2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数3)4lg(--=x x y 的定义域是 ．〖解析〗4030x x ->⎧⎨-≠⎩⇒ {}34≠<x x x 且答案：{}34≠<x x x 且．2．若直线1210l x my ++=：　与直线231l y x =-：平行，则=m ． 〖解析〗2123113m m =≠⇒=---． 答案：32-．3．函数1)(-=x x x f 的反函数=-)(1x f ．【解析】由(1)11x yy x y x y =⇒=≠⇒--()111x f x x x -=≠-（）． 答案：）（11≠-x x x． 4．方程 96370x x -∙-=的解是 ．〖解析〗2(3)63703731x xxx-⋅-=⇒==-或（舍去），3log 7x ∴=． 答案：3log 7x =．5．已知x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ∙的最大值是 ．〖解析〗211414()44216x y xy x y +=⋅≤=，当且仅当x =4y=12时取等号. 答案：161.6．函数⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πsin 3πsin x x y 的最小正周期=T ． 〖解析〗sin()sin()(sin cos cos sin )cos 3233y x x x x x ππππ=++=+2111cos 2sin cos cos sin 222422xx x x x +=+=+⋅1sin(2)423x π=++ T π∴=. 答案：π.7．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）．〖解析〗212335310C C C =. 答案：3.0.8．以双曲线15422=-y x 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 ．〖解析〗双曲线22145x y -=的中心为O （0,0），该双曲线的左焦点为F （－3,0），则抛物线的顶点为（－3,0），焦点为（0,0），所以p=6，所以抛物线方程是：212(3)y x =+.答案：)3(122+=x y .9．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立： ① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是 ． 〖解析〗对于①：解方程10a a +=得 a =± i ，所以非零复数 a = ± i 使得10a a+=， ①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C 中，|1|=|i |，则a b = ↵a b =±，所以③不成立；④显然成立。

则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的所有序号是②④.答案：②④.10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知αβ，是两个相交平面，空间两条直线12l l ，在α上的射影是直线12s s ，，12l l ，在β上的射影是直线12t t ，．用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异面直线的充分条件： ．〖解析〗 作图易得“能成为12,l l 是异面直线的充分条件”的是“21//s s ，并且1t 与2t 相交”或“//1t 2t ，并且1s 与2s 相交”.答案：21//s s ，并且1t 与2t 相交（//1t 2t ，并且1s 与2s 相交）.11．已知P 为圆1)1(22=-+y x 上任意 一点（原点O 除外），直线OP 的倾斜角为θ弧度，记||OP d =． 在右侧的坐标系中，画出以()d θ，为坐标的点的轨迹的大致图形为〖解析〗2cos()2sin ,(0,)2OP πθθθπ=-=∈.答案：二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 12．已知a b ∈R ，，且i ,i 2++b a （i 是虚数单位）是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根，那么p q ，的值分别是（ ） Ａ．45p q =-=，Ｂ．43p q =-=， Ｃ．45p q ==，Ｄ．43p q ==，〖解析〗因为2+ a i ，b +i （ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，所以a =-1，b=2，所以实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根是 2i ±所以[(2)(2)]4,(2)(2) 5.p i i q i i =-++-=-=+-=答案：A .13．设a b ，是非零实数，若b a <，则下列不等式成立的是（ ）Ａ．22b a < Ｂ．b a ab 22< Ｃ．ba ab 2211< Ｄ．b a a b < 〖解析〗若a <b <0⇒a 2>b 2，A 不成立；若220,ab a b ab a b>⎧⇒<⎨<⎩B 不成立；若a =1，b=2，则12,2b a b aa b a b==⇒>,所以D 不成立 ,故选C. 答案：C .14．直角坐标系xOy 中，i j，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若j k i j i+=+=3,2，则k 的可能值个数是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4〖解析〗解法一：23(1)BC BA AC i j i k j i k j =+=--++=+-（1） 若A 为直角，则(2)(3)606AB AC i j i k j k k ⋅=++=+=⇒=-； （2） 若B 为直角，则(2)[(1)]101AB BC i j i k j k k ⋅=++-=+=⇒=-；（3） 若C 为直角，则2(3)[(1)]30AC BC i k j i k j k k k φ⋅=++-=-+=⇒∈.所以 k 的可能值个数是2，选B .解法二：数形结合．如图，将A 放在坐标原点，则B 点坐标为(2,1)，C 点坐标为(3,k)，所以C 点在直线x=3上，由图知，只可能A 、B 为直角，C 不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2，选B .答案：B . 15．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是（ ）Ａ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 Ｂ．若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立Ｃ．若49)7(<f 成立，则当8k ≥时，均有2)(k k f <成立Ｄ．若25)4(=f 成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立〖解析〗对A ，当k=1或2时，不一定有()2f k k ≥成立；对B ，应有()2f k k ≥成立；对C ，只能得出：对于任意的7k ≥，均有()2f k k ≥成立，不能得出：任意的7k <，均有()2f k k <成立；对D ，()42516,f =≥∴ 对于任意的4k ≥，均有()2f k k ≥成立。

故选D .答案：D.三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．（本题满分12分） 如图，在体积为1的直三棱柱111C B A ABC -中，1,90===∠BC AC ACB ．求直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．〖解析〗法一： 由题意，可得体积11111122ABCV CC S CC AC BC CC ==== △，∴211==CC AA ．连接1BC ． 1111111AC B C AC CC ⊥⊥ ，， ⊥∴11C A 平面C C BB 11，11BC A ∠∴是直线B A 1与平面C C BB 11所成的角．52211=+=BC CC BC ，51tan 11111==∠∴BC C A BC A ， 则 11BC A ∠＝55arctan ．即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为55arctan ． 法二： 由题意，可得体积11111122ABC V CC S CC AC BC CC ∆==== ，21=∴CC ，如图，建立空间直角坐标系． 得点(010)B ，，， 1(002)C ，，，1(102)A ，，． 则1(112)A B =--，，，平面C C BB 11的法向量为(100)n =，，．设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ，B A 1与n 的夹角为ϕ，则11cos A B n A B nϕ==， 66arcsin ,66|cos |sin ===∴θϕθ， CB1B1A A1C CB1B1A A1C即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为66arcsin ．17．（本题满分14分）在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos =B ，求ABC △的面积S ．〖解析〗由题意，得3cos 5B B =，为锐角，54sin =B ，10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫⎝⎛-=--=B C B A ， 由正弦定理得 710=c ， ∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯= ．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2% （如，2003年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？〖解析〗（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 %36，%38，%40，%42．则2006年全球太阳电池的年生产量为 8.249942.140.138.136.1670≈⨯⨯⨯⨯(兆瓦)． （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x ，则441420(1)95%2499.8(142%)x ++≥．解得0.615x ≥． 因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.61．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知函数0()(2≠+=x xax x f ，常数)a ∈R ．（1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，求a 的取值范围．〖解析〗（1）当0=a 时，2)(x x f =，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞ ，，，)()()(22x f x x x f ==-=-， )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，， 取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．（2）解法一：设122x x <≤， 22212121)()(x a x x a x x f x f --+=-[]a x x x x x x x x -+-=)()(21212121， 要使函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须0)()(21<-x f x f 恒成立． 121204x x x x -<> ，，即)(2121x x x x a +<恒成立．又421>+x x ，16)(2121>+∴x x x x ． a ∴的取值范围是(16]-∞，． 解法二：当0=a 时，2)(x x f =，显然在[2)+∞，为增函数． 当0<a 时，反比例函数x a 在[2)+∞，为增函数，xa x x f +=∴2)(在[2)+∞，为增函数． 当0>a 时，同解法一．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列123n a a a a ，，，，（n 为正整数）满足条件n a a =1，12-=n a a ，…，1a a n =，即1+-=i n i a a （12i n = ，，，），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列01mm m mC C C ，，，就是“对称数列”． （1）设{}n b 是项数为7的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ， 114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是项数为12-k (正整数1>k )的“对称数列”，其中121k k k c c c +- ，，， 是首项为50，公差为4-的等差数列．记{}n c 各项的和为12-k S ．当k 为 何值时，12-k S 取得最大值？并求出12-k S 的最大值；（3）对于确定的正整数1>m ，写出所有项数不超过m 2的“对称数列”，使得211222m - ，，，，依次是该数列中连续的项；当m 1500>时， 求其中一个“对称数列”前2008项的和2008S ．〖解析〗（1）设{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ，∴数列{}n b 为25811852，，，，，，．（2）12112112-+--+++++++=k k k k k c c c c c c S k k k k c c c c -+++=-+)(2121 ， 50134)13(42212-⨯+--=-k S k ， ∴当13=k 时，12-k S 取得最大值．12-k S 的最大值为626．（3）所有可能的“对称数列”是： ① 22122122222221m m m --- ，，，，，，，，，，； ② 2211221222222221m m m m ---- ，，，，，，，，，，，； ③ 122221222212222m m m m ---- ，，，，，，，，，，；④ 1222212222112222m m m m ---- ，，，，，，，，，，，．对于①，当2008m ≥时，1222212008200722008-=++++= S ． 当15002007m <≤时，200922122008222221----+++++++=m m m m S 2009212212---+-=m m m1222200921--+=--m m m ．对于②，当2008m ≥时，1220082008-=S ． 当15002007m <≤时，2008S 122200821--=-+m m ．对于③，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ． 当15002007m <≤时，2008S 3222009-+=-mm．对于④，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ． 当15002007m <≤时，2008S 2222008-+=-mm．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 分别是“果圆” 与x ，y 轴的交点．（1） 若012F F F △是边长为1的等边三角形，1求“果圆”的方程；（2）当21A A>21B B 时，求ab的取值范围； （3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦．试研究：是否存在实数k ，使斜率为k 的“果圆” 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在， 求出所有可能的k 值；若不存在，说明理由．〖解析〗（1） ()(012(0)0F c F F ，，，，02121F F b F F ∴====， 于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤ （2）由题意，得 b c a 2>+，即b b a ->-222 2222)2(a c b b =+> ，222)2(a b b a ->-∴，得54<a b ． 又21,222222>∴-=>ab b ac b ． 45b a ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭，．（3）设“果圆”C 的方程为22221(0)x y x a b +=≥，22221(0)y x x b c+=≤．记平行弦的斜率为k ．当0=k 时，直线()y t b t b =-≤≤与半椭圆22221(0)x y x a b +=≥的交点是P t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，与半椭圆22221(0)y x x b c +=≤的交点是Q t ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． ∴ P Q ，的中点M ()x y ，满足 2a c x y t ⎧-⎪=⎨⎪=⎩ ， 得 122222=+⎪⎭⎫⎝⎛-b y c a x ． b a 2<，∴ 22220222a c a c b a c b b ----+⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭． 综上所述，当0=k 时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当0>k 时，以k 为斜率过1B 的直线l 与半椭圆22221(0)x y x a b+=≥的交点是22232222222ka b k a b b k a b k a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，．由此，在直线l 右侧，以k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线x kab y 22-=上，即不在某一椭圆上．当0<k 时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．。