初三数学讲义定值问题一．课堂衔接1.课前交流，帮助整理知识点。

2.复习旧知，课前练习。

二．知识点归纳整理1. 几何定值问题(1)定量问题：解决定量问题的关键在探求定值，一旦定值被找出，就转化为熟悉的几何证明题了。

探求定值的方法一般有运动法、特殊值法及计算法。

(2)定形问题：定形问题是指定直线、定角、定向等问题。

在直角坐标平面上，定点可对应于有序数对，定向直线可以看作斜率一定的直线，实质上这些问题是轨迹问题。

2. 函数与几何综合类的问题中求定值(1).乘积、比值类型(2).定长、定角、定点、定值类型(3).倒数和类型解题步骤 (1)利用特殊情形猜出定值(2)对一般情形加以证明．三．例题分析几何图形中定值问题例1. 已知∆A B C的两边的中点分别为M、N，P为MN上的任一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于D、E，求证：ADDCAEEB+为定值。

例2. 两圆相交于P 、Q 两点，过点P 任作两直线A A '与B B '交一圆于A 、B ，交另一圆于A '、B '，AB 与AB ''交于点C ，求证：∠C 为定值。

' ')C' C例3. 在定角XOY 的角平分线上，任取一点P ，以P 为圆心，任作一圆与OX 相交，靠近O 点的交点为A ，与OY 相交，远离O 点的交点为B ，则∠A P B为定角。

(1)(2)乘积、比值类型例题1．如图，已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（m＞0），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ． （1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：FC (AC ＋EC )为定值．定长、定角、定点、定值类型例题2．如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（﹣3，0），（0，1），点D是线段BC 上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=12x＋b交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，且tan∠DEO=12．若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．例题3．已知关于x的二次函数y=ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1－S2为常数，并求出该常数．例题4．孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a＜0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：（1）若测得OA=OB=22（如图1），求a的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标．．．；（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．倒数和类型例题5．已知菱形ABCD 边长为1．∠ADC =60°，等边△AEF 两边分别交边DC 、CB 于点E 、F 。

（1）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点．求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 交点O 即为等边△AEF 的外心；（2）若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动．记等边△AEF 的外心为点P ． ①猜想验证：如图2．猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当△AEF 面积最小时，过点P 任作一直线分别交边DA 于点M ，交边DC 的延长线于点N ，试判断1 DM ＋1DN是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。

练习一. 几何定值问题1. 求证：正三角形内一点到三边距离之和为定值。

2. 在正方形ABCD 的外接圆的AD 上任取一点P ，则(PC ＋PA)：PB 为定值。

3. 已知CD 是半径为R 的⊙O 的直径，AB 是动弦，AB 与CD 相交于E ，且成45︒角，求证：A E B E 22+为定值。

C4．（2011•遵义）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =20cm ，AD =10cm ，现有两个动点P 、Q 分别从B 、D 两点同时出发，点P 以每秒2cm 的速度沿BC 向终点C 移动，点Q 以每秒1cm 的速度沿DA 向终点A 移动，线段PQ 与BD 相交于点E ，过E 作EF ∥BC 交CD 于点F ，射线QF 交BC 的延长线于点H ，设动点P 、Q 移动的时间为t （单位：秒，0＜t ＜10）． （1）当t 为何值时，四边形PCDQ 为平行四边形（2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；梯形。

分析：（1）如果四边形PCDQ为平行四边形，则DQ=CP，根据P、Q两点的运动速度，结合运动时间t，求出DQ、CP的长度表达式，解方程即可；（2）PH的长度不变，根据P、Q两点的速度比，即可推出QD：B P=1：2，根据平行线的性质推出三角形相似，得出相似比，即可推出PH=20．5．如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为 A（1，0），B（1，－5），D（4，0）．（1）求c，b（用含t的代数式表示）：（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，要S=218；（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．考点：二次函数综合题。

分析：（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）①当x=1时，y=1－t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数，②由S=S四边形AMN P－S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM－S△PAM，即可求得关于t的二次函数，列方程即可求得t的值；（3）根据图形，即可直接求得答案．练习4. 解答：解：（1）∵AD∥BC，BC=20cm，AD=10cm，点P、Q分别从B、D两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，∴DQ=t，PC=20﹣2t，∵若四边形PCDQ为平行四边形，则DQ=PC，∴20﹣2t=t，解得：t=203；（2）线段PH的长不变，∵AD ∥BH ，P 、Q 两点的速度比为2：1，∴QD ：BP =1：2， ∴QE ：EP=ED ：BE =1：2，∵EF ∥BH ，∴ED ：DB =EF ：BC =1：3， ∵BC =20，∴EF =20 3 ，∴EF PH ：QE QP =13，∴PH =20cm ．点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质和梯形的性质，解题的关键在于求得DQ和PC 的长度表达式，推出DQ 和PC 的长度比为1：2． 练习5. 解答：解：（1）把x=0，y =0代入y =x 2+bx +c ，得c =0，再把x =t ，y =0代入y =x 2+bx ，得t 2+bt =0， ∵t ＞0，∴b =－t ； （2）①不变．如图6，当x =1时，y =1－t ，故M （1，1－t ）， ∵tan ∠AMP =1，∴∠AMP =45°；②S =S 四边形AMNP －S △P AM =S △DPN +S 梯形NDAM －S △PAM =1 2 （t －4）（4t －16）+1 2 [（4t －16）+（t －1）]×3－12 （t－1）（t －1）=3 2 t 2－152 t +6．解3 2 t 2－15 2 t +6=21 8 ，得：t 1=1 2 ，t 2=92， ∵4＜t ＜5，∴t 1=1 2 舍去，∴t=9 2（3）7 2 ＜t ＜113．点评：此题考查了二次函数与点的关系，以及三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．例题2考点：一次函数综合题。

分析：（1）要表示出△ODE 的面积，要分两种情况讨论，①如果点E 在OA 边上，只需求出这个三角形的底边OE 长（E 点横坐标）和高（D 点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E 在AB 边上，这时△ODE 的面积可用长方形OABC 的面积减去△OCD、△OAE、△BDE 的面积；（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA 边上的线段长度是否变化．解答：解：（1）∵四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（－3，0），（0，1），∴B（－3，1），若直线经过点A （－3，0）时，则b=32 ，若直线经过点B （－3，1）时，则b=52，若直线经过点C （0，1）时，则b=1，①若直线与折线OAB 的交点在OA 上时，即1＜b≤32，如图1，此时E （2b ，0），∴S=1 2 OE•CO=12×2b×1=b；②若直线与折线OAB 的交点在BA 上时，即3 2 ＜b ＜52，如图2此时E （－3，b －32），D （2b ﹣2，1），∴S=S 矩－（S △OCD +S △OAE +S △DBE ）=3－[1 2 （2b －2）×1+1 2 ×（5－2b ）•（5 2 －b ）+1 2 ×3（b －3 2 ）]=52 b －b 2，∴S=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≤<)2523(2523221b b b b b ； （2）如图3，设O 1A 1与CB 相交于点M ，OA 与C 1B 1相交于点N ，则矩形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积． 由题意知，DM∥NE，DN∥ME， ∴四边形DNEM 为平行四边形， 根据轴对称知，∠MED=∠NED， 又∠MDE=∠NED，∴∠MED=∠MDE，∴MD=ME， ∴平行四边形DNEM 为菱形． 过点D 作DH⊥OA，垂足为H ，由题易知，=12，DH=1，∴HE=2，设菱形DNEM 的边长为a ，则在Rt△DHN 中，由勾股定理知：a 2=（2－a ）2+12，∴a =5 4 ，∴S 四边形DNEM =NE•DH=5 4．∴矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为54．例题3考点：二次函数综合题；解一元一次方程；解二元一次方程组；根的判别式；根与系数的关系；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x 轴的交点；相似三角形的判定与性质。