层次分析模型一、层次分析法讲解在现实世界中，往往会遇到决策的问题，比如如何选择旅游景点的问题，选择升学志愿的问题等等。

在决策者作出最后的决定以前，他必须考虑很多方面的因素或者判断准则，最终通过这些准则作出选择。

比如下面的问题：例1 选择旅游地国庆节即将来临，张鶇一家准备去旅游，他们想从黄山、桂林、北戴河三个旅游景点选出一个，请帮助他们作出最佳选择。

根据什么作出选择呢？为解决这个问题，我们需要作问题的分析，以便得到选择景点要考虑的因素.问题的分析：景点的选择大体上有两方面要考虑：1、是旅游者自身的情况；2、是对景点的评价。

首先分析旅游者的情况：如果经济条件宽绰、醉心旅游，自然特别看重景色条件，那么景色在他的心目中的比重就大。

如果平素俭朴，则会优先考虑费用，即费用的比重就大.中老年旅游者还会对居住条件，旅游条件，饮食比较关注。

因此，应该考虑景色、费用、居住、饮食、旅途条件等因素在张鶇一家心目中的重要程度.如何衡量这五个因素的重要程度呢？其次，如何评价景点呢？自然应该就上面的五个因素景色、费用、居住、饮食、旅途条件对景点进行评价。

最后，还要把旅游者的情况和对景点的评价进行综合，以便选定最佳的旅游景点.可是如何综合呢？下面我们用层次分析法解决上面提出的问题。

层次分析法的第一步：建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立，把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。

大体可以分成三个层次：（1）最高层（目标层）：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果；（2）中间层（准则层）：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它还可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则；（3）最低层（方案层）：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等。

就本例题而言，通过上面的分析，我们可以建立如下层次模型：层次分析法的第二步：构造成对比较矩阵建立好层次后，就可以进行各因素之间的比较了.首先考虑对于选择旅游地而言，景色、费用、居住、饮食、旅途条件等准则在张鶇一家心目中的影响，即：对于第一层目标来说，第二层各因素的权重。

由于没有一个绝对的标准来衡量这五个准则的影响，因此层次分析法采用通过相互比较确定各准则对目标的影响(权重)。

具体做法是：通过与张鶇一家交谈，让他们用表一的尺度衡量这五个景色相互之间的重要性：表 一 比较尺度的取值方法i j C C 相等 稍微重要明显重要强烈重要极端重要尺度ij a13579注：如果对i j C C 的判断介于上述相邻判断之间，则ij a 的取值分别为2，4，6，8。

他们在这五个准则之间做了比较：12a =景色的重要性C 1：费用的重要性C 2=1：2 13a =景色的重要性C 1：居住条件的重要性C 3=4：1 14a =景色的重要性C 1 ：饮食的重要性C 4=3：115a =景色的重要性C 1 ：旅途条件的重要性C 5=3：1 ...其余数据如下：23a =C 2 : C 3=7 : 1 24a =C 2 : C 4=5 : 1 25a =C 2 : C 5=5 : 1 34a =C 3 : C 4=1 : 2 35a =C 3 : C 5=1 : 3 45a =C 4 : C 5=9 : 1 1ij jia a =（i j >） 1ii a =由此可得到矩阵：1143322175511111()4723112153511131355ij A a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称之为成对比较矩阵（或判断矩阵），是第二层各准则对第一层的比较矩阵。

仿照准则层对目标层构造成对比较矩阵，我们可以构造方案层对准则层的成对比较矩阵：即对准则层的每个因素，将旅游景点进行比较。

方案层对C 1(景色)的成对比较矩阵：1C2C 3C 4C 5C1C 3C 4C5C2C11251/2121/51/21B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭方案层对C2(费用)的成对比较矩阵211/31/8311/3831B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭方案层对C3(居住)的成对比较矩阵3P 1P2P 3P 1P2P 3P1P 2P 3P 1P 2P3P1P2P 3P1P 2P31131131/31/31B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭方案层对C4(饮食)的成对比较矩阵41341/3111/411B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭方案层对C5(旅途)的成对比较矩阵3P1P2P 3P1P 2P5111/4111/4441B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭这样，我们就得到六个成对比较阵： //////////11243321755141711213131521513153151A ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11251/2121/51/21B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭211/31/8311/3831B ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭31131131/31/31B ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭41341/3111/411B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭5111/4111/4441B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭层次分析法的第三步：计算这些成对比较矩阵的最大特征值和对应的特征向量(权重），并判断这些矩阵是否能通过一致性检验.层次分析法的第四步：计算组合权向量（并作组合一致性检验） 最后得到的组合权向量就是三个景点在张鶇一家心目中的重要程度,可据此向他们推荐权重最大的景点.将这些矩阵一并输入事先编写好的程序cengcifenxifa.m ，可完成第三步和第四步，然后根据结果进行调整和分析.以上是层次分析法的整个过程，下面讲解如何看程序的运算结果，并对矩阵进行调整。

(1)矩阵的调整在程序的运算结果中，首先是第二层对第一层的运算结果：一致性比率CR>=0.1,表示A 有矛盾， 并且矛盾的程度超过了允许的范围，必须调整.调整的方法可以请张鶇一家重新将景色、费用、居住、饮食、旅途条件进行比较，直至得到一致性比率小于0.1的矩阵，经过调整，张鶇一家将饮食和旅途条件的重要性之比进行了修改，改为4:1,即：3P1P 2P 3P1P 2P//////////11243321755141711213131521413153141A ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭重新运算，可以发现，矩阵A 满足了一致性要求。

同样，如果其它矩阵的一致性比率大于或等于0.1，那么也要进行调整。

顺便讲一下，A 为什么会有矛盾：1143322175511111()4723112153511131355ij A a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,12122323172C C a a C C ====1372C C ⇒= 但从矩阵A 中可以看到，134a =，即122313a a a ⋅≠这就表明，张鶇一家的判断是有矛盾的，此时，称矩阵A 是不一致的.（2）看看结果中的特征向量(归一化后)的含义：第2层对第一层的成对比较矩阵A 的最大特征值对应的特征向量为：（0.2579,0.46239,0.052623,0.14266,0.08564）它依次表示景色、费用、居住、饮食、旅途条件这五个因素在张鶇一家心目中的重要程度。

至于最大特征值，一致性指标，随机一致性指标等等在后面介绍。

在整个程序结果的倒数第二行是： 第 3层(C1，C2，C3)对第一层的组合权重为: 0.32262 0.24408 0.4333它们是对于选择旅游目的地，桂林、黄山、北戴河三个景点的最后权重。

并且在最后一行，总的组合一致性通过的前提下，可据此向他们1C2C 3C 4C 5C1C 3C 4C 5C2C推荐权重最大的旅游景点北戴河。

下面介绍矩阵的特征值和矩阵的一致性： 定义：如果一个矩阵()ijn nA a ⨯=满足如下条件：0ij a >，1ij jia a =则称A 为正互反矩阵。

在此基础上，如果ij jk ik a a a ⨯=则称矩阵A 是一致性矩阵.（3）下面讲解一致性矩阵的特征值的含义：设有一块大石头，重量为W ，被砸成n 个小块，重量分别为12,,...,n w w w ，将这n 个小石头的重量两两比较，令iij jw a w =，那么可以得到成对比较矩阵：111122221212......()...............n n ij n n n n w w w w w w w w w w w w A a w w w w w w ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭显然，A 是一致性矩阵。

另一方面，设(,,.)122T w w ww W W W=⋅⋅⋅，它可以表示各个小石头在原先整块大石头里的分量（或权重），作乘积11111222221212........................n n n n n n n w w w w w w w W w w w w w w w A w nw W w w w w W w w w ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⋅== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即：矩阵A 有特征值n,权重向量w 是对应的特征向量。

而对于一致性矩阵，有下面的定理：定理：n 阶正互反矩阵B 的最大特征根n ≥λ，且n =λ时，B 是一致矩阵. 如果B 不是一致矩阵时，它的最大特征根λ必定不等于n ，因此我们完全可以用成对比较一致矩阵A 的最大特征值所对应的特征向量作为各小石块在大石块中的权重.但是如果正互反矩阵A 不是一致矩阵的时候，该怎么办呢？例如下面的矩阵：1143322175511111()4723112153511131355ij A a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，1223131**72a a a =≠， 如果A 不是一致矩阵时，它的最大特征根λ必定不等于n ，那么用λ对应的特征向量作为权重就存在偏差。

并且λ比n 大的越多，偏差也越大，矩阵A 的不一致程度就越大。

通常定义一致性指标:1nCI n λ-=-，来表示矩阵的不一致程度。

CI 越大，不一致越严重。

由于在实际操作当中，获得一致性矩阵的难度相当大，故在实际操作中，允许成对比较矩阵存在一定的不一致性，为了确定成对比较矩阵A 的不一致程度的容许范围，Saaty 引入了随机一致性指标RI ，其值见下表：表二 随机一致性指标 特征值n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI0.580.901.121.241.321.411.451.491.51表中的数据是对固定的n ，随机模拟构造100—500个矩阵，形成A ，计算CI 即得RI 。

定义一致性比率 CR = CI /RI ，当CR <0.1时，认为可以接受A 的不一致性，即A 通过一致性检验（4）下面讲解组合权重和组合一致性那么第三层(桂林、黄山、北戴河)对第一层的权重是多少呢？这个权重就是组合权重。