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自动控制原理 第七章 非线性系统概述
y b -a -ma
0
ma a -b
x
图7-4 继电器特性
0 0 ma x a , x 0 0 a x ma, x y bsignx x a b 0 ma x a , x 0 b a x ma, x
1, x 0 signx 1, x 0
xa 0 y k ( x asignx ) x a
3 滞环特性 滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起,而是 在输入--输出曲线上出现闭合环路。其静特性曲线如图7-3 所示。其数学表达式为: k ( x asignx ) y 0 y y b y0 bsignx
2.死区特性
死区又称不灵敏区,在死区内虽有输入信号,但其输 出为零,其静持性关系如图7-2所示。 y 其数学表达式为
-a 0
a k x
0,| x | a y k ( x a ), x a k ( x a ), x a
若引入符号函数
图7-2 死区特性 死区小时,可忽略;大 时,需考虑。工程中,为抗 干扰,有时故意引入。比如 操舵系统。
7.1.3
非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程,大多数尚无
法直接求解。到目前为止,非线性系统的研究还不成熟, 结论不能像线性系统那样具有普遍意义,一般要针对系 统的结构,输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种:
(1)描述函数法(本质非线性):是一种频域分析法,
第七章
非线性系统
内容提要
7.1 7.2 典型非线性特性 描述函数法
相平面法
*7.3
பைடு நூலகம்
前面几章讨论的都是线性系统,实际上所有的实
际系统都不可避免地带有某种程度的非线性,只要具 有一个非线性环节,就称作非线性系统,因此严格的 说所有系统都是非线性系统。
本章将主要讨论关于非线性系统的基本概念,以及
其中的一种基本分析方法——描述函数法。
y b
-a -ma
0
ma a -b
x
图7-4 继电器特性
实际系统中,各种开关元件都具有继电器特性。
上述介绍的是一些典型特性。实际中的非线性还 有好多复杂的情况,有些是它们的组合;还有一 些很难用一般的函数来描述,可以称为不规则非 线性。 7.1.2 非线性系统的若干特征 非线性系统与线性系统最本质的区别为:由非 线性微分方程描述,不满足叠加原理,故在非线 性系统中将出现一些线性系统见不到的现象,两 者之间有着不同的运动规律。 具体表现在:
(2)可能存在自激振荡 无外界周期信号输入时产生的具有固定振幅 和频率的稳定振荡。对于线性二阶系统,也会出 现等幅振荡,但不会是稳定的振荡(Why?)。 (3)频率响应
对于线性系统,输入是正弦函数时,其稳态 输出也是同频率的正弦函数,可以用频率特性来 描述;而非线性系统输出是非正弦周期函数。 可见,非线性系统要比线性系统复杂的多,会 存在多种运动状态。已无法用线性系统理论解释或 分析,必须应用非线性理论来研究。
实质上是应用谐波线性化的方法,将非线性特性线性化, 然后用频域法的结论来研究非线性系统,它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广,不受系统阶次的限 制。
(2)相平面法(本质非线性):图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹,可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法,仅适用于一阶和二阶系统。
(1)稳定性的复杂性
对于线性系统,其稳定性仅与系统的结构和参数有关,与系 统的输入信号及初始条件无关。而非线性系统却复杂的多。 考虑非线性一阶系统: x(t) x x 2 x x( x 1)
设t = 0时,系统的初始状态为x0
x0e dx dt x( t ) t 1 x x e x( x 1) 0 0 相应的时间响应随初始条件而变。
t
1
x0>1
x0<1
0
当x0 >1,t <lnx0/(x0 1) 时,随t增大, x(t) 递增;t = lnx0 /(x0 1) 时,x(t)为 无穷大。当x0<1时,x(t) 递减并趋于0。
x0 t ln x 1 0
因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关, 而且与系统的初始条件有直接的关系。
7.1
典型非线性特性
在控制系统中,若控制装置或元件其输入输出间的静 特性曲线,不是一条直线,则称为非线性特性。如果这 些非线性特性不能采用线性化的方法来处理,称这类非 线性为本质非线性。为简化对问题的分析,通常将这些 本质非线性特性用简单的折线来代替,称为典型非线性 特性。
7.1.1 典型非线性特性的种类 1.饱和特性 饱和特性的静特性曲线如图 7-1所示,其数学表达式 为:
-a
0
a
-b
x
图7-3 滞环特性
这类特性,当输入信号小于间隙a时,输出不变。当x>a 时,输出线性变化;输入反向时,输出保持在方向发生变 化时的输出值上,直到变化2a后,才再线性变化。 例如:铁磁材料,齿轮的齿隙,液压传动中的间隙等。
4 继电器特性
继电器非线性特性一般可用图 7-4 表示,不仅包含 死区,而且还具有滞环特性,其数学表达式为:
y b -a
0
y
b
y b
0
x
a
x
-a
0
a
x
-b
(a)
-b
(b)
(c )
-b
图7-5 三种继电器特性
(a)理想继电器特性 (b)死区继电器特性(c)滞环继电器特性
特殊情况: (1)若a=0,称这种特性为理想继电 器特性,如图7-5 (a)所示. (2)若m=1,其静特性如图7-5(b)所示, 则称为死区继电器特性. (3)若m=-1,则称为滞环继电器特性, 如图7-5(c)所示。
y M -a k 0 -M a x
M, x a y kx ,| x | a M , x a
图7-1 饱和特性
式中, a 为线性区宽度; k 为线性区斜率。饱和 特性的特点是:输入信号超过某一范围后,输出不 再随输入的变化而变化,而是保持在某一常值上。 饱和特性在控制系统中是普遍存在的,常见的调节 器就具有饱和特性。