求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面 积。
方案1 方案2 方案3 方案4
五、探究(二)近似代替
方案1
Si
f (i
1)x n
(i
1)2 n
1 n
方案2
Si
f
( i )x n
( i )2 n
1 n
方案3
Si
f
(i-1) n 2
f
(
i n
)
x
(
i-1)2 n
2
( i )2 n
n
lim
n
1 (1 3
1 )(1 n
1) 2n
1 3
S
lim
n
Sn
lim
n
1 (1 3
1 )(1 n
1) 2n
1 3
五、探究(五)左右夹逼
n
易知，
i 1
1 n
f i 1 n
n i 1
1 n
f i
n i 1
1 n
f i n
所以，S
lim
n
S
n
lim
n
n i 1
1 n
f i
六、解惑
(3) 求和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近
似值：
n
S f (i )x
i1
n
(4)取极限:所求曲边梯形的面积S为 S lim f i x x 0 i 1
为了便于计算，一般用左（右）端点。
练习(教材42页)
求直线x=0,x=2,y=0与曲线 y x2所围成的曲边梯
形的面积。
(1)分割:将它等分成n个小区间:
三国时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失弥少，
割之又割，以至于不可割，
则与圆周合体而无所失
矣…”
——刘徽
当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积
三国时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失弥少，
割之又割，以至于不可割，
则与圆周合体而无所失
矣…”
——刘徽
当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积
[0, 1 ],[ 1 , 2 ],,[i 1 , i ],,[ n 1 , n ],
n nn
nn
nn
每个区间长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而 得到n个小曲边梯形，他们的面积 分别记作
S1, S2 ,, Si ,, Sn.
n
S Si
i 1
五、探究(二)近似代替
C.可以是该区间内任一点的函数值f (i )(i xi , xi1)
D.以上答案均不正确
六、升华
1、求曲边梯形面积的“四步曲”：
分割
近似代替
求和
2、最终形式是什么？
n
S lim f i x x 0 i 1
3、求曲边梯形面积中所用的思想方法： （1）以直代曲思想
（2）逼近思想
取极限
0,
2 n
,
2 n
,
4 n
,
2(i 1) n
,
2i n
,
,
2(n 1) n
,
2n n
,
每个小区间宽度：x 2
n
(2)近似代替: (3) 求和: S (4)取极限: S
nilSinmi1ifnf1((2n2nfii)()2nn2in2)
2 n
lim 8 (1 n 3
1)(1 n
1) 2n
y
f b
f a
y fx
oa
bx
图1.5 1
求如上图由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
六、解惑
(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等1,b,
每个小区间宽度⊿x b a
(2)近似代替:任取in[xi1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用 高为f(i), 宽为x的小矩形面积f(i)x近似地去代替.
8 3
练习
当n很大时，函数 f (x) x2
在区间
i
n
1
,
i n
上的值，可以用( C )近似代替
A.
f (1) n
C.
f (i ) n
B.f
(2) n
D. f 0
练习
在“近似代替”中，函数f(x)在区间xi , xi1
上的近似值等于（C ） A.只能是左端点的函数值 f (xi ) B.只能是右端点的函数值 f (xi1)
一、温故
1、请同学们梳理一下,你已经会求哪些平面图形的面积？
2、这些平面图形的主要特征是什么？ ------平面图形可分为直边图形和曲边图形。
一、温故
3、你会求下面图形的面积吗？
二、存疑
4、下面这个图形的面积呢？
三、抽象
y
f b
f a
y fx
如何求它的面积呢？
o
a
bx
图1.5 1
如上图，阴影部分类似于一个梯形, 但有一边是曲线y=f(x) 的一段, 我们把由直线x=a, x=b(a≠b), y=0和曲线y=f(x)所围 成的图形称为曲边梯形.
x
方案4
Si
f
( 2i-1)x 2n
(2i 1)2x 2n
五、探究(三)求和
近 似 代 替
求 和
S
Sn
n
S i
i 1
n i 1
1f n
(i 1) n
1 3
1
1 n
1
1 2n
S
Sn
n
S i
i 1
n i 1
1f n
(i ) n
1 3
1
1 n
1
1 2n
五、探究(四)取极限
S
lim Sn
三国时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失弥少，
割之又割，以至于不可割，
则与圆周合体而无所失
矣…”
——刘徽
当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积
四、具体
求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面 积。
将它分割成许多小曲边梯形
五、探究(一)分割
（1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：