上海市嘉定区封浜高中2019-2020学年高一下学期期末考试试题数学一.填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题3分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．已知一个扇形的半径为4，圆心角大小为2弧度，则扇形的弧长为 ． 2．已知点(3,4)P -在角α的终边上，则sin α= ． 3．已知193x +=，则x= ．4．函数π()2sin(2)3f x x =+的最小正周期是 ．5．已知在等差数列{}n a 中，首项11a =，公差2d =，则10a = ． 6．已知{}n a 是等比数列，12a =，414a =，则公比q = ． 7．函数π()sin()3f x x =-的单调递增区间是 ．8．已知)sin(5cos 4sin 3ϕ+=-x x x ，则tan ϕ= ．9．已知数列{}n a 的前n 项和为32-+=n n S n ，则数列{}n a 的通项公式=n a ． 10．已知等比数列{}n a 的前n 项和4nn S a =+，则a = ．11．已知某等腰三角形一个底角的余弦值为32，则这个三角形顶角的大小为_____ ________（结果用反三角表示）．12．曲线)0,0(sin >>+=ωωA k x A y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ωπ2,0上截直线4=y 和6-=y 所得弦长相等且不为0，则参数k 和A 要同时满足 ．二.选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分. 13．“4πα=”是“2sin α=）． （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件14．在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点3455⎛⎫⎪⎝⎭，，则tan(π)θ+的值为…………………………………………………………………………………………（ ）． （A ）34（B ）34-（C ）43（D ）43-15．数列{}n a 成等比数列的充要条件是……………………………………………………（ ）．（A ）q q a a n n (1=+为常数） （B ）0221≠=++n n n a a a （C ）q qa a n n (11-=为常数） （D ）21++=n n n a a a16．已知函数sin()y A x ωϕ=+,(0,0,)2A πωϕ>><的图象如下图所示，则该函数的解析式是……………………………………………………………………………………（ ）．（A ）2π2sin 76y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ （B ）2π2sin 76y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（C ）π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （D ）π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭三．解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．(本题满分8分）.解关于x 的方程222log (4)log (1)1log (1)x x x ++-=++．18．(本题满分10分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分.数列{}n a 中，)(12,1*11N n a a a n n ∈+==+．（1）证明：数列{}1+n a 为等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式n a ．19．(本题满分10分）本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分. 已知常数a ∈R ，函数2()sin 22cos f x a x x =+，x ∈R ． （1）当1a =时，求函数()f x 的值域； （2）若()f x 为偶函数，求a 的值．20．(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.如图所示，某货轮在A 处看到灯塔B 、C 分别在货轮的北偏东75︒和北偏西30︒的位置，其中A 、B 相距126A 、C 相距83A 处向正北方向航行到D 处时，此时灯塔B 在货轮的北偏东120︒的位置．（1）求货轮从A 行驶到D 处的距离； （2）求灯塔C 与D 处的距离．21.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分. 定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．（1）若2n n a =(*n ∈N )，试举反例说明数列{}n a 不是T 数列； （2）若27n b n n =-+ (*n ∈N )，证明：数列{}n b 是T 数列．一.填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题3分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．已知一个扇形的半径为4，圆心角大小为2弧度，则扇形的弧长为 ．8 2．已知点(3,4)P -在角α的终边上，则sin α= ．4sin 5α= 3．已知193x +=，则x= ．14．函数π()2sin(2)3f x x =+的最小正周期是 ．π5．已知在等差数列{}n a 中，首项11a =，公差2d =，则10a = ．19 6．已知{}n a 是等比数列，12a =，414a =，则公比q = ．21 7．函数π()sin()3f x x =-的单调递增区间是 ．π5π2π,2π,66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 8．已知)sin(5cos 4sin 3ϕ+=-x x x ，则tan ϕ= ．43-9．已知数列{}n a 的前n 项和为32-+=n n S n ，则数列{}n a 的通项公式=n a ．1(1)2(2)n n a n n -=⎧=⎨≥⎩10．已知等比数列{}n a 的前n 项和4nn S a =+，则a = ．1-11．已知某等腰三角形一个底角的余弦值为32，则这个三角形顶角的大小为_____ ________（结果用反三角表示）．954arcsin或（91arccos ） 12．曲线)0,0(sin >>+=ωωA k x A y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ωπ2,0上截直线4=y 和6-=y 所得弦长相等且不为0，则参数k 和A 要同时满足 ． 5,1>-=A k二.选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分. 13．“4πα=”是“2sin 2α=”的…………………………………（ A ）． （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件14．在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点3455⎛⎫⎪⎝⎭，，则tan(π)θ+的值为……………………………………………………………………（ C ）． （A ）34（B ）34-（C ）43（D ）43-15．数列{}n a 成等比数列的充要条件是 …………………………………（ B ）．（A ）q q a a n n (1=+为常数） （B ）0221≠=++n n n a a a（C ）q q a a n n (11-=为常数） （D ）21++=n n n a a a16．已知函数sin()y A x ωϕ=+,(0,0,)2A πωϕ>><的图象如下图所示，则该函数的解析式是 …………………………………………………………………（ D ）．（A ）2π2sin 76y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ （B ）2π2sin 76y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（C ）π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （D ）π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭三．解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17．(本题满分8分）.解关于x 的方程222log (4)log (1)1log (1)x x x ++-=++．解：222log (4)log (1)1log (1)x x x ++-=++4010110x x x x +>⎧⎪∴->⇒>⎨⎪+>⎩…………………………………………………………2分 又22log (4)(1)log 2(1)x x x +-=+…………………………………………4分 即(4)(1)2(1)x x x +-=+……………………………………………………6分23()x x ∴==-或舍即方程的解为2x = …………………………………………………………8分 18．(本题满分10分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分.数列{}n a 中，)(12,1*11N n a a a n n ∈+==+．（1）证明：数列{}1+n a 为等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式n a ． 解：（1）21112111*=+++=++∈+n n n n a a a a N n 时为常数，………………………4分∴数列{}1+n a 是首项为2公比为2的等比数列．…………………………………6分（2）因为数列{}1+n a 是首项为2公比为2的等比数列，…………………………8分所以n n a 21=+，即12-=nn a ． …………………………………………………10分.19．(本题满分10分）本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分. 已知常数a ∈R ，函数2()sin 22cos f x a x x =+，x ∈R ． （1）当1a =时，求函数()f x 的值域； （2）若()f x 为偶函数，求a 的值．解：(1) 当1a =时，2()sin 22cos f x a x x =+2πsin 22cos sin 2cos 212)14x x x x x =+=++=++………………………3分又x ∈R ，所以()221f x ⎡⎤∈-⎣⎦+1，………………………………………………4分（2）2()sin 22cos f x a x x =+为偶函数即22()()sin(2)2cos ()sin 22cos f x f x a x x a x x -=⇒-+-=+……………………6分22sin 22cos sin 22cos a x x a x x ∴-+=+………………………………………………8分即2sin 20a x =对一切x ∈R 成立，所以0a =…………………………………………10分20．(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.如图所示，某货轮在A 处看到灯塔B 、C 分别在货轮的北偏东75︒和北偏西30︒的位置，其中A 、B 相距126海里，A 、C相距83海里，当货轮由A 处向正北方向航行到D 处时，此时灯塔B 在货轮的北偏东120︒的位置．（1）求货轮从A 行驶到D 处的距离； （2）求灯塔C 与D 处的距离．解：(1)在△ABD 中，60ADB ∠=︒，45B =︒，126AB =……………………………2分由正弦定理得2126sin 224sin 3AB BAD ADB⨯===∠(海里)．…………………5分A 处与D 处的距离是24海里； ……………………………………………………6分(2)在△ADC 中，由余弦定理，得2222cos CD AD AC AD AC CAD =+-⋅∠………………………………………8分即()2223248322483=192CD =+-⨯⨯⨯所以83CD = (海里)．……………………………………………………………11分 ∴灯塔C 与D 处的距离为83 海里. ……………………………………………12分21.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分. 定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．（1）若2n n a =(*n ∈N )，试举反例说明数列{}n a 不是T 数列； （2）若27n b n n =-+ (*n ∈N )，证明：数列{}n b 是T 数列． 解：（1）若2nn a =，取12a =、24a = 、38a =，则1352a a +=即1322a aa +> 所以数列{}n a 不是T 数列．（也可以举其它反例）……………………………………6分（2）由27n b n n =-+，得：2222127(2)7(2)2(1)14(1)20n n n b b b n n n n n n +++-=-+-+++++-+=-≤即212n n n b b b +++≤所以数列{}n b 满足212n n n b b b +++≤． ……………………………………………9分 又274924n b n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当3n =或4n =时，n b 取得最大值12，即12n b ≤，故存在常数12M =，使得n b M ≤综上，数列{}n b 是T 数列．………………………………………………………12分。