第二章 函数与导数第12课时 导数在研究函数中的应用第三章 (对应学生用书(文)、(理)30～32页),1. (选修22P 28例1改编)函数f(x)＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为______________． 答案：(－1，11)解析：f′(x)＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，由(x －11)(x ＋1)<0，得单调减区间为(－1，11)．亦可填写闭区间或半开半闭区间．2. (选修22P 34习题3改编)若函数f(x)＝e x－ax 在x ＝1处取到极值，则a ＝________． 答案：e解析：由题意，f ′(1)＝0，因为f′(x)＝e x－a ，所以a ＝e.3. (选修22P 34习题8)函数y ＝x ＋sinx ，x ∈[0，2π]的值域为________． 答案：[0，2π]解析：由y′＝1＋cosx ≥0，所以函数y ＝x ＋sinx 在[0，2π]上是单调增函数，所以值域为[0，2π]．4. (原创)已知函数f(x)＝－12x 2＋blnx 在区间[2，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．答案：(－∞，4]解析：f′(x)＝－x ＋b x ≤0在[2，＋∞)上恒成立，即b≤x 2在[2，＋∞)上恒成立．5. (选修22P 35例1改编)用长为90cm 、宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm 时，容器的容积最大．答案：10解析：设容器的高为xcm ，即小正方形的边长为xcm ，该容器的容积为V ，则V ＝(90－2x)(48－2x)x ＝4(x 3－69x 2＋1080x)，0<x<12，V ′＝12(x 2－46x ＋360)＝12(x －10)(x －36)，当0<x<10时，V ′>0；当10<x<12时，V ′<0.所以V 在(0，10]上是增函数，在[10，12)上是减函数，故当x ＝10时，V 最大．1. 函数的单调性与导数在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)为该区间上的增函数；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)为该区间上的减函数．2. 函数的极值与导数(1) 函数极值的定义若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都要小，f(a)叫函数的极小值．若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都要大，f(b)叫函数的极大值，极小值和极大值统称为极值．(2) 求函数极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，①如果在x0附近左侧单调递增，右侧单调递减，那么f(x0)是极大值．②如果在x0附近左侧单调递减，右侧单调递增，那么f(x0)是极小值．3. 函数的最值(1) 最大值与最小值的概念如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值．如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值．(2) 求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．②将函数y＝f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中值最大的一个是最大值，值最小的一个是最小值．4. 生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是：优化问题®®用导数解决数学问题®优化问题答案题型1 导数与函数的单调性例1已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1) 若a＝3时，求f(x)的单调区间；(2) 若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(3) 是否存在实数a，使f(x)在(－1，1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1) 当a＝3时，f(x)＝x3－3x－1，∴ f′(x)＝3x2－3，令f′(x)>0即3x2－3>0，解得x>1或x<－1，∴ f(x)的单调增区间为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 同理可求f(x)的单调减区间为(－1，1)．(2) f′(x)＝3x 2－a.∵ f(x)在实数集R 上单调递增，∴ f ′(x)≥0恒成立，即3x 2－a≥0恒成立，∴ a ≤(3x 2)min .∵ 3x 2的最小值为0，∴ a ≤0.(3) 假设存在实数a 使f(x)在(－1，1)上单调递减，∴ f ′(x)≤0在(－1，1)上恒成立，即a≥3x 2.又3x 2∈[0，3)，∴ a ≥3.∴ 存在实数a 使f(x)在(－1，1)上单调递减，且a≥3. 备选变式（教师专享）(1) 已知函数 f(x)＝12x 2－mlnx ＋(m －1)x ，当 m≤0 时，试讨论函数 f(x) 的单调性；(2) 若函数f(x)＝－12()x －22＋blnx 在(1，＋∞)上是减函数，求实数b 的取值范围．解：(1)函数的定义域为()0，＋∞，f ′(x)＝x －m x ＋(m －1)＝x 2＋（m －1）x －mx ＝（x －1）（x ＋m ）x.①当－1<m≤0时，令f′(x)>0，得0<x<－m 或x>1， 令f′(x)<0，得－m<x<1，∴ 函数 f(x)的单调递增区间是()0，－m 和()1，＋∞，单调递减区间是()－m ，1； ②当m≤－1时，同理可得，函数 f(x)的单调递增区间是()0，1和()－m ，＋∞，单调递减区间是()1，－m .(2)由f(x)＝－12()x －22＋blnx ，得f′(x)＝－(x －2)＋bx，由题意，知f′(x)≤0即－()x －2＋bx ≤0在()1，＋∞上恒成立，∴ b≤[]x ()x －2min， 当x∈()1，＋∞时，[]x ()x －2∈()1，＋∞，∴ b ≤1.题型2 导数与函数的极值、最值例2 设函数f(x)＝(x 2＋ax ＋b)e x(x∈R )． (1) 若a ＝2，b ＝－2，求函数f(x)的极大值； (2) 若x ＝1是函数f(x)的一个极值点． ① 试用a 表示b ；② 设a ＞0，函数g(x)＝(a 2＋14)e x ＋4.若 ξ1、ξ2∈[0，4]，使得|f(ξ1)－g(ξ2)|＜1成立，求a 的取值范围．解：(1) ∵ f′(x)＝(2x ＋a)e x ＋(x 2＋ax ＋b)e x ＝[x 2＋(2＋a)x ＋(a ＋b)]e x，当a ＝2，b ＝－2时，f(x)＝(x 2＋2x －2)e x，则f′(x)＝(x 2＋4x)e x，令f′(x)＝0得(x 2＋4x)e x＝0，∵ e x ≠0, ∴ x 2＋4x ＝0，解得x ＝－4或x ＝0，∴ 当x ＝－4时，函数f(x)取极大值，f(x)极大值＝6e4.(2) ① 由(1)知f′(x)＝[x 2＋(2＋a)x ＋(a ＋b)]e x. ∵ x ＝1是函数f(x)的一个极值点，∴ f ′(1)＝0， 即e[1＋(2＋a)＋(a ＋b)]＝0，解得b ＝－3－2a.② 由①知f′(x)＝e x [x 2＋(2＋a)x ＋(－3－a)] ＝e x(x －1)[x ＋(3＋a)]，当a ＞0时，f(x)在区间(0，1)上的单调递减，在区间(1，4)上单调递增， ∴ 函数f(x)在区间[0，4]上的最小值为f(1)＝－(a ＋2)e.∵ f(0)＝b ＝－3－2a ＜0，f(4)＝(2a ＋13)e 4＞0， ∴ 函数f(x)在区间[0，4]上的值域是[f(1)，f(4)]，即[－(a ＋2)e ，(2a ＋13)e 4]．又g(x)＝(a 2＋14)e x ＋4在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[(a 2＋14)e 4，(a 2＋14)e 8]，∴ (a 2＋14)e 4－(2a ＋13)e 4＝(a 2－2a ＋1)e 4＝(a －1)2e 4≥0，∴ 存在ξ1、ξ2∈[0，4]使得|f(ξ1)－g(ξ2)|＜1成立只须(a 2＋14)e 4－(2a ＋13)e 4＜1Þ (a －1)2e 4＜1Þ (a －1)2＜1e 4 Þ1－1e 2＜a ＜1＋1e2.备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－3x(a 、b∈R )在点x ＝－1处取得极大值为2. (1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x 1、x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤c，求实数c 的最小值．解：(1) f′(x)＝3ax 2＋2bx －3.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝2，f ′（－1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＋3＝2，3a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以f(x)＝x 3－3x.(2) 令f′(x)＝0，即3x 2－3＝0，得x ＝±1.因为f(－1)＝2，f(1)＝－2，所以当x∈[－2，2]时，f(x)max ＝2，f(x)min ＝－2. 则对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x 1、x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |＝4，所以c≥4.所以c 的最小值为4.题型3 导数在实际问题中的应用例3 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A 、B 、C 、D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x cm.(1) 某广告商要求包装盒侧面积S(cm 2)最大，试问x 应取何值？(2) 某厂商要求包装盒容积V(cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：(1) S ＝602－4x 2－(60－2x)2＝240x －8x 2(0<x<30)，所以x ＝15 cm 时侧面积最大．(2) V ＝(2x)222(60－2x)＝22x 2(30－x)(0<x<30)， 所以V′＝62x(20－x)，令V′＝0，得x ＝20， 当0<x<20时，V 递增；当20<x<30时，V 递减． 所以，当x ＝20时，V 最大，此时，包装盒的高与底面边长的比值为22（60－2x ）2x＝12.变式训练某地方政府在某地建一座桥，两端的桥墩相距m 米，此工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩(包括两端的桥墩)．经预测，一个桥墩的费用为256万元，相邻两个桥墩之间的距离均为x ，且相邻两个桥墩之间的桥面工程费用为(1＋x)x 万元，假设所有桥墩都视为点且不考虑其他因素，记工程总费用为y 万元．(1) 试写出y 关于x 的函数关系式；(2) 当m ＝1 280米时，需要新建多少个桥墩才能使y 最小？解：根据题意，需要建⎝ ⎛⎭⎪⎫m x ＋1个桥墩和m x 段桥面工程． (1) y ＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x ＋1＋mx(1＋x)x＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋256x ＋m ＋256⎝ ⎛⎭⎪⎫x>0，m x ∈N . (2) 当m ＝1 280时，y ＝1 280⎝⎛⎭⎪⎫x ＋256x ＋1 536，y ′＝1 280⎝⎛⎭⎪⎫12x －256x 2，令y′＝0，得x ＝64， 当0<x<64时，y ′<0；当x>64时，y ′>0.所以当x ＝64时，y 有最小值16 896，此时要建21个桥墩． 答：需要建21个桥墩才能使y 最小．【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)已知函数f(x)＝lnx －ax(a∈R )． (1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 当a>0时，求函数f(x)在[1，2]上的最小值．审题引导： ① 知函数解析式求单调区间，实质是求f′(x)>0，f ′(x)<0的解区间，并注意定义域；② 先研究f(x)在[1，2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值； ③ 由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论．规范解答： 解：(1) f′(x)＝1x－a(x>0)．(1分)① 当a≤0时，f ′(x)＝1x －a≥0，即函数f(x)的单调增区间是(0，＋∞)．(3分)② 当a>0时，令f′(x)＝1x －a ＝0，得x ＝1a ，当0<x<1a 时，f ′(x)＝1－ax x >0，当x>1a 时，f ′(x)＝1－ax x <0，所以函数f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞.(6分)(2) ① 当1a ≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1，2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.(8分)② 当1a ≥2，即0<a≤12时，函数f(x)在区间[1，2]上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.(10分)③ 当1<1a <2，即12<a<1时，函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数，又f(2)－f(1)＝ln2－a ，所以当12<a<ln2时，最小值是f(1)＝－a ；当ln2≤a<1时，最小值是f(2)＝ln2－2a.(12分) 综上可知，当0<a<ln2时，最小值是－a ； 当a≥ln2时，最小值是ln2－2a.(14分)1. (2013²新课标Ⅱ)若存在正数x 使2x(x －a)<1成立，则a 的取值范围是________． 答案：(－1，＋∞)解析：因为2x (x －a)<1，所以a>x －12x ，令f(x)＝x －12x ，所以f′(x)＝1＋2－xln2>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(0)＝0－1＝－1，所以a 的取值范围是(－1，＋∞)．2. (2013²大纲)若函数f(x)＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是________．答案：a≥3解析：f′(x)＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，即a≥1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立．令g(x)＝1x 2－2x ，求导可得g(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上的最大值为3，所以a≥3.3. (2013²扬州期末)已知函数f(x)＝lnx －mx (m∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________．答案：－3e解析：f′(x)＝1x ＋m x 2＝x ＋mx 2，令f′(x)＝0，则x ＝－m ，且当x<－m 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，当x>－m 时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．若－m≤1，即m≥－1时，f(x)min＝f(1)＝－m ≤1，不可能等于4；若1<－m≤e ，即－e ≤m<－1时，f(x)min ＝f(－m)＝ln(－m)＋1，令ln(－m)＋1＝4，得m ＝－e 3(－e ，－1)；若－m>e ，即m<－e 时，f(x)min ＝f(e)＝1－m e ，令1－me＝4，得m ＝－3e ，符合题意．综上所述，m ＝－3e.4. (2013²南京二模)设函数f(x)＝x 2－(a －2)x －alnx. (1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数f(x)有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值； (3) 若方程f(x)＝c 有两个不相等的实数根x 1、x 2，求证：f′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>0.(1) 解：f′(x)＝2x －(a －2)－a x ＝2x 2－（a －2）x －a x ＝（2x －a ）（x ＋1）x (x>0)．当a≤0时，f ′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，得x>a 2；由f′(x)<0，得0<x<a2.所以函数f(x)的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2. (2) 解：由(1)得，若函数f(x)有两个零点，则a>0，且f(x)的最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<0，即－a2＋4a －4aln a2<0.因为a>0，所以a ＋4ln a2－4>0.令h(a)＝a ＋4ln a 2－4，显然h(a)在(0，＋∞)上为增函数，且h(2)＝－2<0，h(3)＝4ln32－1＝ln 8116－1>0，所以存在a 0∈(2，3)，h(a 0)＝0.当a>a 0时，h(a)>0；当0<a<a 0时，h(a)<0. 所以满足条件的最小正整数a ＝3.又当a ＝3时，f(3)＝3(2－ln3)>0，f(1)＝0，所以a ＝3时，f(x)有两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3.(3) 证明：因为x 1、x 2是方程f(x)＝c 的两个不等实根，由(1)知a>0.不妨设0<x 1<x 2，则x 21－(a －2)x 1－alnx 1＝c ，x 22－(a －2)x 2－alnx 2＝c.两式相减得x 21－(a －2)x 1－alnx 1－x 22＋(a －2)²x 2＋alnx 2＝0，即x 21＋2x 1－x 22－2x 2＝ax 1＋alnx 1－ax 2－alnx 2＝a(x 1＋lnx 1－x 2－lnx 2)． 所以a ＝x 21＋2x 1－x 22－2x 2x 1＋lnx 1－x 2－lnx 2.因为f′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2时，f ′(x)<0，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞时，f ′(x)>0， 故只要证x 1＋x 22>a2即可，即证明x 1＋x 2>x 21＋2x 1－x 22－2x 2x 1＋lnx 1－x 2－lnx 2，即证明x 21－x 22＋(x 1＋x 2)(lnx 1－lnx 2)<x 21＋2x 1－x 22－2x 2， 即证明ln x 1x 2<2x 1－2x 2x 1＋x 2.设t ＝x 1x 2(0<t<1)．令g(t)＝lnt －2t －2t ＋1，则g ′(t)＝1t －4（t ＋1）2＝（t －1）2t （t ＋1）2.因为t>0，所以g′(t)≥0，当且仅当t ＝1时，g ′(t)＝0，所以g(t)在(0，＋∞)上是增函数．又g(1)＝0，所以当t∈(0，1)，g(t)<0总成立．所以原题得证．1. 如果关于x 的方程ax ＋1x 2＝3在区间(0，＋∞)上有且仅有一个解，那么实数a 的取值范围为________．答案：a≤0或a ＝2解析：由ax ＋1x ＝3，得a ＝3x －1x.令t ＝1x，则f(t)＝3t －t 3，t ∈(0，＋∞)．用导数研究f(t)的图象，得f max (t)＝2，当x∈(0，1)时，f(t)递增，当x∈(1，＋∞)时，f(t)递减，所以a≤0或a ＝2.2. 已知函数f(x)＝lnx －a （x －1）x ＋1，若函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围是________．答案：a≤2解析：f′(x)＝x 2＋（2－2a ）x ＋1x （x ＋1）2≥0在(0，＋∞)上恒成立，易得a≤2. 3. 设直线y ＝a 分别与曲线y 2＝x 和y ＝e x交于点M 、N ，则当线段MN 取得最小值时a 的值为________．答案：22解析：由题意，M(a 2，a)，N(lna ，a)，故MN 的长l ＝|a 2－lna|＝a 2－lna(a>0)， 由l′＝2a －1a ＝2a 2－1a ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22a，令l′>0，得l ＝a 2－lna 在⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增； 令l′<0，得l ＝a 2－lna 在⎝⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减，所以当a ＝22时，线段MN 的长取得极小值，也是最小值．4. 已知函数f(x)＝(ax 2＋x)e x，其中e 是自然数的底数，a ∈R . (1) 当a<0时，解不等式f(x)>0；(2) 若f(x)在[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围；(3) 当a ＝0时，求整数k 的所有值，使方程f(x)＝x ＋2在[k ，k ＋1]上有解．解：(1) 因为e x >0，所以不等式f(x)>0即为ax 2＋x>0.又a<0，所以不等式可化为x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a <0，所以不等式f(x)>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a . (2) f′(x)＝(2ax ＋1)e x＋(ax 2＋x)e x＝[ax 2＋(2a ＋1)x ＋1]e x，① 当a ＝0时，f ′(x)＝(x ＋1)e x，f ′(x)≥0在[－1，1]上恒成立，当且仅当x ＝－1时取等号，故a ＝0符合要求；② 当a≠0时，令g(x)＝ax 2＋(2a ＋1)x ＋1，因为Δ＝(2a ＋1)2－4a ＝4a 2＋1>0，所以g(x)＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2，不妨设x 1>x 2，因此f(x)有极大值又有极小值．若a>0，因为g(－1)²g(0)＝－a<0，所以f(x)在(－1，1)内有极值点，故f(x)在[－1，1]上不单调．若a<0，可知x 1>0>x 2，因为g(x)的图象开口向下，要使f(x)在[－1，1]上单调，因为g(0)＝1>0，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧g （1）≥0，g （－1）≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2≥0，－a≥0.所以－23≤a ≤0.综上可知，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0.(3) 当a ＝0时， 方程即为xe x＝x ＋2，由于e x>0，所以x ＝0不是方程的解，所以原方程等价于e x－2x－1＝0.令h(x)＝e x －2x －1，因为h′(x)＝e x＋2x 2>0对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调增函数，又h(1)＝e －3<0，h(2)＝e 2－2>0，h(－3)＝e －3－13<0，h(－2)＝e －2>0，所以方程f(x)＝x ＋2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[－3，－2]上，所以整数k 的所有值为{－3，1}．1. 在已知函数f(x)是增函数(或减函数)，求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f′(x)不恒为0，则参数范围确定．2. 理解可导函数极值与最值的区别，极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点的函数值．3. 用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．请使用课时训练(A)第12课时(见活页)．[备课札记]。