高中数学专题训练——曲边梯形的面积与定积分[例1]（1）已知和式1123(0)p p p pP np n +++++>L 当n →+∞时，无限趋近于一个常数A ，则A 可用定积分表示为（ ）A ．dx x ⎰101B ．dx x p ⎰1C ．dx x p ⎰10)1(D ．dx n x p⎰10)(（2）下列定积分为1是（ ）A ．dx x ⎰1B ．dx x ⎰+1)1(C ．dx ⎰11D ．dx ⎰1021（3）求由1,2,===y x e y x围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）A ．［0，2e ］B ．［0，2］C ．［1，2］D ．［0，1］（4）由y=cosx 及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ．（5）计算⎰= 。
[例2]①利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正是负？（1）3π40sin d x x ⎰； （2）01e d xx -⎰； （3）1213ln d x x ⎰．②利用定积分的几何意义，比较下列定积分的大小．10d x x ⎰，120d x x ⎰，130d x x ⎰。
[例3]计算下列定积分：121(1)(1)d 3x x -+⎰； 41(2)(3)d x x -+⎰； 20(3)cos d x x π⎰； 232(4)d x x -⎰。
1． 下列定积分值为1的是 （ ）A ．1tdt ⎰B 。
1(1)x dx +⎰C 。
1dx ⎰D 。
1012dx ⎰2． 1321(tan sin )x x x x dx -++⎰=（ ）A ．0B 13202(tan sin )x x x x dx ++⎰ C ．03212(tan sin )x x x x dx -++⎰ D 。
13202|tan sin |x x x x dx ++⎰3． 设连续函数f (x )＞0，则当a ＜b 时，定积分()d b af x x ⎰的符号（ ）A ．一定是正的B ．当0<a <b 时为正，当a <b <0时为负C ．一定是负的D ．当0<a <b 时为负，当a <b <0时为正 4． 由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴所围成平面图形的面积为（ ）A ．()[]dy y y ⎰--101 B 。
()[]dx x x ⎰-+-2101 C ．()[]dy y y ⎰--2101D 。
()[]dx x x ⎰+--115． 和式111122n n n+++++L 当n →+∞时，无限趋近于一个常数A ，则A 用定积分可表示为 。
6． 曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ．7． 计算曲边三角形的面积的过程大致为：分割；以直代曲；作和；逼近。
试用该方法计算由直线x=0，x=1，y=0和曲线y=x 2所围成的曲边三角形的面积。
（下列公式可供使用：12+22+…+n 2=1(1)(21)6n n n ++） 8． 求由曲线1y x =+与1,3,0x x y ===所围的图形的面积. 9． 计算2()f x dx ⎰，其中,2,01,()5,1 2.x x f x x ≤<⎧=⎨≤≤⎩曲边梯形的面积与定积分A 组1． 若()f x 是[,]a a -上的连续偶函数，则()d aaf x x -=⎰（ ）A ．()d af x x -⎰B ．0C ．02()d af x x -⎰D ．()d af x x ⎰2． 变速直线运动的物体的速度为v(t)，初始t=0时所在位置为0s ，则当1t 秒末它所在的位置为（）A ．⎰1)(t dt t vB ．dt t v s t ⎰+1)(C ．001)(s dt t v t -⎰D ．dt t v s t ⎰-10)(3． 由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴所围成平面图形的面积为（ ）A ．()[]dy y y ⎰--11 B ．()[]dx x x ⎰-+-2101 C ．()[]dy y y ⎰--2101D ．()[]dx x x ⎰+--101 4． 设()0,()()0,.h x a x b f x g x b x c ><<⎧=⎨<≤<⎩且()b a h x dx A =⎰，()c bg x dx B =⎰，给出下列结论：①A ＞0；②B ＞0；③()caf x dx A B =+⎰；④|()|caf x dx A B =-⎰。
其中所有正确的结论有 。
5． 设函数f (x)的图象与直线x =a, x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a ，b]上的面积。
已知函数y ＝sinnx 在[0，nπ]（n ∈N *）上的面积为n2。
①y ＝sin3x 在[0,32π]上的面积为 ②y ＝sin （3x －π）＋1在[3π，34π]上的面积为 。
6． 求由曲线1y x =-与0,3,0x x y ===所围的图形的面积。
7． 试根据定积分的定义说明下列两个事实：①()()bbaacf x dx c f x dx =⎰⎰；②(()())()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰。
B 组1． 如果1kg 力能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，则力所作的功为 （）A ．0.18kg ·mB ．0.26kg ·mC ．0.12kg ·mD ．0.28kg ·m2． 已知b ＞a ，下列值：()baf x dx ⎰，|()|ba f x dx ⎰，|()b af x dx ⎰|的大小关系为（ ）A ．|()baf x dx ⎰|≥|()|ba f x dx ⎰≥()baf x dx ⎰B 。
|()|baf x dx ⎰≥|()baf x dx ⎰|≥()baf x dx ⎰C ．|()|baf x dx ⎰= |()baf x dx ⎰|=()baf x dx ⎰D ．|()|baf x dx ⎰= |()baf x dx ⎰|≥()baf x dx ⎰3． 若()f x 与()g x 是[,]a b 上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线x =a , x =b 所围图形的面积（）A ．()()d baf xg x x -⎰B ．(()())d baf xg x x -⎰ C ．(()())d bag x f x x -⎰D ．(()())d baf xg x x -⎰4． 给出下列命题： ①若()ba f x dx ⎰＞0，b ＞a ，则f(x)＞0；②若f(x)＞0，b ＞a ，则()baf x dx ⎰＞0；③若()ba f x dx ⎰=0，b ＞a ，则f(x)=0；④若f(x)=0，b ＞a ，则()baf x dx ⎰=0；⑤若|()|baf x dx ⎰=0，b ＞a ，则f(x)=0。
其中所有正确命题的序号为 。
5． 给出下列定积分：①2sin xdx π⎰②2sin xdx π-⎰③23xdx -⎰④231x dx -⎰其中为负值的有 。
6． 求由曲线23,1,2,0y x y y x =+===所围图形的面积。
7． 计算：2-⎰。
参考答案曲边梯形的面积与定积分【典型例题】 [例1]（1）B ． （2）C ． 3． B 。
（4）2π|cos |x dx ⎰或204cos xdx π⎰。
（5）π4。
提示：这是求单位圆落在第一象限内部分的面积。
[例2]①（1）正 (2)正 (3)负。
②10d x x ⎰≥120d x x ⎰≥130d x x ⎰。
[例3] (1)52； (2)452；(3)0 ；(4)0。
[例4] (1)⎰=adx x S 02； (2) ⎰-=212dx x S ； (3) ⎰⎰------=01222]1)1[(]1)1[(dx x dx x S ；(4) ⎰=badx S ．【课内练习】 1． C 。
2． A 。
提示：被积函数为奇函数，且积分区间又关于原点对称，利用定积分的几何意义知，面积的代数和为0。
3． A 。
4．C5．dx x⎰+10116．dx x ⎰-102)1(7． 13。
提示：请参看教材P42~44。
8． 6 9．6。
10．可用“分割；以直代曲；作和；逼近”求得：202b kb W kxdx ==⎰。
曲边梯形的面积与定积分A 组1． C2．B3．C4．①③④5．①43；②2π3+6．32-7． 定积分的定义实质反映了计算的过程，也就是：分割；以直代曲；作和；逼近。
可尝试用这四步进行说明或证明。
8． 变力作功公式中，F(x)是用x 表示的，而此题中只有x 对t 的关系式，故首先将F 表示出来．依题意得：F ＝kv ，但这不是x 的函数，应将v 用x 表示．∵v=x ＇=8t ，而4xt =， ∴x x x F 54458)(==．另外，此题F 是与物体运动方向相反的，∴⎰-=254dx x W． B 组1． A2．B3．A4．②④⑤。
5．②③6．347． 2π。
提示：问题即求上半圆的面积。
8．结论成立。
说明可按照定积分的定义进行。