分析方法：频域上有描述函数法和波波夫法；时域 上有相平面法和李亚普诺夫第二法。计算机仿真的 方法也可以分析复杂的非线性系统。
§7.2
x(t)
非线性系统的描述函数分析法
n(t)
e
一、描述函数法的基本概念
非线性环节N
＋ －
N
非线性部分
x
G(s) 线性部分
c
假设非线性系统的输入函数为
x(t ) A sin(t )
(t ) 0 y (t ) 0 y (t ) 0 y
间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏自 持振荡。同时使稳态误差增大。
5. 继电器特性
y M -a -ma ma a －M
y y M -a x －M a －M x -a a －M x M y
x
0 m a x(t ) a, 0 a x(t ) m a, y (t ) M sgn x(t ) M x(t ) m a, x(t ) m a, M
输出n(t)将是非正弦的周期信号。可以展成傅利叶级数， y(t)是由恒定分量、基波分量、和高次谐波组成。 பைடு நூலகம்设1：如果非线性部分的特性曲线具有中心对称性质，那以 输出信号y(t)的波形具有奇次对称性（波形的后半个周期重复 前半个周期的变化，但符号相反）输出不含直流分量，输出响 应的平均值为零。
假设2：线性部分具有良好的低通滤波性，那么高次谐波的幅值 远小于基波。闭环通道内近似地只有一次谐波信号流通。对于 一般的非线性系统而言这个条件是满足的，线性部分的低通滤 波性越好，用描述函数法分析的精度越高。 上述两个假设满足时，非线性环节的输入是一个正弦信号，系 统的输出是相同频率的正弦信号，对于非线性环节的输出只研 究其基波成分就足够了。 假设系统中非线性环节的输入函数为
较大时 将使系统静态误差增加， 系统低速不平滑性
3. 滞环特性
输出
铁磁部件的元件： 电液伺服阀中的力矩马达
输入 输出
非单值非线性
输入
4.
y c -a a
间隙特性（回环）
齿轮传动中的齿隙
液压传动中的油隙
数学描述为：
b x
k[ x(t ) a ] y (t ) k [ x(t ) a ] c sgn x(t )
二、控制系统中非线性特性的分类 非本质非线性：光滑连续可以局部线性化。 本质非线性： 1. 饱和特性
y M -a a －M x
放大器的饱和输出特性 磁饱和 元件的行程限制 功率限制等等。
kx(t ) y (t ) ka sgn x(t ) x(t ) a x(t ) a
当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入 信号变化而保持恒定。
• 线性系统中引入非线性控制可以改善系统的性能。
非线性系统和线性系统之间的本质差别： １ 非线性系统叠加原理不能应用。 2 线性系统可以用常微分方程来描述，而非线性的 微分方程只在某些特殊的情况下才有解析解。 3 非线性系统不能求出完整的解，只能对非线性系统 的运动情况进行估计，例如系统的稳定性和动态品质 等等。 4 非线性系统呈现出更为复杂和多样的动力学特性。 非线性科学 耗散结构论、突变论、协同论、混沌、分形。 更具有前沿性、交叉性和普适性。
2. 死区特性（不灵敏区特性）
输出
输入
各类液压阀的正重叠量； 系统的库伦摩擦； 测量变送装置的不灵敏区； 调节器和执行机构的死区； 弹簧预紧力； 等等。
x(t ) a x(t ) a
数学描述为： a－为死区宽度
0 y (t ) k[ x(t ) a sgn x(t )]
很小时 作为线性特性处理
第七章 非线性系统的分析
§7.1 §7.2 §7.3 非线性系统的概述 非线性系统的描述函数分析法 典型非线性系统的稳定性
线性控制系统： 由线性元件组成，输入输出间具有叠加性和均匀性性质。 非线性控制系统： 系统中含有非线性元件组成，输入输出间具有叠加性和均 匀性性质。
• 构成系统的环节中有一个或一个以上的非线性特 性时，即称此系统是非线性系统。 • 严格地说线性系统在实地实际中不存在，而非线 性系统是普遍存在的。 • 非线性系统千差万别。
输出
输入
在不同输入幅值下，元件或环节具有不同的增益。
三、非线性系统的特点与分析方法 （一）非线性系统的特点 1. 系统的稳定性
动态特性和稳定性不仅和系统的结构和参数有关，还和初 始条件有关。同一结构和参数的系统可能因为初始条件的 不同运动的最终状态可能完全不同。
2. 系统的自持振荡
线性系统只能当其参数不位于稳定边界时，只能收敛于 平衡状态或者发散，只有处于临界稳定时，才能产生自持振 荡。非线性系统中即使没有外界的激励也可能发生某一固定 幅值和频率的振荡，称为自持振荡。
4. 系统的共振现象
线性系统中，如外施信号的频率与系统本身固有的无阻尼自 振频率相同时，系统将产生共振。而非线性系统不会发生线性 系统那样的共振现象。
（二）非线性系统的分析和设计方法 非线性方程没有统一的求解方法，不能应用叠加 原理。对于非线性不严重的系统可用小偏差线性化的 方法，对于本质非线性可采用分段线性化的方法。 对于非线性控制系统，在许多实际问题中，并不 需要求得其响应的精确解。而是讨论问题①系统是否 稳定；②系统是否产生自持振荡，如产生，其幅值和 频率是多少；③如何消除自持振荡。
3. 频率响应的畸变
在非线性系统中，输入是正弦函数时，输出则是包含了高 次谐波分量的非正弦周期函数， 因此不能应用频率特性、传递 函数这些线性系统常用的方法来分析和综合非线性系统，也不 能应用象单位阶跃等典型输入信号作为评价非线性系统性能的 试验信号。因此目前尚无一般通用的方法来分析和设计非线性 控制系统。
(t ) 0 x (t ) 0 x x(t ) a (t ) 0 x (t ) 0 x
a－为继电器的吸合电压。 ma－为继电器的释放电压。 M－为常值输出。
M
几种特殊的继电器特性
6. 非线性增益
大偏差时，具有较大增益加快系统响应。 小偏差时，具有较小增益提高零位附近的系统稳定性。
§7.1 非线性系统的概述
一、 非线性系统的数学描述
描述大多数非线性系统的数学模型是n阶非线性 非线性常微分方程，形式为： dny dy d 2 y d n 1 y h t , y (t ), , 2 ,, n 1 , u (t ) n dt dt dt dt h(〃)表示非线性函数。u(t)是输入，y(t)是输出。