2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）“1x >”是“2x x >”的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分不必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 （2）若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f =则（ ）A ．126ωϕπ==，B ．123ωϕπ==， C ．26ωϕπ==， D ．23ωϕπ==，（3）直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ）Ａ．210x y +-= Ｂ．210x y +-= Ｃ．230x y +-= Ｄ．230x y +-=（4）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是关径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（ ） Ａ．3 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．6（5）已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ，0.84（6）若P 两条异面直线l m ，外的任意一点，则（ ） Ａ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 Ｂ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 Ｃ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交 Ｄ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面（7）若非零向量，a b 满足+=a b b ，则（ ）Ａ．2>2+a a b Ｂ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a bＤ． 22<+b a b（8）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．（9）已知双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，的左、右焦点分别为1F，2F，P是准线上一点，且12PF PF⊥，124PF PF ab=，则双曲线的离心率是（）Ｃ．2Ｄ．3（10）设21()1x xf xx x⎧⎪=⎨<⎪⎩，≥，，，()g x是二次函数，若(())f g x的值域是[)0+，∞，则()g x的值域是（）A．(][)11--+∞，，∞B．(][)10--+∞，，∞C．[)0+，∞D．[)1+，∞第II卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．（11）已知复数11iz=-，121iz z=+，则复数2z=．（12）已知1sin cos5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos2θ的值是．（13）不等式211x x--<的解集是．（14）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是（用数字作答）．（15）随机变量ξ的分布列如下：其中a b c，，成等差数列，若3Eξ=，则Dξ的值是．（16）已知点O在二面角ABαβ--的棱上，点P在α内，且45POB∠=．若对于β内异于O的任意一点Q，都有45POQ∠≥，则二面角ABαβ--的大小是．（17）设m为实数，若{}22250()30()25x yx y x x y x ymx y⎧⎫-+⎧⎪⎪⎪-⊆+⎨⎨⎬⎪⎪⎪+⎩⎩⎭≥，≥，≤≥，则m的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（18）（本题14分）已知ABC△1，且sin sinA B C+=．（I）求边AB的长；（II）若ABC△的面积为1sin6C，求角C的度数．（19）（本题14分）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点． （I ）求证：CM EM ⊥；（II ）求CM 与平面CDE 所成的角．（20）（本题14分）如图，直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．（I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； （II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．（21）（本题15分）已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -，是关于x 的方程2(32)320k kx k x k -++=的两个根，且212(123)k k a a k -=≤，，，． （I ）求1a ，2a ，3a ，7a ； （II ）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；（Ⅲ）记sin 1()32sin nf n n ⎛⎫=+⎪⎝⎭， (2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++…， 求证：15()624n T n ∈*N ≤≤．（22）（本题15分）设3()3x f x =，对任意实数t ，记232()3t g x t x t =-．（I ）求函数()()t y f x g x =-的单调区间； （II ）求证：（ⅰ）当0x >时，()f x g ()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立；（ⅱ）有且仅有一个正实数0x ，使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立．ED C M A（第19题） B2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． （1）A （2）D （3）D （4）B （5）A （6）B （7）C （8）D （9）B （10）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分． （11）1 （12）725- （13）{}02x x << （14）266（15）59（16）90（17）403m ≤≤三、解答题（18）解：（I）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=，BC AC +=， 两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =，得13BC AC =， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC+-=22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==， 所以60C =．（19）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分． 方法一：（I ）证明：因为AC BC =，M 是AB 的中点， 所以CM AB ⊥． 又EA ⊥平面ABC ， 所以CM EM ⊥．（II ）解：过点M 作MH ⊥平面CDE ，垂足是H ，连结CH 交延长交ED 于点F ，连结MF ，MD ． FCM ∠是直线CM 和平面CDE 所成的角． 因为MH ⊥平面CDE ，所以MH ED ⊥，又因为CM ⊥平面EDM ， 所以CM ED ⊥，则ED ⊥平面CMF ，因此ED MF ⊥． 设EA a =，2BD BC AC a ===， 在直角梯形ABDE 中，AB =，M 是AB 的中点，所以3DE a =，EM =，MD =， 得EMD △是直角三角形，其中90EMD =∠， 所以2EM MDMF a DE==．在Rt CMF △中，tan 1MFFCM MC==∠， 所以45FCM =∠，E DC MAE H故CM 与平面CDE 所成的角是45． 方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CA ，CB 分别为x 轴和y 轴，过点C 作与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立直角坐标系C xyz -，设EA a =，则(2)A a 00，，，(020)B a ，，，(20)E a a ，，．(022)D a a ，，，(0)M a a ，，．（I ）证明：因为()EM a a a =--，，，(0)CM a a =，，， 所以0EM CM =， 故EM CM ⊥．（II ）解：设向量001y z ()，，n =与平面CDE 垂直，则CE ⊥n ，CD ⊥n ， 即0CE =n ，0CD =n ．因为(20)CE a a =，，，(022)CD a a =，，， 所以02y =，02x =-， 即(122)=-，，n ，2cos 2CM CM CM ==，n n n， 直线CM 与平面CDE 所成的角θ是n 与CM所以45θ=，因此直线CM 与平面CDE 所成的角是45． （20）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分14分．（Ⅰ）解：设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，，由2214x b +=，解得12x =±， 所以1212S b x x =-221b b =-2211b b +-=≤．当且仅当b =S 取到最大值1．（Ⅱ）解：由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22212104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，2241k b ∆=-+，11||||AB x x =-222424k b k -==+． ②设O 到AB 的距离为d ，则21||Sd AB ==，x又因为d =，所以221b k =+，代入②式并整理，得42104k k -+=，解得212k =，232b =，代入①式检验，0∆>，故直线AB 的方程是y x =或y x =y x =+，或y x =-21．本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分．（I ）解：方程2(32)320k kx k x k -++=的两个根为13x k =，22k x =，当1k =时，1232x x ==，， 所以12a =；当2k =时，16x =，24x =， 所以34a =；当3k =时，19x =，28x =， 所以58a =时；当4k =时，112x =，216x =， 所以712a =．（II ）解：2122n n S a a a =+++2(363)(222)n n =+++++++2133222n n n ++=+-．（III ）证明：(1)123456212111(1)f n n n nT a a a a a a a a +--=+-++， 所以112116T a a ==， 2123411524T a a a a =+=．当3n ≥时，(1)3456212111(1)6f n n n nT a a a a a a +--=+-++， 345621211116n n a a a a a a -⎛⎫+-++⎪⎝⎭≥2311111662622n ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭≥ 1116626n =+>，同时，(1)5678212511(1)24f n n n nT a a a a a a +--=--++5612212511124n n a a a a a a -⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭≤31511112492922n ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭≤ 515249224n =-<． 综上，当n ∈N*时，15624n T ≤≤．22．本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．（I ）解：316433x y x =-+． 由240y x '=-=，得 2x =±．因为当(2)x ∈-∞-，时，y '>0， 当(22)x ∈-，时，0y '<， 当(2)x ∈+∞，时，0y '>，故所求函数的单调递增区间是(2)-∞-，，(2)+∞，， 单调递减区间是(22)-，．（II ）证明：（i ）方法一：令2332()()()(0)33t x h x f x g x t x t x =-=-+>，则 223()h x x t '=-，当0t >时，由()0h x '=，得13x t =，当13()x x ∈+∞，时，()0h x '>， 所以()h x 在(0)+∞，内的最小值是13()0h t =． 故当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立． 方法二：对任意固定的0x >，令232()()(0)3t h t g x t x t t ==->，则 11332()()3h t t x t -'=-，由()0h t '=，得3t x =．当30t x <<时，()0h t '>．当3t x >时，()0h t '<，所以当3t x =时，()h t 取得最大值331()3h x x =． 因此当0x >时，()()f x g x ≥对任意正实数t 成立．（ii ）方法一：8(2)(2)3t f g ==． 由（i ）得，(2)(2)t t g g ≥对任意正实数t 成立． 即存在正实数02x =，使得(2)(2)x t g g ≥对任意正实数t 成立． 下面证明0x 的唯一性： 当02x ≠，00x >，8t =时，300()3x f x =，0016()43x g x x =-，由（i ）得，30016433x x >-， 再取30t x =，得30300()3x x g x =，所以303000016()4()33x x x g x x g x =-<=， 即02x ≠时，不满足00()()x t g x g x ≥对任意0t >都成立．故有且仅有一个正实数02x =，使得00()0()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立． 方法二：对任意00x >，0016()43x g x x =-， 因为0()t g x 关于t 的最大值是3013x ，所以要使00()()x t g x g x ≥对任意正实数成立的充分必要条件是：300161433x x -≥， 即200(2)(4)0x x -+≤， ①又因为00x >，不等式①成立的充分必要条件是02x =， 所以有且仅有一个正实数02x =，使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立．。