内容 基本要求略高要求较高要求分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件能确定使分式的值为零的条件分式的性质理解分式的基本性质，并能进行简单的变型能用分式的性质进行通分和约分分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则 会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题【例1】 语句“若x y <，则22x y <”显然是不正确的。

试分别按照下列要求，将它改为正确的语句：（1）增加条件，使结论不变；（2）条件不变，改变结论。

【考点】整式的大小比较 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】答案不唯一【答案】（1）可增加条件：x y ，都是正数，或0x =，或||||x y <等（2）可改变结论：33x y <，也可改变22x y<等。

【例2】 若实数1a <，则实数22133a a M a N P ++===，，的大小关系为( ) A ．P N M >> B ．M N P >> C ．N P M >> D ．M P N >> 【考点】整式的大小比较 【难度】4星 【题型】选择 【关键词】作差法【解析】本题主要考查代数式大小的比较有两种方法：其一，由于选项是确定的，我们可以用特值法，取1a >内的任意值即可；其二，•用作差法和不等式的传递性可得M N P ，，的关系． 中考要求分式的大小比较例题精讲方法一：取2a =，则45233M N P ===，，，由此知M P N >>，应选D ．方法二：由1a >知10a ->．又211033a a M P a +--=-=>，∴M P >；21210333a a a P N ++--=-=>，∴P N >．∴M P N >>，应选D ．【答案】D【例3】 比较下列各题中的两个式子的大小：⑴a b +与a b -； ⑵221(2)2a b -+与221(21)3a b -+． 【考点】整式的大小比较 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】作差法【解析】比较两个代数式的大小一般用求差法，即：若0A B ->，则A B >；若0A B -<，则A B <；若0A B -=，则A B =，在比较的过程中，常常需借助非负数的性质来判断差的符号，当差的符号无法确定时，应分情况进行讨论． ⑴()()2a b a b a b a b b +--=+-+= 当0b >时，20b >，∴a b a b +>-； 当0b <时，20b <，∴a b a b +<-；当0b =时，20b =，∴a b a b +=-； ⑵222222111(2)(21)(4)236a b a b a b -+--+=++ ∵20a ≥，20b ≥∴2240a b ++>即221(4)06a b ++>∴222211(2)(21)23a b a b -+>-+ 当所比较的两个代数式“同号”时，也可用求商法，看其商与1的大小关系是什么，进而判断代断式的大小．【答案】（1）当0b >时，a b a b +>-；当0b <时，a b a b +<-；当0b =时，a b a b +=-；（2）222211(2)(21)23a b a b -+>-+【例4】 已知x ，y ，z 是三个互不相同的非零实数，设222a x y z =++，b xy yz zx =++，222111c x y z =++，111d xy yz zx=++．则a 与b 的大小关系是 ；c 与d 的大小关系是 ． 【考点】分式的大小比较 【难度】4星 【题型】填空【关键词】作差法,第15届,希望杯,第1试【解析】∵,,x y z 是三个互不相同的非零实数，∴222()a b x y z xy yz zx -=++-++2221()()()02x y y z z x ⎡⎤=-+-+->⎣⎦．∴a b >． 又∵222111111c d x y z xy yz zx ⎛⎫-=++-++ ⎪⎝⎭222111111102x y y z z x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+->⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴.c d > 【答案】a b >，.c d >【例5】 已知a ，b ，c 为正数，且a b ≠，若111x a b c =++，y =，则x 与y 的大小关系是( )．A ．x y >B ．x y <C ．x y -D ．随a ，b ，c 的取值而变化【考点】根式的大小比较 【难度】4星 【题型】选择【关键词】第10届，希望杯，第2试，作差法【解析】由题意有22222x y a b c -=++1111()()a b b c =+++11()c a +--+222=++又∵a b =/，∴20->，20≥，20≥．∴0x y ->，x y >．选A ．【答案】A【例6】 已知正实数a b c d 、、、满足a b c d <<<且1ac =，且S abcd =，'S a a a =+，'S b b b =+，'Sc c c=+，'sd d d=+，求''''a b c d 、、、的大小关系． 【考点】分式的大小比较【难度】5星 【题型】解答【关键词】河北省，初中数学竞赛【解析】由''()(1)0a b b a cd -=-->，所以''a b >，由''()(1)0d c d c ab -=-->，所以''c d <， 由''()(1)0b d d b ac -=--=，所以''b d =， 所以''''c d b a <=<．【答案】''''c d b a <=<【例7】 已知a b m ，，都是正数，且a b >，试证明分式a m b m ++的值总小于ab的值。

【考点】分式的大小比较 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】作差法 【解析】略 【答案】方法1：求出两个分式的差：()()()m b a a m a ab mb ab ma b m b b b m b b m -++---==+++。

根据条件，这个差总小于0，∴a mb m ++的值总小于ab 的值。

方法2：1a m b m a b a b b m b m b m +++--==++++，1a a b b b -=+，∵a b m ，，都是正数，且a b >，所以a b a bb m b --<+ 故a m b m ++的值总小于a b的值。

【例8】 已知a b c ，，是ABC ∆中三边长，试比较ca b +和()22c a b +的大小。

【考点】分式的大小比较 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】作差法 【解析】略 【答案】方法一求出这两个分式的差()()()()()22222c a b c c a b c c c a b a b a b a b +-+--==++++。

∵000a b c a b c >>>+>，，，∴()220c c a b a b ->++，即()22c c a b a b >++。

方法二因为a b c ，，是三角形三边长，所以0c a b <<+，所以01ca b<<+∴()22c c a b a b >++【例9】 加以两位采购员同去一家饮料公司购买两次饲料。

两次的价格有变化，两位采购员的购买方式也不同，其中甲每次购买1000千克，乙每次都用800元。

问： （1）甲、乙所购买饲料的平均单价各是多少？ （2）谁的购买方式更合算？ 【考点】分式的大小比较 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】作差法【解析】（1）设两次购买饲料的平均单价分别为a 元/千克和b 元/千克，（a b ，为正数，且a b ≠）甲所购平均单价为1000100020002a b a b++=（元/千克） 乙所购平均单价为8008002800800aba ba b+=++（元/千克）（2）甲、乙所购饲料的平均单价之差是：()()()()2242222a b ab a b a b ab a b a b a b +--+-==+++。

由于a b ，均为整数，且a b ≠，∴()()22a b a b -+也是正数 ∴22a b aba b+>+。

故乙的购买方式更合算。

【答案】（1）甲所购平均单价为2a b+（元/千克）乙所购平均单价为2aba b+（元/千克）（2）乙的购买方式更合算1.设a b c ，，的平均数为M ，a b ，的平均数为N ，N c ，的平均数为P ，若a b c >>，则M 与P 的大小关系是( )A ．M P =B ．M P >C ．M P <D ．不确定【考点】整式的大小比较 【难度】4星 【题型】选择【关键词】2000，全国初中数学竞赛，做差法【解析】23224a b c a b N c a b c M N P ++++++====，，，212a b cM P +--=． 因为a b c >>，所以220a b c a c c+-+->=．即0M P ->，所以M P >．课后作业【答案】B2.证明：对于任意两个不等的正数a b ，，不等式a b +>【考点】分式的大小比较 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】作差法【解析】略【答案】∵a b ，是不等的正数，∴2220a b +-=+-=>∴a b +>3.设,,a b c 均为正数，若c a ba b b c c a<<+++，则a b c ，，三个数的大小关系是（ ） A. c a b << B. b c a << C. a b c << D. c b a << 【考点】分式的大小比较 【难度】4星 【题型】选择【关键词】第11届，希望杯,倒数法【解析】由c a b a b b c c a <<+++，a b c ，，均为正数，可知c a b c a b b a c +++<<，故可知1a cb ++11b c a b a c ++<+<+，即a b c a b c a b cb ac ++++++<<，故有c a b <<，选A ． 点评：本题是对已知条件作“倒数”变形． 【答案】A。