x x x -，则下列结论中，正确的有 A.π是()f x 的最小正周期 B.()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C.()f x 的图象的对称轴为直线()4x k k Z ππ=+∈D.()f x 的值域为[]0,1三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若曲线()()()ln 11f x x x x f =+在点，处的切线与直线240x ay +-=平行，则a =_________.14.已知圆锥的顶点为S ，顶点S 在底面的射影为O ，轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为__________，点D 为母线SB 的中点，点C 为弧AB 的中点，则异面直线CD 与OS 所成角的正切值为________.15．CES 是世界上最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会．2020CES 消费电子展于2020年1月7日—10日在美国拉斯维加斯举办．在这次CES 消费电子展上，我国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机，惊艳了全场．若该公司从7名员工中选出3名员工负责接待工作(这．3名员工的工作视为相同的工作．．．．．．．．．．．．．)，再选出2名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能，若其中甲和乙至多有1人负责接待工作，则不同的安排方案共有__________种．16．已知点12F F ，分别为双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左、右焦点，点A ，B 在C 的右支上，且点2F 恰好为1F AB ∆的外心，若()110BF BA AF +⋅=，则C 的离心率为__________． 四、解答题(本题共6小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在①2sin cos cos cos a C B C C =；②5cos 45c B b a +=；③()2cos b a C -=cos c A ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ．且满足_________． (1)求sinC ；(2)已知5,a b ABC +=∆，求△ABC 的边AB 上的高h ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a n =+-. (1)求证：数列{}1n a +为等比数列；(2)设()1n n b n a =+，求数列{}n b 的n 项和n T ．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB//CD ，,2BC CD AB BC ⊥==2,CD EAB AB ∆是以为斜边的等腰直角三角形，且平面EAB ⊥平面ABCD ，点F 满足，([])=01EF EA λλ∈，.（1）试探究λ为何值时，CE//平面BDF ，并给予证明； （2）在（1）的条件下，求直线AB 与平面BDF 所成角的正弦值.20.（本小题满分12分） 已知点()0,2M -，点P 在直线21216y x =+上运动，请点Q 满足12MQ MP =，记点Q 的为曲线C.（1）求曲线C 的方程；（2）设()()0,3,0,3D E -，过点D 的直线交曲线C 于A ，B 两个不同的点，求证，2AEB AED ∠=∠.21.（本小题满分12分） 已知函数()cos ,,2xf x e x x π⎡⎫=-∈-+∞⎪⎢⎣⎭，证明. （1）()f x 存在唯一的极小值点；（2）()f x 的极小值点为()00,10x f x -<<则.22．(本小题满分12分)十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫．某县积极引导农民种植一种名贵中药材，从而大大提升了该县村民的经济收入．2019年年底，该机构从该县种植的这种名贵药材的农户中随机抽取了100户，统计了他们2019年因种植，中药材所获纯利润(单位：万元)的情况(假定农户因种植中药材这一项一年最多获利11万元)，统计结果如下表所示：(1)由表可以认为，该县农户种植中药材所获纯利润Z(单位：万元)近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x (每组数据取区间的中点值)，2σ近似为样本方差222.1s ≈．若该县有1万户农户种植了该中药材，试估算所获纯利润Z 在区间(1.9，8.2)的户数；(2)为答谢广大农户的积极参与，该调查机构针对参与调查的农户举行了抽奖活动，抽奖规则如下：在一箱子中放置5个除颜色外完全相同的小球，其中红球1个，黑球4个．让农户从箱子中随机取出一个小球，若取到红球，则抽奖结束；若取到黑球，则将黑球放回箱中，让他继续取球，直到取到红球为止(取球次数不超过10次)．若农户取到红球，则视为中奖，获得2000元的奖励，若一直未取到红球，则视为不中奖．现农户张明参加了抽奖活动，记他中奖时取球的次数为随机变量X ，他取球的次数为随机变量Y ． (i)证明：(){}(),110P X n n N n *=∈≤≤为等比数列； (ii)求Y 的数学期望．(精确到0.001)参考数据：9100.80.1342,0.80.1074≈≈．若随机变量()(2~,Z NP Z μσμσ-<≤，则)()=0.6827220.9545P Z μσμσμσ+-<≤+=，.全国高考模拟试题 数学试题参考答案一、单项选择题：二、多项选择题：三、填空题：13.1- 14. 2π四、解答题： 17.解：选择条件①：（1）因为2sin cos cos cos a C B C C =，所以由正弦定理得2sin sin cos cos cos A C C B C B C =+，即()sin sin sin cos sin cos A C C C B B C +，故sin sin sin A C C A =. （3分） 又()0,sin 0A A π∈≠，故，所以sin tan C C C ==，即由()0,3C C ππ∈=，得.所以sin sin3C π==（5分）（2）由正弦定理得2433c π=⨯=， （6分） 由余弦定理得()22222cos3163c a b ab a b ab π=+-=+-=，所以()21633a b ab ab +-==，故. （8分）于是得ABC ∆的面积11sin 22S ab C ch ==，所以3sin 248ab Ch c⨯===. （10分） 选择条件②：（1）因为5cos 45c B b a +=，由正弦定理得5sin cos 4sin 5sin C B B A +=，即()5sin cos 4sin 5sin 5sin cos 5cos sin C B B B C B C B C +=+=+，于是()sin 45cos 0B C -=. （3分）在sin 0ABC B ∆≠中，， 所以4cos 5C =，3sin 5C ==. （5分） （2）由正弦定理得325c ==， （6分） 由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-()218192525a b ab =+-=， 所以()21925433251890ab a b ⎡⎤=+-⨯=⎢⎥⎣⎦， （8分） 于是得ABC ∆的面积11sin 22S ab C ch ==，所以sin 4333905720ab C h c ==⨯=.（10分） 选择条件③：（1）因为()2cos cos b a C c A -=， 所以由正弦定理得()2sin sin cos sin cos B A C C A -=，所以()2sin cos sin sin B C A C B =+=， （3分）因为()0,B π∈，所以1sin 0cos 2B C ≠=，所以， 又()0,A π∈， 所以3C π=，所以sin 2C =. （5分） （2）由正弦定理得2433c π=⨯=， （6分） 由余弦定理得()22222cos3163c a b ab a b ab π=+-=+-=，所以()21633a b ab ab +-==，故. （8分）于是得ABC ∆的面积11sin 22S ab C ch ==，所以3sin 24ab Ch c===. （10分） 18.解：（1）因为21n n S a n =+-，① 所以()()112112n n S a n n --=+--≥.② 当2n ≥时，由①—②得121n n a a -=+，即()1121n n a a -+=+， （3分） 所以()11221n n a n a -+=≥+.当11111=20,11n S a a a ==+=时，，即. （4分） 所以数列{}1n a +是以1为首项，2为公比的等比数列. （6分） （2）由（1）知112n n a -+=， （7分）所以()112n n n b n a n -=+=⋅. （8分）所以01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+，③ 则12321222322nn T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+，④由③—④，得()0121121212122121n n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-=--，所以()121n n T n =-+. （12分） 19.解：（1）当13λ=时，CE//平面FBD. （1分） 证明如下：连接AC ，交BD 于点M ，连接MF. 因为AB//CD ， 所以AM:MC=AB:CD=2:1 又13EF EA =， 所以FA:EF=2:1. 所以AM:MC=AF:EF=2:1.所以MF//CE. （4分） 又MF ⊂平面BDF ，CE ⊄平面BDF ，所以CE//平面BDF. （5分） （2）取AB 的中点O ，连接EO ，OD. 则EO AB ⊥.又因为平面ABE ⊥平面ABCD ，平面ABE ⋂平面,ABCD AB EO =⊂平面ABE ， 所以EO ⊥平面ABCD, 因为OD ⊂平面ABCD ， 所以EO OD ⊥.由BC CD ⊥，及AB=2CD ，AB//CD ，得OD AB ⊥，由OB,OD,OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .因为EAB ∆为等腰直角三角形，AB=2BC=2CD ， 所以OA=OB=OD=OE ， 设OB=1，所以()()()()0,0,0,1,0,0,1,0,0,1,1,0O A B C -,()()0,1,0,0,0,1D E .所以()()2,0,01,1,0AB BD ==-，, （7分）11112,0,,,0,33333EF EA F ⎛⎫⎛⎫==--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以43032FB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，. 设平面BDF 的法向量为(),,n x y z =，则有0,0,n BD n FB ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以0,420,33x y x z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取()11,1,2x n ==，得. （9分） 设直线AB 与平面BDF 所成的角为θ， 则sin cos ,AB n AB n AB nθ====. 即直线AB 与平面BDF 所成角的正弦值为6（12分） 20.解：（1）设()()00,,,Q x y P x y ，由12MQ MP =， 得()()001,2,22x y x y +=+，所以001,22,2x x y y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩即002,22,x x y y =⎧⎨=+⎩因为点P 在曲线21216y x =+上， 所以2001216y x =+. 即()21222216y x +=+，整理得28x y =.所以曲线C 的方程为28x y =. （5分） （2）直线AB 的斜率不上辈子在时，不符合题意； 当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的方程为3y kx =+，()()1122,,,A x y B x y . 由23,8,y kx x y =+⎧⎨=⎩ 得228240,64960x kx k --=∆=+>，可知12128,24x x k x x +==-， （7分） 直线AE ，BE 的斜率之和为121212123366AE BE y y kx kx k k x x x x +++++=+=+ ()121212264848024kx x x x k kx x ++-+===-.故AB,BE 的倾斜角互补.AED BED ∴∠=∠.2AEB AED ∴∠=∠. （2分）21.解：（1）()sin xf x e x '=+，设()()sin x g x f x e x '==+， 则()cos x g x e x '=+， 当[)(),0cos 0,1.0,12x x x e π⎡⎫∈-∈∈⎪⎢⎣⎭时，， 所以()0g x '>.当[)0,x ∈+∞时，()0cos 1cos 0g x e x x '≥+=+≥， 综上所述，当(),02x g x π⎡⎫'∈-+∞≥⎪⎢⎣⎭时，恒成立， 故()()2f x g x π⎡⎫'=-+∞⎪⎢⎣⎭在，上单调递增. 又()02110,0102f e e f ππ-⎛⎫''-=-<-==> ⎪⎝⎭，由零点存在定理可知，函数()2f x π⎡⎫'-+∞⎪⎢⎣⎭在区间，上存在唯一的零点00,02x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且.结合单调性可得()02f x x π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭在，上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以函数()f x 存在唯一极小值点0x . （5分）（2）由（1）知，020,0,11022x f e e πππ-⎛⎫⎛⎫'∈--=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且，11224211422f e eπππ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪'-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而122e e π>>，所以11222112eπ⎛⎫⎛⎫ ⎪< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即04f π⎛⎫'<⎪⎝⎭， ()00010f e '=+=>，故极小值点0,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭， 且()000sin 0xf x e x '=+=， 即()00sin .xe x =-*由（*）式，得()000cos xf x e x =-()000sin cos 2sin 4x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭.由0,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭， 得00,44x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以()02sin 1,04x π⎛⎫-+∈- ⎪⎝⎭， 即()010f x -<<. （12分） 22.解：（1）由题意知：所以样本平均数为20.140.1560.4580.2100.1 6.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）， 所以()2~ 6.1,2.1Z N ，所以()()2, 1.9,8.2μσμσ-+=， 而()()()112220.818622P P z P Z μσμσμσμσμσμσ-<Z <+=-<<++-<<+=. 故1万户农户中，Z 落在区间()1.98.2，的户数约为100000.8186=8186⨯. （4分）（2）（I ）每次取球都恰有15的概率取到红球. 则有()11111415555n n P X n --⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()114145551455nn P X n P X n -⎛⎫⎪=+⎝⎭===⎛⎫⎪⎝⎭， 故(){}(),110P X n n N n *=∈≤≤为等比数列. （7分） （II ）由（I ）可知，当()()9n P X n P Y n ≤===时，，()94105P Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故Y 的数学期望为()8914141412910555555E Y ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭891444129105555⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦设84412955S ⎛⎫=+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪⎝⎭,则2944441295555S ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 两式作差得91451455S ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，()991441051410555E Y S ⎛⎫⎛⎫∴=+⨯=-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭994454540.1342 4.46355⎛⎫⎛⎫⨯=-⨯≈-⨯≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（12分）。