过剩少数载流子电子的净复合率：（通常取正值）
对于带与带之间的直接复合过程来说，过剩多数载流 子空穴也将以同样的速率发生复合，即：
在小注入条件下，对于N型半导体材料少数载流子空 穴的浓度将以时间常数τ p0进行衰减，且
τ p0：过剩少数载流子空穴的寿命。 多数载流子电子和少数载流子空穴的复合率也完全相 等，即：
6.2.2 与时间相关的扩散方程
在第5章中我们曾经推导出了空穴的电流密度方 程和电子的电流密度方程，它们分别为：
将上述两式分别除以电子的电量e，则可得到粒子流量。 则上述方程就变为：
对上述两式求散度（此处即对x求导数），并代回 到电子和空穴的连续性方程中，即可得到：
上述两式就是空穴和电子与时间相关的扩散方程。
注意：
δn和δp—过剩载流子浓度 n0、p0—热平衡载流子浓度 n，p—非平衡时导带电子浓度和价带空穴浓度
当有过剩载流子产生时，外界的激发作用打破了热平 衡状态，因此这时半导体材料不再处于热平衡状态。
电子和空穴的浓度也不再满足热平衡时的条件，即：
过剩载流子的复合
半导体中，即使有稳定的过剩载流子产生也不会导 致过剩电子浓度和过剩空穴浓度的持续增加。
§6.1 载流子的产生与复合
载流子的产生：把一个价带电子激发至导带，形成一 对可以参与导电的电子－空穴对的过程；
载流子的复合：一个导带电子跃迁至价带，使得一对 本来可以参与导电的电子－空穴对消失的过程。
对于热平衡状态的任何偏离，都会导致半导体材 料中电子浓度和空穴浓度的变化。
例如： 温度的突然升高，会导致电子和空穴热产生率的
注意： τ n0— P型半导体，过剩少数载流子电子的寿命
τ p0 —N型半导体，过剩少数载流子空穴的寿命
小注入时，过剩少数载流子的寿命取决于材料和多子 浓度。
6.1.3 过剩载流子的产生与复合过程 （1）带与带之间的产生与复合过程：
（2）通过产生－复合中心的间接产生复合过程： 复合中心：缺陷或特殊的杂质。
过剩电子也会不断地和过剩空穴相复合。
假设过剩电子和过剩空穴的复合率分别为Rn′、Rp′
由于过剩电子和过剩空穴是成对复合掉的，因此：
下图所示为半导体材料中过剩载流子的复合过程。
如果撤掉外界作用，由于过剩载流子的复合作用，非 热平衡状态会逐渐向热平衡状态恢复。
复合率和产生率（直接复合）
复合率： R 定义：单位时间、单位体积中被复合掉的载流子数。 单位： 对（个）/cm3·s
Eapp：外加电场； Eint：内建电场。
内建电场倾向于将过剩电子和过剩空穴保 持在同一空间位置，因此这些带负电的过剩电 子和带正电的过剩空穴就会以同一个等效的迁 移率或扩散系数共同进行漂移或扩散运动。
这种现象称为双极扩散或双极输运过程。
6.3.1 双极输运方程的推导
利用方程： 扩散方程； 泊松方程；
6.1.2 过剩载流子的产生与复合 讨论过流子的产生
当有外界激发条件（如光照）时，会把半导体价带中的 电子激发至导带，从而在导带中产生导电电子，同时也 会在价带中产生导电空穴，即受到外部激励时，半导体 材料相对于热平衡状态额外产生了电子－空穴对。
额外产生的电子------过剩电子 额外产生的空穴------过剩空穴
增大，从而导致半导体材料中电子和空穴浓度随着时 间而变化，直到最后达到新的平衡。
外部的光照，也会产生额外的电子－空穴对，从 而建立起一个非热平衡状态。
6.1.1 热平衡状态半导体的产生和复合
处于热平衡状态的半导体材料，其电子和空穴的浓度 不随时间发生变化，但实际这是一种动态平衡。在半 导体材料中仍然不断地存在着大量电子－空穴对的产 生过程，也存在着大量电子－空穴对的复合过程。
利用上述条件，可以把电子和空穴的扩散方程进一步 简化为：
利用上述两个方程消去其中电场的微分项，即可得 到：
上式称为双极输运方程。 它描述了过剩电子浓度和过剩空穴浓度随着时间和空 间的变化规律，其中的两个参数分别为：
D'和μ'分别称为双极扩散系数和双极迁移率。
根据扩散系数和迁移率之间的爱因斯坦关系.
过剩电子的产生率为：gn′ 过剩空穴的产生率为：gp′
单位---cm-3·s-1
对于导带与价带之间的直接产生过程来说，过剩 电子和过剩空穴也是成对产生的，因此有：
当有过剩载流子产生时，导带中电子的浓度和价带 中空穴的浓度就会高出热平衡时的浓度，即：
n0和p0分别是热平衡状态下电子和空穴的浓度； δ n和δ p分别是过剩电子和过剩空穴的浓度；
再将上述条件应用于双极迁移率的公式，同样可以 得到：
结论： 对于N型半导体材料和小注入条件：
双极扩散系数可简化为少子空穴的扩散系数； 双极迁移率可简化为少子空穴迁移率； 少子空穴的扩散系数和迁移率都为常数，因此： 双极输运方程也简化为一个线性微分方程。
注意:
对于N型半导体材料来说，双极迁移率是一个负值。
扩散方程的物理意义：
与时间相关的扩散方程描述过剩载流子浓度随着时间和 空间位置的变化规律。
§6.3 双极输运
在第5章中，导出的电子电流密度方程和空穴电流密 度方程中，引起漂移电流的电场指的是外加的电场。
如果在半导体材料中的某一处产生了过剩电子和过剩 空穴，若有外加电场存在，这些过剩电子和过剩空穴 就会在外加电场的作用下朝着相反的方向漂移。
（泊松方程能建立过剩电子浓度及过剩空穴浓度与内 建电场之间的关系），其表达式为：
其中εS是半导体材料的介电常数。
扩散方程中的
项不能忽略。
双级输运方程的推导： 半导体中的电子和空穴是成对产生的，因此电子和空 穴的产生率相等，即：
此外，电子和空穴也总是成对复合的，因此电子和空 穴的复合率相等，即：
利用准电中性条件，则有：
结论：
双极扩散系数D′和双极迁移率μ ′均为载流子浓度的函 数，因为载流子浓度n、p中都包含了过剩载流子的浓 度δ n ，因此：
双极输运方程中的双极扩散系数和双极迁移率都不是 常数。
双极输运方程是一个非线性的微分方程。
6.3.2 掺杂与小注入的约束条件 对于上述非线性的双极输运方程，利用半导体掺杂
小注入： 对于非本征的N型半导体材料：
通常n0 >>p0 ，n0 >>δ p
对于非本征的P型半导体材料：
则有p0 >>n0 ，p0 >>δ n
在小注入条件下，对于P型半导体材料上述方程可简 化为： 此方程的解为一个指数衰减函数：
τn0：过剩少数载流子的寿命。
对小注入条件，τ n0 是一个常数；上式反映了过剩少 数载流子电子的衰减过程。
电子的产生率---Gn0 空穴热产生率---Gp0，
单位：cm-3·s-1。
对于导带与价带之间的直接产生过程，电子和空 穴是成对产生的，因此有：
电子的复合率--- Rn0 空穴的复合率--- Rp0
单位：cm-3·s-1。
对于导带与价带之间的直接复合过程，电子和空穴也 是成对复合掉的，因此有：
在热平衡状态下，电子和空穴的浓度不随时间改变， 即达到动态平衡，因此有：
但是，由于过剩电子和过剩空穴都是带电的载流 子，因此，其空间位置上的分离就会在这两类载流子
之间诱生出内建电场。
内建电场又会反过来将这些过剩电子和过剩空穴往一 起拉，即内建电场倾向于将过剩电子和过剩空穴保持 在同一空间位置，其过程如下图所示。
考虑内建电场之后，上一节中导出的电子和空穴与时 间相关的扩散方程中的电场则应同时包含外加电场和 内建电场，即：
如果半导体材料受到外部的激励(如温度的突然 升高），那么在原来热平衡浓度的基础上，会增加额 外的导带电子和价带空穴----非平衡过剩载流子，过 剩载流子是半导体器件工作的基础。
本章重点学习描述非平衡过剩载流子随空间位置 和时间变化状态---双极输运方程，这是研究分析PN 结和双极型晶体管特性的基础。
再将上述条件应用于双极迁移率的公式，同样可以 得到：
结论： 对于P型半导体材料和小注入条件： 双极扩散系数简化为少子电子的扩散系数。 双极迁移率简化为少子电子的迁移率。 少子电子的扩散系数和迁移率都为常数，因此双极输 运方程也简化为一个线性微分方程。
N型半导体材料： 假定 n0 >> p0， Dn、Dp处于同一个数量级。当其满足 小注入条件，则 δ n<< n0 。 此时双极扩散系数可简化为：
和小注入条件可以对其进行简化和线性化处理。 根据前面的推导，双极扩散系数D´可表示为：
其中：n0和p0：热平衡时的电子和空穴浓度， δn：过剩载流子浓度。
P型半导体材料： 假定 p0 >> n0 ， Dn、Dp处于同一个数量级。当其满 足小注入条件，则 δ n<< p0 。 双极扩散系数可简化为：
Rnp
R =αr np
α r --复合系数，表示单位时间一个电子与一个空穴 相遇的几率。
当半导体处于热平衡状态，则：
n = n0 p = p0
此时，单位时间单位体积被复合掉的电子、空穴对数
= αr n0 p0
产生率：G
定义：单位时间、单位体积中产生的载流子数。
G ：在所有非简并情况下基本相同，与温度有关，
因为双极迁移率是与载流子的漂移运动相关的，因而 也就是与载流子的带电状态相关的。
对于双极输运方程，剩下的两项就是产生率和复合率。 对于电子，则有：
p ：空穴的浓度； p /τpt ：空穴的复合率； τpt：包含热平衡载流子寿命和过剩载流子寿命。
将上式两边分别除以微分体积元的体积，则有： 上式称为一维条件下，空穴连续性方程。
类似地，得到一维条件下电子连续性方程为：
式中：Fn-为电子的流量。单位：cm-2s-1； 电子的复合率：n/τ nt，其中τ nt既包含热平衡 载流子寿命，也包含过剩载流子寿命；