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函数大小比较

㈠ 与幂函数αx y =有关的大小比较
⑴ 两个幂函数的指数相同(底数为负数时须先化为正数),利用幂函数的单调性判定大小;
⑵ 两个幂函数的指数不同,能化为同指数的,利用幂函数的单调性判定大小,不能化为同指数的,利用中间数0来比较大小;
幂函数αx y =的性质:
⑴ 在),0(∞上,0>α时是增函数,0<α时是减函数:
⑵ 1>x 时,指数大的图象在上方,10<<x 时,指数大的图象在下方;
⑶ 0>α时,图象过(0,0),(1,1),0<α时,图象过(1,1)。

㈡ 与指数函数x a y =有关的大小比较
⑴ 两个指数函数的底数相同指数不同时,利用指数函数的单调性判定大小;
⑵ 两个指数函数的底数不同指数相同时,可根据图象与底数的关系进行比较;
⑶ 两个指数函数的底数和指数都不同时,可引进第3个数(如0,1)分别与之比较,通过常数传递比较大小。

指数函数的性质:
⑴ 1>a 时,x a y =是增函数,10<<a 时,x a y =为减函数;
⑵ 1>a 时,a 越大图象上升越快,10<<a 时,a 越小图象下降越快;
⑶ x a y =的图象过(0,1)点,R x y ∈∞∈),,0(。

㈢ 与对数函数x y a log =有关的大小比较
⑴ 两个对数函数的底数相同真数不同时,利用对数函数的单调性判定大小;
⑵ 两个指数函数的底数不同真数相同时,可按图象与底数的关系进行比较,或用换底变成同底函数进行比较; ⑶ 两个对数函数的底数和真数都不同时,可引进第3个数(如0,1)分别与之比较,通过常数传递比较大小。

⑷ 解与对数有关的不等式,通常借助对数函数的单调性,由外向里逐步化简,最终变形为整式不等等式求解。

对数函数的性质:
⑴ 1>a 时,x y a log =是增函数,10<<a 时,x y a log =为减函数;
⑵ 1>a 时,010,01<⇒<<>⇒>y x y x ,10<<a 时,010,01>⇒<<<⇒>y x y x ; ⑶ x y a log =的图象过(1,0)点,),0(,∞∈∈x R y 。

对数的性质:N a
a N a a a ===log ,1log ,01log ,零和负数没有对数。

对数运算公式:
⑴ N M MN a a a log log )(log +=
⑵ N M N
M a a a log log )(log -= ⑶ M n M a n a log log =
⑷ 换底公式:)1,0,1,0(,log log log ≠>≠>=c c a a a
N N a a a ⑸ a b b a log 1log =
⑹ )1,0,1,0(,log log ≠>≠>=b b a a b n m M a m a n。

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