y b -a -ma
0
ma a -b
x
图7-4 继电器特性
0 0 ma x a , x 0 0 a x ma, x y bsignx x a b 0 ma x a , x 0 b a x ma, x
1, x 0 signx 1, x 0
xa 0 y k ( x asignx ) x a
3 滞环特性 滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是 在输入--输出曲线上出现闭合环路。其静特性曲线如图7-3 所示。其数学表达式为： k ( x asignx ) y 0 y y b y0 bsignx
2．死区特性
死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但其输 出为零，其静持性关系如图7-2所示。 y 其数学表达式为
-a 0
a k x
0,| x | a y k ( x a ), x a k ( x a ), x a
若引入符号函数
图7-2 死区特性 死区小时，可忽略；大 时，需考虑。工程中，为抗 干扰，有时故意引入。比如 操舵系统。
7.1.3
非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无
法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
第七章
非线性系统
内容提要
7.1 7.2 典型非线性特性 描述函数法
相平面法
*7.3
பைடு நூலகம்
前面几章讨论的都是线性系统，实际上所有的实
际系统都不可避免地带有某种程度的非线性，只要具 有一个非线性环节，就称作非线性系统，因此严格的 说所有系统都是非线性系统。
本章将主要讨论关于非线性系统的基本概念，以及
其中的一种基本分析方法——描述函数法。
y b
-a -ma
0
ma a -b
x
图7-4 继电器特性
实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性。
上述介绍的是一些典型特性。实际中的非线性还 有好多复杂的情况，有些是它们的组合；还有一 些很难用一般的函数来描述，可以称为不规则非 线性。 7.1.2 非线性系统的若干特征 非线性系统与线性系统最本质的区别为：由非 线性微分方程描述，不满足叠加原理，故在非线 性系统中将出现一些线性系统见不到的现象，两 者之间有着不同的运动规律。 具体表现在：
（2）可能存在自激振荡 无外界周期信号输入时产生的具有固定振幅 和频率的稳定振荡。对于线性二阶系统，也会出 现等幅振荡，但不会是稳定的振荡（Why？）。 （3）频率响应
对于线性系统，输入是正弦函数时，其稳态 输出也是同频率的正弦函数，可以用频率特性来 描述；而非线性系统输出是非正弦周期函数。 可见，非线性系统要比线性系统复杂的多，会 存在多种运动状态。已无法用线性系统理论解释或 分析，必须应用非线性理论来研究。
实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
（1）稳定性的复杂性
对于线性系统，其稳定性仅与系统的结构和参数有关，与系 统的输入信号及初始条件无关。而非线性系统却复杂的多。 考虑非线性一阶系统： x(t) x x 2 x x( x 1)
设t = 0时,系统的初始状态为x0
x0e dx dt x( t ) t 1 x x e x( x 1) 0 0 相应的时间响应随初始条件而变。
t
1
x0>1
x0<1
0
当x0 >1，t <lnx0/(x0 1) 时，随t增大， x(t) 递增；t = lnx0 /(x0 1) 时，x(t)为 无穷大。当x0<1时，x(t) 递减并趋于0。
x0 t ln x 1 0
因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关， 而且与系统的初始条件有直接的关系。
7.1
典型非线性特性
在控制系统中，若控制装置或元件其输入输出间的静 特性曲线，不是一条直线，则称为非线性特性。如果这 些非线性特性不能采用线性化的方法来处理，称这类非 线性为本质非线性。为简化对问题的分析，通常将这些 本质非线性特性用简单的折线来代替，称为典型非线性 特性。
7.1.1 典型非线性特性的种类 1．饱和特性 饱和特性的静特性曲线如图 7-1所示，其数学表达式 为：
-a
0
a
-b
x
图7-3 滞环特性
这类特性，当输入信号小于间隙a时，输出不变。当x>a 时，输出线性变化；输入反向时，输出保持在方向发生变 化时的输出值上，直到变化2a后，才再线性变化。 例如：铁磁材料，齿轮的齿隙，液压传动中的间隙等。
4 继电器特性
继电器非线性特性一般可用图 7-4 表示，不仅包含 死区，而且还具有滞环特性，其数学表达式为：
y b -a
0
y
b
y b
0
x
a
x
-a
0
a
x
-b
(a)
-b
(b)
(c )
-b
图7-5 三种继电器特性
（a）理想继电器特性 （b）死区继电器特性（c）滞环继电器特性
特殊情况： (1)若a＝0，称这种特性为理想继电 器特性，如图7-5 (a)所示. (2)若m=1，其静特性如图7-5(b)所示， 则称为死区继电器特性. (3)若m＝-1，则称为滞环继电器特性， 如图7-5(c)所示。
y M -a k 0 -M a x
M, x a y kx ,| x | a M , x a
图7-1 饱和特性
式中， a 为线性区宽度； k 为线性区斜率。饱和 特性的特点是：输入信号超过某一范围后，输出不 再随输入的变化而变化，而是保持在某一常值上。 饱和特性在控制系统中是普遍存在的，常见的调节 器就具有饱和特性。