参考答案一、填空题1. 非本质；本质2. 自持振荡3. 初始条件；输入信号大小4. 饱和非线性；死区非线性；间隙非线性；继电器非线性5. 不稳定6. 稳定；不稳定；半稳定7. 自左向右；自右向左 二、分析与计算题1. 求3()()y t ax t =的描述函数。

解：由于3()()y t ax t =是单值奇函数，所以其傅里叶级数展开式中A 0=0、A 1=0、φ1=0，将()sin x t A t ω=代入B 1的计算公式，可得2102330340320320303031()sin 1sin sin 2sin 21cos 2()2212cos 2cos 241cos 412cos 22242311(cos 2cos 4)828231(sin 284B y t td taA t td t aA td t aA t d t aA t t d t tt aA d t aA t t d t aA πππππππωωπωωωπωωπωωπωωωπωωωπωωωπππ===-=-+=+-+==-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰31sin 4)003234t t aA ππωω+=所以32133()44B aA N A aA A A ===2．设具有滞环继电器非线性特性的非线性系统结构如题图8.1所示，已知b =1，a =0.3，试判断系统是否存在自持振荡，若存在，则求出自持振荡的幅值和频率。

题图8.1解：具有滞环的继电器非线性特性的描述函数为24()j()abN A A a A π=≥其描述函数负倒数特性为1j ()()4a A a N A bπ-=≥ 可见，描述函数负倒数特性的虚部为常数4a b π-，即1()N A -曲线为一条虚部为4abπ-的直线。

由于10()(21)(0.41)G s s s =++，所以222222222210(j )(2j 1)(0.4j 1)10(12j )(10.4j )(14)(10.16)10(1 2.4j 0.8)(14)(10.16)10824j (14)(10.16)(14)(10.16)G ωωωωωωωωωωωωωωωωω=++--=++--=++-=-++++由以上可知，1()N A -曲线与(j )G ω必有交点，而且交点为稳定的，因此会产生自持振荡。

令1(j )()G N A ω-=，此时有22222108(14)(10.16)244(14)(10.16)a b ωωωπωωω⎧-=⎪++⎪⎨-⎪-=⎪++⎩将b =1，a =0.3代入可得ω=5.02rad/s ，A =0.57。

所以，该系统存在自持振荡，振荡的幅值为0.57，角频率为ω=5.02rad/s 。

3.设具有死区继电器非线性特性的非线性系统结构如题图8.2所示，已知b =3，a =1。

试分析系统的稳定性，并求系统不产生自持振荡时a 与b 应满足什么关系。

题图8.2解：具有死区继电器非线性特性的描述函数为()N A A a =≥其描述函数的负倒数特性为1()()A a N A -=≥对上式求导，并令导数等于0，可知当A 时，1()N A -有极大值2abπ-。

将b =3，a =1代入，可得当A =时，1()N A -有极大值6π-，即1()N A -在负实轴上的最大值为6π-。

由于4()(0.51)(1)G s s s s =++，所以22222224(j )j (0.5j 1)(j 1)4j(10.5j )(1j )(10.25)(1)642j (10.25)(1)(10.25)(1)G ωωωωωωωωωωωωωωω=++---=++--=-++++令G (j ω)的虚部为0，即Im[G (j ω)] = 22242(10.25)(1)ωωωω-++0，可得ω=。

将ω=入到G (j ω)的实部，可得2264Re[(j )](10.25)(1)3G ωωωω--=++。

所以G (j ω)曲线与负实轴的交点是(43-，j0)。

由于43-小于6π-，所以G (j ω)曲线与1()N A -曲线必有交点，如题3解图所示。

令1(j )()G N A ω-=，可得43=-，解之得A 1=4.9896，A 2=1.0207。

由于A 2=1.0207小于A =A 2=1.0207处不稳定，而A 1=4.9896大于A =A 1=4.9896处稳定，产生自持振荡。

即系统会产生自持振荡，振幅为4.9896，频率为1.414 rad/s 。

题3解图要想使系统不产生自持振荡，只需G (j ω)曲线与1()N A -曲线没有交点即可，即满足 423ab π-<- 可得83a b π>当83a b π>时，系统不会产生自持振荡。

4. 具有理想继电器非线性特性的非线性系统如题图8.3所示，已知b =1。

(1) 当 τ=0时，系统受到扰动后会出现什么样的运动形式？(2) 当τ≠0时，如果系统输出产生一个振幅为4、角频率为1rad/s 的自持振荡，求系统参数K 和τ的值。

题图8.3解：(1)理想继电器非线性特性的描述函数为4()b N A Aπ= 其负倒数特性为1()4A N A bπ-=- 将b =1代入可得1()4A N A π-=-，即1()N A -曲线为负实轴。

当 τ=0时，线性部分的开环幅相频特性为2222222(j )j (j 1)(j 2)j(1j )(2j )(1)(4)32j (1)(4)(1)(4)KG K K K K ωωωωωωωωωωωωωωω=++---=++--=-++++令G (j ω)的虚部为0，即Im[G (j ω)] = 2222(1)(4)K K ωωωω-++=0，可得ω=。

将ω=入到G (j ω)的实部，可得223Re[(j )](1)(4)6K KG ωωωω--=++。

所以G (j ω)曲线与负实轴的交点是(6K-，j0)，如题4解图所示。

题4解图所以G (j ω)曲线与1()N A -曲线必有交点，并且交点坐标与A 和K 值有关，并且，当A 增大时，1()N A -曲线将从不稳定区进入稳定区域，所以交点为稳定点，会产生自持振荡。

因此，系统受到扰动后会产生稳定的自持振荡。

(2) 当τ≠0时，线性部分的开环幅相频特性为j (j )j (j 1)(j 2)Ke G τωωωωω-=++由于系统要产生振幅为4、角频率为1rad/s 的自持振荡，即ω=1rad/s 。

14()441A N A b πππ-=-=-=-⨯ j (j1)j 1(j 11)(j 12)Ke G τ-===++π=，K =9.935。

又因为o (j 1)57.390arctan1arctan0.5180G τ∠=----=-所以τ=0.32。

5. 判断如题图8.4所示的系统是否稳定，是否存在自持振荡。

G(a) (b) (c) (d)题图8.4解：(a) G (j ω)曲线与1()N A -曲线有交点B ，但当A 增大时，1()N A -由G (j ω)左侧进入右侧，即从稳定区进入不稳定区，所以交点B 不是稳定工作点，不会产生自持振荡。

(b) G (j ω)曲线与1()N A -曲线有交点B 、C 。

对于B 点，当A 增大时，1()N A -由G (j ω)左侧稳定区进入右侧不稳定区，所以交点B 不是稳定工作点，不会产生自持振荡。

对于交点C ，当A 增大时，1()N A -由G (j ω)右侧不稳定区进入左侧稳定区，所以交点C 是稳定工作点，会产生自持振荡。

(c) G (j ω)曲线与1()N A -曲线有交点B 、C 。

对于B 点，当A 增大时，1()N A -由G (j ω)右侧稳定区进入左侧不稳定区，所以交点B 不是稳定工作点，不会产生自持振荡。

对于交点C ，当A 增大时，1()N A -由G (j ω)右侧不稳定区进入左侧稳定区，所以交点C 是稳定工作点，会产生自持振荡。

(d) G (j ω)曲线与1()N A -曲线有交点B ，但当A 增大时，1()N A -由G (j ω)的不稳定区进入稳定区，所以交点B 是稳定工作点，会产生自持振荡。

6. 将题图8.5所示的非线性系统化为串联形式，并求出等效的开环传递函数。

题图8.5解：系统结构图的简化如题6解图所示。

题6解图所以2()KsG s Ts K=+。

7. 设具有死区继电器非线性特性的非线性系统结构如题图8.6所示，已知a =1，b =3。

试用描述函数法分析K 值与系统产生自持振荡的关系，并求K =3时自持振荡的振幅和振荡频率。

题图8.6解：具有死区继电器非线性特性的描述函数为()N A A a =≥其描述函数的负倒数特性为1()()A a N A -=≥对上式求导，并令导数等于0，可知当A 时，1()N A -有极大值2abπ-。

将b =3，a =1代入，可得当A =时，1()N A -有极大值6π-，即1()N A -在负实轴上的最大值为6π-。

由于()(0.51)(1)KG s s s s =++，所以2222222(j )j (0.5j 1)(j 1)j(10.5j )(1j )(10.25)(1)1.5(10.5)j (10.25)(1)(10.25)(1)KG K K K ωωωωωωωωωωωωωωω=++---=++--=-++++令G (j ω)的虚部为0，即Im[G (j ω)] = 222(10.5)0(10.25)(1)K ωωωω-=++，可得ω=。

将ω=代入到G (j ω)的实部，可得221.5Re[(j )](10.25)(1)3K KG ωωωω--=++。

所以G (j ω)曲线与负实轴的交点是(3K-，j0)，如题7解图所示。

题7解图当G (j ω)曲线与1()N A -曲线有交点时，即1(j )()G N A ω-=时系统产生自持振荡，从而可得36K π-<-时产生自持振荡，解之得2K π>，所以当2K π>时系统会产生自持振荡。

当K =3时，221.53Re[(j )]1(10.25)(1)G ωωωω-⨯=-++，所以11()N A -===-解之得A 1=3.6756，A 2=1.0392。

由于A 2=1.0392小于A =A 2=1.0392处不稳定，而A 1=3.6756大于A =，所以系统在A 1=3.6756处稳定，产生自持振荡。

即系统会产生自持振荡，振幅为3.6756，频率为1.414 rad/s 。

所以，当K =3时系统的振荡振幅A =3.6756，振荡频率ω=。

8. 设非线性系统结构如题8.7所示，已知a 1=a 2=a 3=1，k 1=k 2= k 3=1，b =1。

分析当T =0.5时系统是否存在自持振荡，如果存在，求出振荡时的振幅和频率，并讨论参数T 的变化对系统自振的影响。